12.3角平分線的性質福田河中學八年級數學組夏玉焰

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什么是角的平分線？怎樣畫一個角的平分線？操作與思考1：BOAC信不信由你如圖，AB＝AD，BC＝DC，沿著AC畫一條射線AE，AE就是∠BAC的角平分線，你知道為什么嗎？D····CBAE

２．分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于ＭＮ的長為半徑作弧．兩弧在∠AOB的內部交于Ｃ．如何用尺規作角的平分線？AＢＯＭＮＣ作法：

１．以Ｏ為圓心，適當長為半徑作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于．３．作射線OC．則射線ＯＣ即為所求．探究

探索1將角AOB對折,再折出一個直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開,觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得到什么結論?OABAOBED角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。在∠AOB的平分線OC上任取一點P，然后，作點P到∠AOB兩邊的垂線段PD、PE，畫一畫，量一量，從中你有什么新發現？你能說明其中的道理嗎？BOAC·DPE畫一畫,想一想,議一議命題：在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等題設：一個點在一個角的平分線上結論：它到角的兩邊的距離相等已知：OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E.求證：PD=PE.AOBPED角平分線的性質定理：在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等用符號語言表示為：AOBPED12∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.隨堂練習BOAC·DPE1.如圖，OC是∠AOB的平分線，∵∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB2.如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線交BC于D，BC=15，且CD：DB=1：2，則點D到AB的距離為_________。

動腦筋3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，則：⑴圖中相等的線段有哪些？相等的角呢？⑵哪條線段與DE相等？為什么？⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的長和△AED的周長。EDCBA練一練3在△ABC中，AC⊥BC，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的長。EDCBA

4.△ABC中,∠C=900,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,求點D到AB的距離是多少？ABCDE（點D到AB的距離是3）

如圖，由于點D，于點E，PD=PE，可以得到什么結論？OBPE^PD^OA議一議

到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。

已知：如圖，，，垂足分別是

A、B，PD=PE，求證：點P在的角平分線上。BADOPE解：設要截取的長度為Ｘm,則：

要在Ｓ區建一個集貿市場，使它到公路和鐵路距離相等，且離公路和鐵路的交叉處500米，該集貿市場應建在何處？（比例尺1：20000）ＳＯ公路鐵路解得：Ｘ＝0.025m

＝2.5cmＡ則點Ａ即為所求的點想一想

到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。

已知：如圖，，，垂足分別是

D、E，PD=PE，求證：點P在的角平分線上。證明：\作射線OP\

點P在角的平分線上

在Rt△PDO

和Rt△PEO

中，（HL）\（全等三角形的對應角相等）

OP=OP（公共邊）PD=PE（已知）\≌角平分線的判定BADOPE∵角平分線的判定的應用書寫格式：OP是的平分線PD=PE\

（到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上）∵

DE OPAB角平分線的性質：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。角平分線的判定到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。BADOPEC\PD=PEOP是的平分線∵∵\OP是的平分線PD=PE用途：證線段相等用途：判定一條射線是角平分線例1.如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，且BE＝CF。求證：AD是△ABC的角平分線。ABCEFD4.已知：如圖，∠C=∠C′=90°，AC=AC′.求證（1）∠ABC=

∠ABC

′

；（2）BC=BC′.（要求不用三角形全等的判定）BCAC′5已知：如圖，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，BD=CD。求證：AD平分∠BAC。ABCFED課堂練習例已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P.

求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明：過點P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上（已知）∴PD=PE（在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點P到邊AB、BC、CA的距離相等DEFABCPMN練習：

如圖，三條公路相交，現在要修建一加油站，使加油站到三條公路的距離相等，問加油站該選在什么位置上？拓展與延伸1、已知:BD