平面向量概述一.本章內容本章共分兩大節。第一大節是“向量及其運算”，內容包括向量的概念、向量的加法與減法、實數與向量的積、平面向量的坐標運算；線段的定比分點、平面向量的數量積及運算律、平面向量數量積的坐標表示、平移等。第二大節是“解斜三角形”。這一大節可以看成是向量知識的應用，內容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形應用舉例和實習作業等。為擴大學生的知識面，本章中還安排了兩個閱讀材料，即“向量的三種類型”和“人們早期怎樣測量地球的半徑”。本章重點是：（1） 向量的概念、向量的幾何表示和坐標表示；（2） 向量的代數運算法則，向量的數量積；（3） 線段的定比分點公式和中點公式、平移公式；（4） 解斜三角形.本章難點是：（1） 熟練運用向量的概念、向量的幾何表示和坐標表示；（2） 理解和運用向量的運算法則；（3） 已知兩邊和其中一邊的對角解斜三角形.5.1向量教學目標理解向量、零向量、單位向量、向量的模的意義；理解向量的幾何表示，會用字母表示向量；了解平行向量、共線向量和相等向量的意義，并會判斷向量間平行（共線）、相等的關系；知識結構：重點是向量的概念，相等向量的概念，向量的幾何表示.難點是向量概念的理解.教法建議：.采取實際問題的方式引入課題，通過具體實例使學生了解生活中除了表示大小的數量外，有時還要標出方向，從而引出向量的概念.在講解實例時最好結合相應幾何圖象配合，并充分發揮幾何圖形的直觀的特點，使學生在感性認識的基礎上建立概念，并理解向量概念的實質.讓學生列舉實際生活中向量還有哪些，如速度、力、加速度等.向量的概念是從物理中位移的概念抽象出來，而成為平面內的一自由向量，因此教學時要注意把握概念的物理意義，理解有關概念的實際背景，有助于學生認同新概念的合理性。引入向量概念之后，隨之帶來一系列相關概念是比較多的，如零向量，單位向量，相等向量，平行向量，共線向量.對于它們要抓住本質特征，讓學生分析比較這些概念的區別與聯系.由于向量同時具有幾何圖象的特征，在學習時還要辯清它們在圖形中表現相等、平行的意義.對于單位向量與以前的單位長度的區別要給學生講解清楚，單位向量不止一個，因為要表示不同的方向.講清基本概念后，可讓學生歸納數量和向量的區別和聯系.對向量的位置不確定性的認識，即向量是自由向量，可以通過把向量放在簡單幾何圖形中，體現共線與平行的關系，準確理解相等向量的含義，在圖形中幫助學生體會向量的幾何特征和數量特征的統一.相等向量的定義也可以通過師生共同討論得到，如數量相等，是指大小相等的兩個數量，那模相等的兩個向量是否相等？單位向量是否相等？讓學生思考總結得到定義.5.2向量的加法與減法教學目標掌握向量的加法的定義，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量;?掌握向量加法的交換律和結合律，并會用它們進行向量計算；明確相反向量的意義，掌握向量的減法，會作兩個向量的差向量；在正確掌握向量加法減法運算法則的基礎上能結合圖形進行向量的計算， 將數和形有機結合，并能利用向量運算完成簡單的幾何證明；知識結構：重點是向量的加法和向量的減法的定義、運算、幾何表示.難點是對向量加減法定義的理解及向量加法，減法運算時方向的確定.教法建議：向量的加法可以從實際問題引入，例如可以從物理上的位移入手，位移也是向量的一種，那么向量和的定義也是一致的.從而使學生有物理上的位移直觀理解向量和的定義，然后再從數學的角度定義向量的三角形法則.給學生說明三角形法則對于一切向量都適合，但物理習慣用的平行四邊形法則對于共線向量不適合，要讓學生特別注意.向量的減法引入之前，要給學生講清相反向量的意義和表示方法.掌握向量的加法和減法法則時，一方面要用形來幫助理解，另一方面還可以從特殊位置到一般位置去認識，如共線的，共起點的，共終點的等特殊關系的運算熟悉法則的使用.