2022-2023學年上海市上海中學高一上學期期末練習數學試題一、填空題1．函數（）的反函數為______.【答案】【分析】按定義直接求即可.【詳解】∵，則，故，故反函數為故答案為：.2．函數的值域為______．【答案】【分析】利用常數分離的方法得到，然后利用變量的取值范圍進行求解即可．【詳解】由，又，則，則，所以，故函數的值域為．故答案為：．3．方程的解是________．【答案】【分析】根據對數真數大于零和對數函數的單調性可直接構造不等式組求得結果.【詳解】由得：，即，解得：.故答案為：.4．若函數則________.【答案】【分析】由函數的定義得出在時，函數具有的周期性，利用周期性求函數值．【詳解】當x>0時，f(x)=f(x－1)－f(x－2)，①∴f(x＋1)=f(x)－f(x－1)，②①＋②得，f(x＋1)=－f(x－2)，∴時，f(x)的周期為6，∴f(2023)=f(337×6＋1)=f(1)=f(0)－f(－1)=20－21=－1.故答案為：．5．函數的遞增區間是_________【答案】【分析】先求出定義域，在定義域內判斷函數的單調性．【詳解】由題意，則或，易知在是遞減，在上遞增，而是增函數．∴函數的遞增區間是．故答案為：【點睛】本題考查對數型復合函數的單調性，掌握對數函數的性質是解題關鍵．6．冪函數的圖像與兩條坐標軸均沒有公共點，則實數的取值集合是______.【答案】【分析】根據冪函數的定義及性質列方程與不等式求解即可得實數的取值集合.【詳解】解：因為冪函數，所以，解得或，冪函數的圖像與兩條坐標軸均沒有公共點，所以，即，所以或均符合題意，則實數的取值集合是.故答案為：.7．不等式的解為______.【答案】【分析】根據冪函數的性質確定冪函數的奇偶性與單調性即可解不等式.【詳解】解：冪函數的定義域為，且函數在上單調遞增，又，則為偶函數，所以在上單調遞減，則由不等式可得，平方后整理得，即，解得，則不等式的解集為.故答案為：.8．已知函數，，若存在常數，對任意，存在唯一的，使得，則稱常數是函數在上的“倍幾何平均數”.已知函數，，則在上的“倍幾何平均數”是______.【答案】【分析】由“倍幾何平均數”的定義可知即為函數，最大值與最小值的幾何平均數，根據函數在上的單調性，即可求得在上的“倍幾何平均數”.【詳解】解：由已知中倍幾何平均數的定義可得即為函數，最大值與最小值的幾何平均數又函數，在為減函數故其最大值，最小值故.故答案為：.9．定義在上的函數的反函數為，若為奇函數，則的解為______.【答案】##0.9375【分析】由奇函數的定義，當時，，代入已知解析式，即可得到所求的解析式，再由互為反函數的兩函數的自變量和函數值相反，即可得到所求值．【詳解】解：若為奇函數，可得當時，，即有，由為奇函數，可得，則，，由定義在上的函數的反函數為，且，可由，可得的解為．故答案為：．10．已知函數，若，則實數的取值范圍是______.【答案】【分析】首項確定函數的定義域為，然后可得，觀察可得，故不等式可轉換為；再利用指數函數、對數函數、函數定義證明可判斷在上的單調性，故不等式解，即，解不等式可得實數的取值范圍.【詳解】解：因為，定義域滿足，解得，所以，故，所以，則不等式，轉化為，即，又函數在上單調遞增，在上單調遞減，，且設，所以又，因為，所以，所以，由于函數在上單調遞增，所以，故函數在上單調遞增，所以由函數單調性的性質可得在上單調遞增，故，可得，解得，所以實數的取值范圍是.故答案為：.11．若函數有零點，則其所有零點的集合為______.（用列舉法表示）.【答案】【分析】注意到.令，結合時，偶函數均在上單調遞增可得答案.【詳解】注意到，令，得或.令，注意到均為偶函數，.又時，函數與函數在上單調遞增，則在上單調遞增，故在上有唯一零點，得，.則所有零點的集合為.故答案為：.12．已知定義在R上的奇函數滿足：，且當時，，若對于任意，都有，則實數的取值范圍為______.【答案】【分析】先由題給條件求得函數的單調區間對稱軸對稱中心，進而將轉化為關于實數的不等式組，解之即可求得實數的取值范圍.【詳解】定義在R上的奇函數滿足，則，則，又由可得，，則函數的最小正周期為4，由，可得函數有對稱軸，當時，，單調遞增，由奇函數圖像關于原點對稱可得，當時，，單調遞增，則函數在單調遞增，又函數有對稱軸，則函數在單調遞減，又在內，由，即，可得，又函數有對稱軸，則時，，則在內，由，可得，令，，由任意，都有，又，則的值域是的子集，①當，即時，在單調遞減，則，則，不等式組無解，不符合題意；②當，即時，在時取最小值，在時取最大值，則則，則，解之得；③當，即時，在時取最小值，在時取最大值，則則，則，解之得；④當，即時，在單調遞增，則，則，解之得，綜上，實數的取值范圍為故答案為：【點睛】分類討論思想是高中數學一項重要的考查內容.分類討論思想要求在不能用統一的方法解決問題的時候，將問題劃分成不同的模塊，通過分塊來實現問題的求解，體現了對數學問題的分析處理能力和解決能力.二、單選題13．下列進口車的車標經過旋轉后可以看成函數圖像的是（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】根據函數自變量與因變量一對一或多對一的特征判斷.【詳解】函數圖像滿足：自變量在它的允許范圍內取定一個值時，在圖像上都有唯一確定的點與它對應.選項D的進口車的車標經過旋轉后可以看成函數圖像，其它三個選項都不滿足條件.故選：D14．設方程的兩根為，（），則（

