第七章點的運動學第一節矢量法運動學：研究物體在運動過程中的幾何量隨時間的變化規律運動學運動學中涉及的主要參量：位置位移路程軌跡速度加速度等運動學可分為點的運動學和剛體運動學一、矢量法中點的運動方程運動方程：位置參量與時間的函數關系第七章點的運動學第一節矢量法一、矢量法中點的運動方程運動方程：位置參量與時間的函數關系在矢量法中，用由固定參考來確定動點

M的位置。矢量法中點的運動方程為點

O

指向動點

M的矢徑◆

矢徑端點的軌跡即為動點

M的運動軌跡二、點的速度t時間內的位移為t時間內的平均速度：t時刻的瞬時速度：速度方向：一定沿著點在軌跡處的切線方向三、點的加速度t時間內的速度增量為t時間內的平均加速度：t時刻的瞬時加速度：加速度方向：一定指向軌跡的凹向第二節直角坐標法一、直角坐標法中點的運動方程直角坐標法中點的運動方程為利用直角坐標來確定動點的位置2）由運動方程消去時間參數t即得動點的軌跡方程說明：1）由運動方程可直接確定動點的位置與位移二、點的速度在直角坐標法中，點的速度其中，點的速度在

x

軸、y

軸上的投影根據速度投影即可方便確定速度的大小和方向三、點的加速度在直角坐標法中，點的加速度其中，點的加速度在

x

軸、y

軸上的投影根據加速度投影即可方便確定加速度的大小和方向

[例1]如圖，橢圓規的曲柄

OC

可繞定軸

O

轉動，其端點

C

與規尺

AB

的中點鉸接，規尺的兩端分別在互相垂直的滑槽中運動，P

為規尺上的一點。已知

OC=AC=BC=l、PC=d

、=t（

為常數），試求點

P

的運動方程、運動軌跡、速度和加速度。解：取圖示直角坐標系，由幾何關系得點

P

的運動方程為從運動方程中消去時間參數

t

，得點

P

的軌跡方程可見其軌跡為橢圓

點

P

的速度在

x、y

軸上的投影故得點

P

速度的大小方向余弦

點

P

的加速度在

x、y

軸上的投影故得點

P

加速度的大小方向余弦[例2]如圖，套管

A

由繞過定滑輪

B

的繩索牽引而沿導軌上升，滑輪中心到導軌的距離為

l

。當繩索以等速

v0

下拉時，若不計滑輪尺寸，試求套管

A

的速度和加速度（表示為

x

的函數）。解：將上式兩邊對時間

t求導，有解得套管的速度為套管

A沿導軌作直線運動，選取

x軸，并令AB=s，由幾何關系得聯立上述二式，并注意到，其中，負號表示套管A

的速度指向與

x

軸指向相反，即向上

其中，負號表示套管A

的加速度指向與x

軸指向相反，即向上將上式再對時間

t

求導，得套管

A

的加速度

[例3]如圖，液壓減震器的活塞在套筒內作直線往復運動，已知活塞的初速度為

v0，活塞的加速度

a=－

kv

，其中，比例系數k

為常數、v

為活塞速度。試求活塞的運動規律。

解：根據題意，由得對上式分離變量后積分得活塞速度x

軸方向作直線往復運動取圖示坐標軸，活塞沿

再將代入上式，分離變量后積分解得活塞的運動方程為其中，x0為活塞的初始位置第三節自然法一、自然法中點的運動方程自然法中點的運動方程為利用動點的已知軌跡作為參考系2）由運動方程可確定點的位置、位移與路程說明：1）s