讓學生結合圖形，歸納總結向量和的性質，如向量的方向，模等與兩向量間的關系.對于加法的結合律讓學生通過圖形自己檢驗，一方面可以熟悉向量的加法，還可以理解結合律.由于向量的加法滿足結合律，和交換律，所以向量的加法中向量的個數可以推廣到n個即n個向量 且按向量加法的三角形法則可以得到n個向量相加的法則是：以前一個向量的終點作為下一個向量的起點，相繼作出向量 ’?，再以第一個向量的起點為起點，最后一個向量的終點為終點作向量，這個向量就是所求的這 n個向量的和.5.3實數與向量的積教學目標掌握實數與向量的積的定義以及實數與向量的積的三條運算律， 會利用實數與向量的積的運算律進行有關的計算；理解兩個向量共線的充要條件，能根據條件判斷兩個向量是否共線；了解平面向量基本定理，能作出由一組基底表示的向量， 能用給定圖形上的一組基底表示指定的向量；知識結構：重點是實數與向量的積的定義、運算律，向量共線的充要條件，平面向量基本定理難點是共線向量充要條件及平面向量基本定理的理解.教法建議：可以通過物理中力與加速度的關系f=na,位移與速度的關系s=vt等實際問題引入實數與向量的積.從實際問題出發引入新課，不但展示了教學的主要內容，而且還激發了學生學習興趣.實數與向量的三個運算律，為了降低難度課本上沒有證明，可以結合圖形給學生直觀解釋，程度好的學生可以適當指導給出證明，證明的關鍵是向量的兩要素：方向和大小.由于學生已理解共線向量，因此可以讓學生觀察共線向量間的關系，可以提示從方向和大小兩個方面來考慮.然后指出向量共線的充要條件實質上是由實數與向量的積得到的.給學生說明定理的作用，通常用來判斷三點在同一條直線上或兩直線平行，要指出與平面中直線間的平行的區別.平面向量本定理可以從物理上力的分解來引入， 學生對于力的分解比較熟悉，使學生首先對定理的應用有所了解.定理是向量坐標表示的基礎，因此要學生理解基底的意義.由于不要求證明該定理，只要學生會用即可，所以教學中要側重于它的應用，培養學生應用所學數學知識的能力.5.4平面向量的坐標運算教學目標1.理解平面向量的坐標的概念，會寫出給定向量的坐標，會作出已知坐標表示的向量；2.掌握平面向量的坐標運算，能準確表述向量的加法、減法、實數與向量的積的坐標運算法則，并能進行相關運算，進一步培養學生的運算能力；.會根據平面向量的坐標，判斷向量是否共線；知識結構重點是理解平面向量的坐標表示，平面向量的坐標運算，向量平行的充要條件的坐標表示.難點是對平面向量坐標表示的理解.教法建議1.為了便于學生接受向量的坐標表示，正確理解這一概念，在教學過程中可采用類比的教學方法.一開始從平面上的點與坐標的關系入手，在復習平面向量基本定理之后，引出向量的坐標問題.在學習的過程中采用指導閱讀、講解相結合，以達到提高學生閱讀理解能力.向量是數形結合的一個典范.學好向量坐標表示這一內容，能進一步促進學生對代數幾何關系的理解，運用代數幾何化，幾何代數化的方法從多角度思維，對于培養學生正確的數學觀有著重要的作用.在研究向量坐標運算及簡單應用時，有意滲透數形結合思想.教學中應使學生明確任意向量都與唯一的實數對一一對應，這不僅使向量的坐標表示成為可能，也使表示向量的坐標與向量的起點和終點的具體位置沒有關系.充分發揮學生的主體作用，開展自學活動，通過類比，聯想發現，解決問題.本節在引導學生理解向量坐標表示的意義后，可以放手讓學生自己研究獲得向量坐標運算的方法以及平行向量的坐標表示.5.在講解向量平行的坐標表示時，首先要掌握好向量平行的充要條件從中得到相等的向量，再根據相等向量坐標相同得出關系式.為此可先通過復習讓學生掌握好向量平行充要條件，相等向量坐標關系，為新知識的學習做好鋪墊.5.5線段的定比分點教學目標?理解點P分有向線段所成的比入的含義，能確定入的正負號；2.