山西省朔州市應縣第六中學2021年高一數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）已知α是第四象限的角，若cosα=，則tanα=（） A． B． ﹣ C． D． ﹣參考答案：D考點： 同角三角函數基本關系的運用．專題： 三角函數的求值．分析： 由α為第四象限角，以及cosα的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinα的值，即可確定出tanα的值．解答： ∵α是第四象限的角，若cosα=，∴sinα=﹣=﹣，則tanα==﹣，故選：D．點評： 此題考查了同角三角函數間的基本關系，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵．2.已知則A．

B．-

C．

D．-參考答案：D略3.在正四面體(所有棱長都相等的三棱錐)P－ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，下面四個結論中不成立的是()A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC

D．平面PAE⊥平面ABC參考答案：C4.函數y=﹣x2+x﹣1圖象與x軸的交點個數是(

)A．0個 B．1個 C．2個 D．無法確定參考答案：A【考點】二次函數的性質．【專題】計算題；函數思想；方程思想；函數的性質及應用．【分析】利用二次函數的性質判斷求解即可．【解答】解：函數y=﹣x2+x﹣1，開口向下，又△=1﹣4×（﹣1）（﹣1）=﹣3＜0．拋物線與x軸沒有交點，故選：A．【點評】本題考查二次函數的性質的應用，考查計算能力．5.若角的終邊經過點，則（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】利用三角函數的定義可得的三個三角函數值后可得正確的選項.【詳解】因為角的終邊經過點，故，所以，故選B.【點睛】本題考查三角函數的定義，屬于基礎題.6.下列函數中，既是偶函數又在單調遞增的函數是A.

B.

C.

D.參考答案：C7.設f（x）是R上的偶函數，且在[0，+∞）上單調遞增，則f（﹣2），f（3），f（﹣π）的大小順序是（）A．f（﹣π）＞f（3）＞f（﹣2） B．f（﹣π）＞f（﹣2）＞f（3） C．f（﹣2）＞f（3）＞f（﹣π） D．f（3）＞f（﹣2）＞f（﹣π）參考答案：A【考點】奇偶性與單調性的綜合．【分析】利用函數的單調性比較函數值的大小，需要在同一個單調區間上比較，利用偶函數的性質，f（﹣2）=f（2），f（﹣π）=f（π）轉化到同一個單調區間上，再借助于單調性求解即可比較出大小．【解答】解：由已知f（x）是R上的偶函數，所以有f（﹣2）=f（2），f（﹣π）=f（π），又由在[0，+∞]上單調增，且2＜3＜π，所以有f（2）＜f（3）＜f（π），所以f（﹣2）＜f（3）＜f（﹣π），故答案為：f（﹣π）＞f（3）＞（﹣2）．故選：A．8.已知，且，那么tanα等于（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】GH：同角三角函數基本關系的運用．【分析】由條件利用同角三角函數的基本關系、以及三角函數在各個象限中的符號，求得sinα和cosα的值，可得tanα的值．【解答】解：∵已知①，∴1+2sinαcosα=，sinαcosα=﹣②，∵，∴sinα＜0，cosα＞0，再結合①②求得sinα=﹣，cosα=，∴tanα==﹣，故選：B．9.某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（）A．1 B． C． D．2參考答案：C【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】開放型；空間位置關系與距離．【分析】幾何體是四棱錐，且四棱錐的一條側棱與底面垂直，結合直觀圖求相關幾何量的數據，可得答案【解答】解：由三視圖知：幾何體是四棱錐，且四棱錐的一條側棱與底面垂直，底面為正方形如圖：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形∴PB=1，AB=1，AD=1，∴BD=，PD==．PC==該幾何體最長棱的棱長為：故選：C．【點評】本題考查了由三視圖求幾何體的最長棱長問題，根據三視圖判斷幾何體的結構特征是解答本題的關鍵10.在△ABC中，若2cosB?sinA=sinC，則△ABC的形狀一定是（

） A． 等腰直角三角形 B． 直角三角形 C． 等腰三角形 D． 等邊三角形參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實數滿足，則的最大值為