是弧坐標，為位置參數已知點的運動軌跡適用前提：來確定其位置二、點的速度引入自然坐標系：沿切向的單位矢量，指向弧坐標正向沿法向的單位矢量，指向曲率中心注意：自然坐標系是運動坐標系在自然法中，點的速度其中，為速度在切向軸上投影，若

v

0，速度指向弧坐標正向；若v

0，速度則指向弧坐標負向。三、點的加速度在自然法中，點的加速度其中，切向加速度（加速度在切向軸的投影）法向加速度（加速度在法向軸的投影）全加速度大小全加速度方位角說明：1）at＞0，切向加速度指向弧坐標正向，at＜0，則反之2）an恒大于零，法向加速度恒指向曲率中心討論：1）若

at=

0

，則點作勻速運動2）若

an=

0

，則點作直線運動3）若

at=

0

且

an=

0

，則點作勻速直線運動4）若

at=

0

且

an=

Const

，則點作勻速圓周運動說明：1）切向加速度

at反映了速度大小相對于時間的變化率2）法向加速度

an反映了速度方向相對于時間的變化率3）v與

at同號，點作加速運動v與

at異號，點作減速運動四、勻變速曲線運動三公式勻變速：注意：1）適用前提，勻變速，即

at=Const2）各有關參量的正負號[例4]

如圖，動點

M

的軌跡由半徑

R1=

18m、

R2=

24m

的AO、BO

兩段圓弧組成，取兩段圓弧的連接點

O

為原點并規定弧坐標的正向，動點

M

的運動方程為

s

=

－t

2＋4t

＋

3（

s

以

m

計、t

以

s計），試求：1）當

t

=

5

s

時動點

M

的速度和加速度；2）由

t

=

0

s

至

t

=

5

s

動點

M

所經過的路程。

解：1）求速度和加速度動點

M的速度故當

t

=

5

s

時動點

M

的速度為動點

M的切向加速度動點

M

位于圓弧

AO

段，故得當

t

=

5

s

時，弧坐標

s

=

-

2

m，法向加速度為所以，當

t

=

5

s

時，動點

M

的加速度2）求路程注意到，當

t

＜

2

s

時，v

＞0，動點

M

向所以，由

t

=

0

s

至

t

=

5

s，動點

M所經過的路程為弧坐標正向運動；當

t

=

2

s

時，v

=0；當t

＞2

s

時，v

＜0，動點

M

向弧坐標負向運動。◆點的弧坐標與點的路程是兩個完全不同的概念。前者是個瞬時參量，是個代數量（可正可負），確定的是點在某一瞬時的位置；后者是個過程參量，是個標量（恒為正值），確定的是點在一段時間內所經過的路程。兩者不能混淆。[例5]圖示曲柄搖桿機構，已知曲柄

AO

長為

r

，以等角速度

繞軸

O

轉動；搖桿

BO1長為

l

，距離

OO1=r

。初始時曲柄

AO

與點

O1

成一直線，試求搖桿

BO1的端點

B

的運動方程、速度和加速度。解：1）建立運動方程軌跡已知，采用自然法建立自然坐標系，點

B

的運動方程為2）求速度和加速度點

B

的速度方向垂直于

BO1，指向與搖桿

BO1的轉向一致點

B

的切向加速度、法向加速度分別為故點

B

的全加速度方向沿

BO1指向

O1[例6]已知點的運動方程x=50t

、y=500－5t

2（t

以

s

計，x、y

以

m

計），試求t=0

時點的軌跡的曲率半徑。解：點的速度點的加速度點的切向加速度點的法向加速度得點的軌跡的曲率半徑當t=0

時，[例7]列車沿半徑

R=

400

m

的圓弧軌道作勻加速運動，設初速度

v0=

10

m/s

，經過

t=40

s

后，其速度達到

v=20

m/s，試求列車在

t=0、t=40

s

時的加速度。解：可直接利用勻變速曲線運動公式計算切向加速度當t=0

時，法向加速度故得當t=0

時的加速度當t=40

s

時，法向加速度故得當t=40

s

時的加速度[例8]如圖，半徑為

r

的圓輪沿水平直線軌道無滑動地滾動（簡稱純滾動）。設圓輪在鉛垂面內運動，且輪心

C

的速度

v

為常量，試求輪緣上的點

M

與地面接觸時的速度和