掌握有向線段的定比分點和中點的坐標公式，并能熟練運用這兩個公式解決實際問題；知識結構重點是線段的定比分點和中點坐標公式的應用.難點是利用線段定比分點坐標公式解題時確定 入的值.教法建議1.本節課通過共線向量引入來介紹，一點分一條有向線段所成比的概念，結合圖形講清入的符號情況，讓學生理解符號正負的確定是由方向確定的，另外要注意比值的順序始點、分點、終點，入值是求解線段定比分點坐標的關鍵.本節是運用已有知識推導出新的結論，因此可以以學生推導、分析、總結為主，培養學生運用數學概念分析問題、解決問題的能力.對“數形結合”這一數學思想的滲透貫穿于本節課的始終，作為本節課的一條主線.3?通過具體例題及練習讓學生掌握公式的應用，尤其是 入值的確定?讓學生通過例題練習歸納總結規律.5.6平面向量的數量積及運算律教學目標正確理解平面向量的數量積的概念，能夠運用這一概念求兩個向量的數量積，并能根據條件逆用等式求向量的夾角；掌握平面向量的數量積的重要性質及運算律，并能運用這些性質與運算律解決有關問題；掌握向量垂直的充要條件，根據兩個向量的數量積為零證明兩個向量垂直；由兩個向量垂直確定參數的值；了解用平面向量數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題；知識結構重點是平面向量的數量積概念及其性質、運算律，向量垂直的條件.難點是平面向量的數量積的概念，平面向量的數量積的重要性質及運算律，以及平面向量的數量積的應用?教學建議本節內容分為兩課時，一是平面向量的數量積的概念及運算性質，二是平面向量的數量積的運用.因為學生在物理學科中已經學過矢量及矢量運算， 所以可從物理知識引入，由此也體現了數學知識與其他學科的聯系，引起學生的興趣，而且讓學生了解所學內容在實際生活中的具體運用.在定義了向量的數量積的運算后，啟發學生由實數的乘法的運算性質猜想向量乘法的運算性質，再引導學生自主探索研究其運算性質.引導學生觀察平面向量的數量積公式的結構特征， 歸納其功能——知三求一，從而發現其應用類型，即求長度或角度，特殊情況下就是垂直關系的證明依據了 ^兩向量的數量積是兩向量間乘法的一種，是學生以前所未接觸到的新的乘法，與以前數量間的乘法、實數與向量間的乘法有很大區別，因此運算法則、運算律都要重新定義，學生對于概念和運算法則的理解和掌握有些困難.它與實數的乘法的概念，性質及運算律有聯系也有區別，這一區別是教學的重點也是學生學習研究的難點?平面向量的數量積是解決有關長度，角度等問題的重要工具，特別是證明垂直關系的重要依據，平面向量的數量積的作用是顯而易見的，但對于學生來講，接受新定義，理解新運算，認識新法則都需要一定的時間，應用這一知識也就有一定的困難.5.7平面向量數量積的坐標表示教學目標掌握平面向量數量積的坐標表示和運算，掌握向量垂直的坐標表示的充要條件，掌握平面內兩點間的距離公式.根據向量的坐標計算它們的數量積，由數量積的坐標形式求兩個向量的夾角.運用向量垂直的坐標表示的充要條件解決有關問題， 特別是運用坐標法證明兩個向量垂直.根據已知條件靈活運用平面內兩點間的距離公式.知識結構重點是平面向量數量積的坐標表示，及向量垂直的坐標表示的充要條件.難點是平面向量數量積的兩種形式的內在聯系及有關知識的靈活運用教法建議平面向量的數量積這個實數如何用坐標表示，是培養學生數形結合這種重要思想方法的很好內容，在教學中抓住數形結合這條主線，不但推出了兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和，推出平面內兩點間的距離公式，并應用平面向量的數量積的坐標表示解決問題，這樣不但能夠提高學生的解題能力，而且培養學生會運用數形結合這種重要思想方法.本節課開始時應向學生指出： 對平面向量的數量積的研究不能僅僅停留在幾何角度， 還要尋求其坐標表示；在引入新知識之前應復習前面的有關知識，如平面向量，兩個向量的和與差，實數與向量的積的坐標表示，以及平面向量的基本定理.3?