向量的線性運算（一）向量的加法向量的加法：求兩個向量和的運算叫做向量的加法。表示：aB+1bC=AC.規定：零向量與任一向量a，都有a+0=0+a=a.【注意】：兩個向量的和仍舊是向量（簡稱和向量）作法：在平面內任意取一點o，作ok作法：在平面內任意取一點o，作ok=a,AB=a，則OB=OA+AB=a+b向量的加法法則（1）共線向量的加法:同向向量―同向向量―?——abOA B―?―?OB=a+bOWO=―OWO=——aw-bBO A―?―?OB=a+b（2）不共線向量的加法幾何中向量加法是用幾何作圖來定義的，一般有兩種方法，即向量加法的三角形法則“首尾相接，首尾連”）和平行四邊形法則（對于兩個向量共線不適應）。三角形法則：根據向量加法定義得到的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則。表示：AB+BC=AC.平行四邊形法則：以同一點a為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作平行四邊形ABCD，則以A為起點的對角線AC就是a與b的和，這種求向量和的方法稱為向量加法的平行四邊形法則。―?―? —? ―>- —?如圖，已知向量a、b.在平面內任取一點A，作~ab=a，M=b，則向量~aC叫做a與b的和，記作a+b，即a+b=打+"=次

【說明】：教材中采用了三角形法則來定義，這種定義，對兩向量共線時同樣適用，當向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是一致的特殊情況：探究：（1）兩相向量的和仍是一個向量；（2） 當向量a與b不共線時，a+b的方向不同向，且|a+b|<|a|+|b|;（3） 當a與b同向時，則a+b、a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|,當a與b反向時，若|a|〉|b|,則a+b的方向與a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|,則a+b的方向與b相同，且|a+b|=|b|-|a|.個向量的起點，可以推廣到乃個向（4）“向量平移”：使前一個向量的終點為后量連加個向量的起點，可以推廣到乃個向向量加法的運算律（1） 向量加法的交換律：a+b=b+a（2） 向量加法的結合律:（a+b）+c=a+（b+c）證明：如圖：使A?=a,~BCf=b,如=C則―? ―?—? —? ―?—?- ―?―? —?―?―?—?(a+b)+c=次+昂=枯，a+ (b+c)=*+瀝=枯，.?.(a+b )+c=a+(b+c)從而，多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行—?—?—? ? —? ?—?—? —?—?—? ? —?? —?—?—?—?例如：(a+b)+(c+ d) = (b+d)+(a+c)； a+b+c+d+ e—[d+ (a+c)]+(b+e).例題：例1.O為正六邊形的中心，作出下列向量：（1）*+oc（2）庭+te （3）ox+f例2.如圖，一艘船從A點出發以誨kmlh的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時水的流速為2km/。，求船實際航行的速度的大小與方向。TOC\o"1-5"\h\z[I 匚解：設瀝表示船垂直于對岸的速度，而表示水流的速度，以AD, LIAB為鄰邊作平行四邊形ABCD，則京就是船實際航行的速度，在RtAABC中，I~aB1=2,I京1=2兵，所以I京1=v'l面|2+ITBC|2=4。—. 2兵.- " 臼因為tanZCAB=2—=73^ZCBA=602例3已知矩形ABCD中，寬為2，長為2<3，A?=a，~BC=b，京二c，試作出向量a+b+C，并求出其模的大小。例4一架飛機向北飛行200千米后，改變航向向東飛行200千米，則飛行的路程為心……偏東45,大小為、米F例5在長江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡般的速度為25km/h，渡般要垂直地渡過長江，其航向應如何確定？【舉一反三】若渡般以25km/h的速度按垂直于河岸的航向航向航行，那么受水流影響，渡船的實際航向如何？習題：一艘船從A點出發以243km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，船的實際航行的速度的大小為4km/h，求水流的速度。一艘船距對岸4七「3km，以2^3km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，到達對岸時，船的實際航程為8km，求河水的流速。-艘船從A點出發以，1的速度向垂直于對岸的方向行駛,同時河水的流速為％，船的實際航行的速度的大小為4km/h,方向與水流間的夾角是60°，求七和勺一艘船以5km/h的速度在行駛，同時河水的流速為2km/h，則船的實際航行速度大小最大是 km/h，最小是 km/h.