.參考答案：112.已知不等式x2－logmx－<0在x∈(0,)時恒成立，則m的取值范圍是_______參考答案：13.102,238的最大公約數是________．

參考答案：34略14.已知函數f（x）對任意的x∈R滿足f（﹣x）=f（x），且當x≥0時，f（x）=x2﹣ax+1，若f（x）有4個零點，則實數a的取值范圍是．參考答案：（2，+∞）【考點】函數奇偶性的性質．【專題】函數的性質及應用．【分析】由f（﹣x）=f（x），可知函數是偶函數，根據偶函數的對稱軸可得當x≥0時函數f（x）有2個零點，即可得到結論．【解答】解：∵f（﹣x）=f（x），∴函數f（x）是偶函數，∵f（0）=1＞0，根據偶函數的對稱軸可得當x≥0時函數f（x）有2個零點，即，∴，解得a＞2，即實數a的取值范圍（2，+∞），故答案為：（2，+∞）【點評】本題主要考查函數奇偶的應用，以及二次函數的圖象和性質，利用偶函數的對稱性是解決本題的關鍵．15.已知向量，的夾角為60°，，，則______．參考答案：1【分析】把向量，的夾角為60°，且，，代入平面向量的數量積公式，即可得到答案．【詳解】由向量，的夾角為60°，且，，則.故答案為：1【點睛】本題考查了平面向量數量積的坐標表示，直接考查公式本身的直接應用，屬于基礎題．16.已知非零向量滿足，則_________________；參考答案：略17.函數的定義域為__________．參考答案：，．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題10分，第（1）小題4分，第（2）小題6分）已知函數（1）求函數的反函數；（2）若時，不等式恒成立，試求實數的取值范圍。參考答案：（1），，解得，（2分）所以反函數（2分）（2）不等式化為（1分）若，則不等式不成立；（2分）若，則恒成立，得；（2分）綜上得（1分）19.對于兩個定義域相同的函數f（x），g（x），若存在實數m、n使h（x）=mf（x）+ng（x），則稱函數h（x）是由“基函數f（x），g（x）”生成的．（1）若f（x）=x2+3x和個g（x）=3x+4生成一個偶函數h（x），求h（2）的值；（2）若h（x）=2x2+3x﹣1由函數f（x）=x2+ax，g（x）=x+b（a、b∈R且ab≠0）生成，求a+2b的取值范圍；（3）試利用“基函數f（x）=log4（4+1）、g（x）=x﹣1”生成一個函數h（x），使之滿足下列件：①是偶函數；②有最小值1；求函數h（x）的解析式并進一步研究該函數的單調性（無需證明）．參考答案：【考點】奇偶性與單調性的綜合；函數的單調性及單調區間；函數的值．【專題】計算題；新定義．【分析】（1）先用待定系數法表示出偶函數h（x），再根據其是偶函數這一性質得到引入參數的方程，求出參數的值，即得函數的解析式，代入自變量求值即可．（2）先用待定系數法表示出偶函數h（x），再根據同一性建立引入參數的方程求參數，然后再求a+2b的取值范圍；（3）先用待定系數法表示出函數h（x），再根據函數h（x）的性質求出相關的參數，代入解析式，由解析研究出其單調性即可【解答】解：（1）設h（x）=m（x2+3x）+n（3x+4）=mx2+3（m+n）x+4n，∵h（x）是偶函數，∴m+n=0，∴h（2）=4m+4n=0；（2）設h（x）=2x2+3x﹣1=m（x2+ax）+n（x+b）=mx2+（am+n）x+nb∴得∴a+2b=﹣=﹣﹣由ab≠0知，n≠3，∴a+2b∈（3）設h（x）=mlog4（4x+1）+n（x﹣1）∵h（x）是偶函數，∴h（﹣x）﹣h（x）=0，即mlog4（4﹣x+1）+n（﹣x﹣1）﹣mlog4（4x+1）﹣n（x﹣1）=0∴（m+2n）x=0得m=﹣2n則h（x）=﹣2nlog4（4x+1）+n（x﹣1）=﹣2n[log4（4x+1）﹣]=﹣2n[log4（2x+）+]∵h（x）有最小值1，則必有n＜0，且有﹣2n=1∴m=1．n=∴h（x）=log4（2x+）+h（x）在[0，+∞）上是增函數，在（﹣∞，0]上是減函數．【點評】本題考點是函數的奇偶性與單調性綜合，考查了利用偶函數建立方程求參數以及利用同一性建立方程求參數，本題涉及到函數的性質較多，綜合性，抽象性很強，做題時要做到每一步變化嚴謹，才能保證正確解答本題．20.已知函數f（x）滿足f（logax）=（x﹣x﹣1），其中a＞0，a≠1，（1）討論f（x）的奇偶性和單調性；（2）對于函數f（x），當x∈（﹣1，1）時，f（1﹣m）+f（﹣2m）＜0，求實數m取值的集合；（3）是否存在實數a，使得當x∈（﹣∞，2）時f（x）的值恒為負數？，若存在，求a的取值范圍，若不存在，說明理由．參考答案：【考點】函數奇偶性的判斷；函數單調性的判斷與證明；函數恒成立問題．【分析】（1）利用換元法，求出函數的解析式，再討論f（x）的奇偶性和單調性；（2）由f（x）是R上的奇函數，增函數，f（1﹣m）+f（﹣2m）＜0有﹣1＜1﹣m＜2m＜1，即可求實數m取值的集合；（3）由x＜2，得f（x）＜f（2），要使f（x）的值恒為負數，則f（2）≤0，求出a的范圍，可得結論．【解答】解：（1）令logax=t，則x=at，∴f（t）=（at﹣a﹣t），∴f（x）=（ax﹣a﹣x），…因為f（﹣x）=（a﹣x﹣ax）=﹣f（x），所以f（x）是R上的奇函數；…當a＞1時，＞0，ax是增函數，﹣a﹣x是增函數所以f（x）是R上的增函數；當0＜a＜1時，＜0，ax是減函數，﹣a﹣x是減函數，所以f（x）是R上的增函數；綜上所述，a＞0，a≠1，f（x）是R上的增函數…（2）由f（x）是R上的奇函數，增函數，f（1﹣m）+f（﹣2m）＜0有﹣1＜1﹣m＜2m＜1，解得＜m＜