）.A．， B．，C． D．【答案】C【分析】對AB，令，由零點存在定理判斷；對CD，由根的方程得，結合根的范圍可得及其符號，即可得的范圍.【詳解】由題意得，，由得，令，，，，對AB，由得，故AB錯；對CD，由得，由得，∴，故C對D錯.故選：C15．設函數，的定義域分別為、，且.若對任意的，都有，則稱為在上的一個“延拓函數”.已知函數（），若為在上一個延拓函數，且是偶函數，則函數的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意函數，為在上一個延拓函數，求出，然后利用偶函數推出函數的解析式．【詳解】解：，為在上的一個延拓函數，則當時，，因為是偶函數當時，，綜上．故選：B．16．是定義在區間上的奇函數，其圖象如圖所示：令，則下列關于函數的敘述正確的是（

）A．若，則函數的圖象關于原點對稱B．若，，則方程有大于2的實根C．若，，則方程有兩個實根D．若，，則方程有三個實根【答案】B【分析】A.取，判斷；B.由，仍是奇函數，2仍是它的一個零點，再由上下平移判斷；C.取，判斷；D.取，判斷.【詳解】A.若，，則函數不是奇函數，其圖象不可能關于原點對稱，故錯誤；B.當時，仍是奇函數，2仍是它的一個零點，但單調性與相反，若再加b，，則圖象又向下平移個單位長度，所以有大于2的實根，故正確；C.若，，則，其圖象由的圖象向上平移2個單位長度，那么只有1個零點，所以只有1個實根，故錯誤；D.若，，則的圖象由的圖象向下平移3個單位長度，它只有1個零點，即只有一個實根，故錯誤.故選：B.三、解答題17．（1）求函數的值域；（2）求函數的值域.【答案】（1）；（2）【分析】（1）函數化成，結合均值不等式分別判斷、的最值，從而得出值域.（2）由換元法將函數轉換成二次函數的值域問題.【詳解】（1），，當時，，當且僅當時等號成立；當時，，當且僅當時等號成立.故函數值域為；（2）函數定義域為，令，則，故函數值域為.18．（1）判斷函數的奇偶性并說明理由；（2）證明：函數在上嚴格增.【答案】（1）函數為奇函數，證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）根據函數解析式先確定函數定義域，定義域對稱后化簡解析式，按照奇偶性判斷即可；（2）按照函數單調性定義取值、作差、變形、定號、下結論等步驟證明即可.【詳解】解：（1）函數為奇函數，理由如下：函數定義域滿足，即函數定義域為，所以，則，故函數為奇函數；（2）證明：任取，且，所以，因為，所以，又恒成立，所以，即，故函數在上嚴格增.19．某醫藥研究所開發一種新藥，如果成年人按規定的劑量服用，據監測，服藥后每毫升血液中的含藥量（毫克）與時間（小時）之間近似滿足如圖所示的曲線．(1)寫出服藥后與之間的函數關系式；(2)進一步測定：每毫升血液中的含藥量不少于毫克時，藥物對治療疾病有效，求服藥一次治療疾病的有效時間．【答案】(1)(2)小時【分析】（1）將點的坐標代入函數的解析式，求出的值，將點的坐標代入函數的解析式，由此可得出函數的解析式；（2）解不等式，即可得解.【詳解】（1）解：當時，設函數的解析式為，將點的坐標代入得，此時；當時，函數的解析式為，將點的坐標代入得，所以．綜上，.（2）解：當時，由，可得；當時，由，可得.所以，不等式的解集為.因為，服藥一次治療疾病的有效時間為小時．20．（1）求證：關于的方程（，）在區間內存在唯一解.（2）已知，函數.若關于的方程的解集中恰好有一個元素，求實數的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）或或.【分析】（1）記.判斷出在為增函數，利用零點存在定理即可證明；（2）把方程轉化為只有一個根，討論根的情況，求出實數的取值范圍.【詳解】（1）記.因為和在均為增函數，所以在均為增函數.因為，，所以所以在有且只有一個零點，即關于的方程（，）在區間內存在唯一解.（2）方程即,亦即當時，方程①有一解.①式化簡為②.當時，方程②的解為，滿足條件，符合題意；當時，方程②的解為，滿足條件，符合題意；當且時，方程②的解為或.若是方程①的根，則，即；若是方程①的根，則，即；所以要使方程①有且只有一解，只需.綜上所述：方程的解集中恰好有一個元素，實數的取值范圍或或21．設，是的兩個非空子集，如果函數滿足：①；②對任意，，當時，恒有，那么稱函數為集合到集合的“保序同構函數”.(1)寫出集合到集合且的一個保序同構函數（不需要證明）；(2)求證：不存在從整數集的到有理數集的保序同構函數；(3)已知存在正實數和使得函數是集合到集合的保序同構函數，求實數的取值范圍和的最大值（用表示）.【答案】(1)(2)見解析(3)，的最大值為【分析】（1）根據保序同構函數的概念以及常見基本初等函數的性質即可求解，（2）利用反證法，結合保序同構函數的定義即可證明，（3）根據保序同構函數的定義可知為單調遞增的函數，結合對勾函數的單調性即可求解.【詳解】（1）（2）假設存在一個從集合到集合的“保序同構函數”，由“保序同構函數”的定義可知，集合和集合中的元素必須是一一對應的，不妨設整數0和1在中的像分別為和，根據保序性，因為，所以，又也