第二章隨機變量及其分布

教學要求1.理解隨機變量及其概率分布的概念。2.理解隨機變量分布函數的概念，掌握分布函數的性質，會計算與隨機變量有關的事件的概率。3.理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，掌握（0-1）分布，二項分布，幾何分布，泊松分布及其應用。4.理解連續型隨機變量及其概率密度的概念，掌握密度函數的性質，掌握均勻分布，指數分布，正態分布及其應用。5.會求簡單的隨機變量函數的分布。例1.填空題：（1）同時拋擲三枚硬幣，以X表示出現正面的個數，則X的概率分布為___（2）設（3）設X的概率分布為（4）設X0123P1/83/83/81/8（5）設X的概率密度為用Y表示對X的三次獨立重復觀察中事件出現的次數，則（6）設X的分布為X-4-1024P7/20a2a1/203/20則Y=3X-1-13-4-1511P7/203/206/201/203/20（6）設X的分布為12517P6/203/201/2010/20例2選擇題：（1）下列函數中，哪個是X的分布函數（A）（B）（C）（D）（2）設X的分布律為（A）；（B）；（C）；

（3）已知X的分布函數為則常數k和b分別為（A）（B）（C）（D）（D）.（4）設X的概率分布為，則隨著的增大，概率

（5）設

，概率密度為，則下列等式正確的是（A）單調增大；（B）單調減少；（C）增減性不定；

（D）保持不變。

（A）；（B）；（C）；

（D）

（6）設X的概率分布為

（A）N(1,4)（B）N(0,1)（C）N(1,1)（D）N(1,2)例3設試驗成功的概率為，失敗的概率為，獨立重復試驗直到（1）成功兩次為止；（2）成功三次為止，分別求所需試驗次數的概率分布。解：（1）設X表示直到成功兩次為止的所需試驗次數X的可能取值為2,3,4...（2）設Y

表示直到成功三次為止所需試驗次數，則

Y

可能取值為3,4,5...

例4一批產品由9個正品3個次品組成，從這批產品中每次任取一個，取后不放回，直到取到正品為止，由X表示取到的次品個數，寫出X的概率分布及分布函數。解：X所有可能取值為0,1,2,3.故X的分布律為：X0123P3/49/449/2201/220當當當當當例5設X的概率密度為解：

（1）由的性質，有求（1）系數k；（2）X的分布函數；（3）當，當，當（3）

例6設X的概率密度為解：

設Y的分布函數為；密度為求的概率密度。當當當故例7已知X的概率密度為且，求（1）常數a,b的值；（2）

解：

（1）由得到再由聯立解得：（2）例8在電源電壓不超過200V，在200V~240V之間和超過240V這三種情況下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001，0.2，假設電源電壓服從正態分布，求：（1）該電子元件損壞的概率；（2）該電子元件損壞時，電源電壓在200V~240V之間的概率。解：

設A表示“電子元件損壞”，分別表示“電壓不超過200V”，“電壓在200V~240V之間”和“電壓超過240V

”。由（1）由全概率公式，得

（2）根據貝葉斯公式，有

例9公共汽車門的高度是按男子與車門頂不碰頭的概率在0.01以下設計的。設男子身高，問車門高度為多少？解：設車門高度為h，按設計要求求：隨機變量例10已知X的概率密度為解：當當兩端同時對y求導，得

所以

例11設X在(0,1)服從均勻分布，求（1）（2）的概率密度