…（3）因為f（x）是R上的增函數，由x＜2，得f（x）＜f（2），要使f（x）的值恒為負數，則f（2）≤0，即f（2）=（a2﹣a﹣2）≤0解得a＜0，與a＞0，a≠1矛盾，所以滿足條件的實數a不存在．…21.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PC=AD=CD=AB=1，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求證：BC⊥平面PAC；（Ⅱ）若M為線段PA的中點，且過C，D，M三點的平面與線段PB交于點N，確定點N的位置，并說明理由．參考答案：【考點】LW：直線與平面垂直的判定．【分析】（I）連接AC，推導出AC⊥BC，PC⊥BC，由此能證明BC⊥平面PAC．（II）當N為PB的中點時，由M為PA的中點，得到MN∥AB，且MN=．再由AB∥CD，得MN∥CD從而求出點N為過C，D，M三點的平面與線段PB的交點．【解答】解：（I）連接AC，在直角梯形ABCD中，AC==，BC==，∴AC2+BC2=AB2，即AC⊥BC．又PC⊥平面ABCD，∴PC⊥BC，又AC∩PC=C，故BC⊥平面PAC．解：（II）N為PB的中點．理由如下：∵N為PB的中點，M為PA的中點，∴MN∥AB，且MN=．又∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴M，N，C，D四點共面，∴點N為過C，D，M三點的平面與線段PB的交點．22.過點P（3，0）有一條直線l，它夾在兩條直線l1：2x﹣y﹣2=0與l2：x+y+3=0之間的線段恰被點P平分，求直線l的方程．參考答案：【考點】直線的一般式方程；兩條直線的交點坐標．【分析】設出A與B兩點的坐