華南期末考試試卷（A卷2015~2016學年第2學期 考試科目：高等數學AⅡ（ 考試時間：120 學 年級專業題—二三四總得得得一、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分二元函數z y22x2的定義域 已知向量a2i3j5k與向量b3imj2k垂直，則m 經過(1,2,0)且通過z軸的平面方程 設zxyx，則dz y正項級數 (a0)，當a 時級數收斂n12得得二、單項選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分微分方程y'3x2(1y2)的通解 arcsinyx3 B．ytan(x3C．arccosyx3 D．ytanx3

(x,y)(0,0)x2 2xy10z3L2xy10z3

及平面:4x2yz20，則 直線L平行于平面 B．直線L在平面C．直線L垂直于平面 D．直線L與平面斜D是由曲線x2y24圍成的閉區域，則ex2y2d D(e42

2(e4

(e4

D．n下列級數發散的 n

(1)n1

C．

D． n1

n13n31

3n(n3n(n得得1

三、計算題（本大題共7小題，每小題7分，共49分y'ytanxsecx 求冪級數n(n1)x3y3z3xyz60zz(xy在點(121)的偏導數z和z。 求曲線積分ydxxdyLxRcostyRsint上t從0到 計算cos(xy)dxdyDx0yyxD2已知limuna，un及a都是正數，討論級數

n1un

1

x得得1

四、解答題（3721分HRhHRh。 (xy)dxxy)dy，其中C為2

1f

在(0f(15xt2 1f(u)dut1f(u)dux1f(u)du，求f(x華南期末考試試卷（A卷2015~2016學年第2學期 {(x,y)|y22x2 2．

2xy

(y1)dx(xx3a

二、單項選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分 三、計算題（本大題共7小題，每小題7分，共49分y'ytanxsecx解：先求y'ytanx0的通解，得yCcos 3采用常數變易法，設yh(x)cosx，得y'h'(x)cosxh(x)sin 4代入原方程得h'(x)cosxsec 5得h(x)tanx 6故通解為ysinxCcos 7 求冪級數n(n1)

n(n

1，所以R1 1

n(n當x1時級數收斂，所以收斂域為 2因為1xx2x3 xn

1

(1x 3x1x22

n

xn1 ln(1 (1x 4 x1xln(1 (1x 5 23 (n1)(n x(1x)ln(1兩邊除以x，即得n(n1) x0x1

(1x

x0)………6x(1x)ln(1

n(n

x。xx3y3z3xyz60zz(x,y在點(121)的偏奧數z和z 解：設F(x,y,z)x3y3z3xyz 1F3x2 F3y2 F3z2 4 zFx

3x2,

zFy

3y2

6 3z2

3z2

15

11 75求曲線積分ydxxdyLxRcostyRsint上t從0到 解：ydxxdy2(R2cos2tR2sin2 40L0R22cos 502

sin

0 60 7計算cos(xy)dxdyDx0yyxD解：D{(x,y)|0x,xy 2 cos(xy)dxdy0dxxcos(x 4 D0(sinxsin 6 72已知limuna，un及a都是正數，討論級數

2

n1un解：limn

1nun

n 當21，即a2時，級數收 3a當21，即0a2時，級數發 5a當21，即a2時，級數可能收斂也可能發散 7a

1

展開成x的冪級數，并求其成立的區間解：因為1

xn |x| 21

x1

x

1

x[13x(3x)2(3x)3]]x3x29x327x4成立范圍為3x1,即|x| 73四、解答題（3721分高為H，圓柱和圓錐的底面半徑為R，圓錐的高為h，求容器側面積最小時H:Rh。解：VR2h1R2hR2(Hh)C（常數 1 SSR(2H構 日函

h2R2 1FR(2H

h2R2(R2HR2h 33h2Fh2

)2R(Hh)h2H F2RR2H

5

R20h2h2R2HR2hC0R2

h

41

25H2552HRh1:52dp252

為最大 7 (xy)dxxy)dy，其中C為2

1解：設Px Q(x 1則P

Q 3(xy)(xy)dxD 7f(x在(0f(1)5xt2 1f(u)dut1f(u)du