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距離（二）異面直線的距離ABCA1思考：任意兩條異面直線都有公垂線嗎？有多少條公垂線？已知異面直線AA1和BC，直線AB與異面直線AA1，BC都垂直相交。和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，公垂線夾在異面直線間的部分，叫做這兩條異面直線的公垂線段。定理一：任意兩條異面直線有且只有一條公垂線。存在性：abPa’αQMβcBA直線AB就是異面直線a,b的公垂線唯一性：假如還有直線A’B’也是a,b的公垂線，則

A’B’⊥aA’B’⊥ba’//aA’B’⊥a’所以A’B’⊥平面α又AB⊥平面α

AB//A’B’則

a,b共面矛盾！A’B’定理二：兩條異面直線的公垂線段長是分別連結(jié)兩條異面直線上兩點的線段中最短的一條。abABCD練習：證明定理二兩條異面直線的公垂線段的長度，叫做兩條異面直線的距離例1：課本P50例2aa’bA’AdEFlmnθ求異面直線的距離的常用方法：（1）找出（或作出）公垂線，計算公垂線段的長度。（2）轉(zhuǎn)化為求線面間的距離。abαa//平面α（3）轉(zhuǎn)化為求平行平面間的距離。abαβa//平面β,b//平面α（2），（3）可進一步轉(zhuǎn)化為點到平面的距離。（4）用模型公式（5）向量方法：先求兩異面直線的公共法向量，再求兩異面直線上兩點的連結(jié)線段在公共法向量上的射影長abEFn例2：如圖，已知空間四邊形OABC各邊及對角線長都是1，D,E分別是OA,BC的中點，連結(jié)DE。（1）求證：DE是OA和BC的公垂線。（2）求OA和BC間的距離。OABCDE例3：正方體ABCD——A1B1C1D1中，P為AB中點，Q為BC中點，AA1=a,O為正方形ABCD的中心，求PQ與C1O間的距離。ABCDA1B1C1D1OPQ例4：已知二面角α-l-β的大小是1200，A,C且AB⊥l,CD⊥l，AB=CD=a,AC=2a,求（1）BD的長；（2）BD和AC所成角的余弦值；

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