向量的減法向量的減法是向量加法的逆運算。1.向量減法的定義若b+飛=a，則向量x叫做a與b的差，記為a-b，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法.表示：a-b=a+(-b)2.向量減法的法則根據向量減法的定義和向量加法的三角形法則，我們可以得到向量。-b的作圖方法【思考】：已知a【思考】：已知a,b，怎樣求作a-b？(1)三角形法則：已知a,b，在平面內任取一點O，作O?=a，況=b，則a—bBOA即a-b可以表示為從b(減向量)的終點，指向a(被減向量)的終點的向量.(強調：a，b同起點時，a—bBOA即a-b可以表示為從b(減向量)的終點，指向a(被減向量)的終點的向量.(強調：a，b同起點時，a-b是連結a，b的終點，并指向“被減向量a”的向量.)(2)平行四邊形法：在平面內任取一點0,作~O^=a，況=-b則由向量加法的平行四邊形法則可得瓦T=：B^+Ot=a+(-b)=a-bBb【思考】：從向量a的終點指向向量b的終點的向量是什么？(b-a) ab【探究】：如右圖，a//b時，怎樣作出a-b呢?b例題例2如圖，O是平行四邊形ABCD的對角線的交點，若at=a，dx=b,況=c，試證明：b+c-a=~oa例3用向量法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形例4試證：對任意向量a,b都有IlaI—Ib11<1a+b1<1aI+IbI.證明：（1）當a，b中有零向量時，顯然成立。（2）當a，b均不為零向量時：a與b共線，即a//方。當a,b同向時，IIaI—IbII<Ia+bI=IaI+Ib\當a,b反向時,IIaI—IbII=Ia+bI<IaI+IbI.a，b不共線時，在AABC中，II~aBI—I庭II<京<I~ABI+I庭I，則有IIaI—Ibii<ia+bi<iai+ibi..?.iiai—ibii<ia+bi<iai+ibi其中：當a，b同向時，la+bl=laI+IbI當a，b同向時，IlaI—Ibll=la+bI.【思考】：任意一個非零向量是否一定可以表示為兩個不共線的向量的和?b向量的線性運算(二)實數與向量的積的定義：一般地，實數人與向量1的積是一個向量，記作人4，它的長度與方向規定如下：快11=1人IIaI；當人〉0時，人a的方向與a的方向相同；當人＜0時，人a的方向與a的方向相反；當x=0時，人a=0.(請學生自己解釋其幾何意義)實數人與向量a相乘，叫做向量的數乘實數與向量的積的運算律：TOC\o"1-5"\h\z從日a)=(M)a(結合律)； ①(人+日)a=Xa+日a(第一分配律)； ②(a+b)=Xa+Xb(第二分配律). ③定理：向量a(a0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數入，使b=xa.例題例1已知向量a和向量b，求作向量—2.5a和向量2a-3b。ab例2計算：―? —? ―? —? ―? ―? —? ―? ―? —?(1)3(a-b)-2(a+2b)； (2)2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c)【舉一反三】1.計算：(1)(—3)x4a；(2)3(a+b)—2(a—b)—a；(3)(2a+3b—c)—(3a—2b+c).解：(1)原式=—12a； (2)原式二5b； (3)原式二—a+5b—2c.

TOC\o"1-5"\h\z—?—? —> —?例3.當XgZ時，驗證：人(a+b)=人a+人b—?—?—? —? —?―?證：當X=0時，左邊二0?(a+b)=0右邊二0?a+0*b=0分配律成立當X為正整數時，令X=n,則有：—? —?—? —? —?—?—? —?—?—? —? —? —?n(a+b)=(a+b)+(a +b)+???+(a+b)=a+a+ ???+a+b+b+ b +???+b =na+nb即X為正整數時，分配律成立—>—? —>—? ―?—?當為負整數時，令X=-n( n為正整數)，有-n(a+b )=n[-(a+b )] =n[(-a)+(-b)]—? —? —? —? —?=n(-a)+n(-b)=-na+(-nb)=-na—nb,分配律仍成立—?—? —?綜上所述，當X為整數時，X(a+b)=Xa+Xb恒成立.例4如圖所示，D,E分別為AABC的邊AB和AC中點，求證：BC與DE共線，并將DE用BC線性表示例5判斷下列各題中的向量是否共線：2-丁一1一a=4匕一5e2,b二^―布%；a=ei+e2,b=2,-2e2，且ei,e2共線.解：(1)當a=0時，則b=0