平面向量線性運算的應用重點學習用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題;體會向量是一種處理幾何問題的有力工具。體會用向量方法解決某些簡單的力學問題與其他一些實際問題的過程；體會向量是一種處理物理問題的重要工具。難點將實際問題轉化為向量問題考試要求考試>題型選擇題、填空題>難度中等、較難且典例精析典例--：向量的線性運算在平面幾何中的應用例題1已知：任意四邊形ABCD中，E,F分別為AD,BC的中點。求證：EF=1（AB+DC）。證明：因為EF=EA+AB+BF，EF=ED+DC+CF，所以2EF=EA+ED+AB+DC+BF+CF。因為E,F分別為AD,BC的中點，所以AE=ED,BF=FC,所以EA+ED=0,BF+CF=0,所以2EF=aB+DC,EF=1(aB+dC)。2所以命題成立。C2"1'1E FB總結提升：用向量方法解決幾何問題的步驟：平面幾何問題設向量＞向量問題字一解決向量問題—原T解決幾何問題典例二：向量的線性運算在物理中的應用例題2 （1）在重300N的物體上系兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°（如圖），求重物平衡時，兩根繩子拉力的大小。30()N（2）帆船比賽是借助風帆推動船只在規定距離內競速的一項水上運動，如果一帆船所受的風力方向為北偏東30°，速度為20km/h，此時水的流向是正東，流速為20km/h。若不考慮其他因素，求帆船的速度與方向。解（1）如圖，兩根繩子的拉力之和OA+OB=OC，且|OC|=|OG|=300N，ZAOC=30°，ZBOC=60°o在△OAC中，匕ACO=ZBOC=60°，ZAOC=30°，則ZOAC=90°，

I—從而|OA|=|OC|?cos30°=150r3(N),|AC|=|OC|?sin30°=150(N),所以|OB|=|AC|=150(N)。答：與鉛垂線成30°角的繩子的拉力是150方N,與鉛垂線成60°角的繩子的拉力是150N。(2)建立如圖所示的平面直角坐標系，風的方向為北偏東30°,速度為.|=20(km/h),水流的方向為正東，速度為|v2|=20(km/h),設帆船行駛的速度為V,則v=V]+v2。由題意，可得向量V1=(20cos60°,20sin60°)=(10,10t'3)，向量V2=(20,0),則帆船的行駛速度為v=v1+v2=(10,10V3)+(20,0)=(30,10v'3),所以|v|=v'302+(10*'3)2=20^3(km/h)。因為tanq= ；=^-(a為V和羽2的夾角，且為銳角)，所以a=30°,所以帆船向北偏東60°的方向行駛，速度為20*3km/h。總結提升：利用向量法解決物理問題有兩種思路，第一種是幾何法，選取適當的基底，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量運算法則，運算律或性質計算。第二種是坐標法，通過建立平面直角坐標系，實現向量的坐標化，轉化為代數運算。留歸納總結平面向量線性運算在平面幾何中的應用(1)常見問題及處理技巧問題類型線平行、點共線等問題所用知識共線向量定理公式表示a//b問題類型線平行、點共線等問題所用知識共線向量定理公式表示a//b=a=Xb=xy-xy=0其中a=(x,y),b=(x,y),b。0(2)用向量方法處理平面幾何問題的“三步曲”

建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題。通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題。把運算結果“翻連”成幾何關系。注意：向量是數學中證明幾何命題的有效工具之一。在證明幾何命題時，可先把已知條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算就很容易得出結論。一般地，利用實數與向量的積可以解決共線、平行、長度等問題。向量的坐標表示把點與數聯系了起來，這樣就可以用代數方程研究幾何問題，同時也可以用向量來研究某些代數問題。用向量理論討論物理學中的相關問題，一般來說分為四個步驟：（1） 問題轉化，即把物理問題轉化為數學問題；（2） 建立模型，即建立以向量為載體的數學模型；（3） 求解參數，即求出數學模型的有關解一一理論參數值；（4） 回答問題，即把所得的數學結論回歸到物理問題。Qi同步練奪（答題時間：30分鐘）用兩條成120°角的等長的繩子懸掛一個燈具，如圖所示，已知燈具重10N，則每根繩子的拉力大小為N。一條河寬為800m，一船從A處出發垂直到達河正對岸的B處，船速為20km/h，水速為12km/h，則船到達B處所需時間為min。一質點受到平面上的三個力F1，F2,F3（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態，已知F1，F2成90°角，且F「F2的大小分別為2和4，則F3的大小為（ ）B.2NA.B.2N人騎自行車的速度是吧，風速為V"則逆風行駛的速度為（A.v1—v2 B.V]+v2C.VJ—|v2| D.|匕|TOC\o"1-5"\h\z1 2 v2已知三個力F1=(—2,—1),F2=(—3,2),F3=(4,—3)同時作用于某物體上一點，為使物體保持平衡，再加上一個力氣，則F4等于( )A.(—1,—2) B.(1,—2)C.(—1，2) D.(1，2)已知兩個力F1，F2的夾角為90°,它們的合力大小為10N，合力與F1的夾角為60°,那么F1的大小為( )A.5履N B.5NC.10N D.5巨N已知作用在點A的三個力f1=(3,4),兒=(2,—5),￡=(3,1),且A(1,1),則合力f=f+f2+f3的終點坐標為( )A. (9,1) B. (1,9)C. (9,0) D. (0,9)河水的流速為5m/s,若一艘小船沿垂直于河岸方向以12m/s的速度駛向對岸，則小船在靜水中的速度大小為()A.13m/s B.12m/sC.17m/s D.15m/s,已與一G,已與一G都成60。=(1,2)o故選D。設合力/的終點為日參考答案答案：10解析：設重力為G,每根繩的拉力分別為F],F2,則由題意得角，且|FJ=|F2|o.?.|匠]|=|旦=1。=102..?每根繩子的拉力都為10No答案：3解析：Vv=v+v=v}~\-v,實際船水1 21*1=20km/h,"1=12km/h,|p|=^'1V|2—|%|2=<202—122=16(km/h)o,、 0.8?,?所需時間t=——=0.05(h)=3(min)o16???該船到達B處所需的時間為3min。答案：C答案：B答案：D解析：?.?物體平衡，.?/]+五2+五3+尸4=°，:.F=-F-F2-F3=-(-2,-1)-(-3,2)-(4,-3)答案：B解析：如圖，有|F]|=|F|cos60°1=10x-=5(N)2答案：A解析：/=/；+方+Z=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,P(x,_y),則。尸=OA4/=(1,1)+(8,0)