應將平面向量數量積的兩種形式結合起來， 交待等式--14H其中八 ?.這個等式體現了數與形的結合，揭示了數與形的內在聯系.平面向量數量積的兩種形式表明了向量是數與形的結合體，它們互相滲透，彼此作用，也應是教學的一個重點；而學生對它們的聯系是陌生的，所以在理解上有一定的難度另外，根據已知條件，選擇恰當的形式(坐標法與向量法)解決問題是學生學習的又一難點.教學中注意設計綜合性問題，加強與前段知識的聯系.5.8平移教學目標了解平移的概念及平移的幾何意義；掌握平移的公式及其推導過程， 會用平移公式解決有關點的平移、 化簡函數式及求平移向量等有關問題；知識結構重點是平移公式的推導過程及其應用.平難點本節難點是平移公式在函數圖象平移中的應用教法建議1.在學生熟悉二次函數圖像基礎上，不妨徑直提出問題：拋物線y=(x—2)2+3怎樣運動后，它可有簡單的表達式y=x2?經驗表明，多數學生能有正確答案，從而較順利引入本課的主題.類比力學中鋼體平動引入幾何圖形上點的平移變換. 用位移向量導出平移公式.通過例題與練習的解答與分析講解，使學生掌握平移變換問題求解的操作步驟，并逐步理解它的幾何涵義.小結時強調平移變換特征，點明典型問題的基本形式，在最后的引申和思考中，對學有余力的學生適當拓寬點變換的形式.使他們在后續課程中對這一重要思想方法有更好的理解與掌握.在教學過程中結合圖形講解， 使學生理解平移圖象的目的，關鍵是把平移看成兩個點集之間的映射，要分清原象與象，對應法則，突數與形的轉換.5.9正弦定理、余弦定理教學目標1.了解利用向量知識推導正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理和余弦并會利用計算器解2.掌握正弦定理和余弦并會利用計算器解定理，能運用正弦定理和余弦定理解斜三角形，決解斜三角形中復雜的計算問題；3?會判定已知兩邊和其中一邊的對角解斜三角形的解時一解、兩解或無解；知識結構運用平面向量的數量積推導出三角形的正弦定理和余弦定理，連同三角形、三角函數的其它知識作為工具，比較系統地研究了斜三角形求解這個課題?知識結構可用框圖表示如下：重點是正弦定理和余弦定理及其推導過程，正弦定理、余弦定理的運用.難點教學難點是運用正弦定理和余弦定理解斜三角形.教法建議1.復習提問勾股定理，解直角三角形基本情況，通過直角三角形的特殊性的得到正弦定理的一般形式，然后引入新課.?可先通過直角三角形特殊性質引導學生推出正弦定理形式，如要研究直角 A^B中的邊角關系，若C為直角，則有一：二二‘，i二二1，這兩個等式間存在關系嗎？學生可ab以得到 ，進一步提問，等式能否與邊c和 建立聯系？從而得到正弦定理.利用向量法證明正弦定理時關鍵是引導學生如何通過向量的數量積把三角形的邊長和三角函數聯系起來，由于向量中與三角函數有聯系是數量積， 而且是余弦，如何選擇輔助向量來建立聯系？教學中在關鍵處設問，引導學生主動探究，使學生對正弦定理的導出有透徹的理解.?正弦定理的其它證明方法可讓學生課后探討：傳統的幾何法，可以利用三角形面積￡迪叮二一dri?sinC=-acsin3=-beAL-i-abcL-i從而得到正弦定理.2過點A作圓的直徑還可以通過圓內接三角形證明5RAD連接CD,則b2R各式中分別除以2在從而得到正弦定理.2過點A作圓的直徑還可以通過圓內接三角形證明5RAD連接CD,則b2R各式中分別除以2在頃sin￡ADC利用向量也可采用如下方法：過，同理可得到其它邊角關系，即可證得.勺頂點A作BC邊上的高，垂足為D.(1)當D落在邊BC上時，':的夾角為，由于-二、［一'在」1方向上的射影相等，有數量積的幾何意義可知

I 所以bc二一1一.■.'1./即一匚一三一二匚(2)當D落在BC的延長線上時，同樣可以證得.4?運用正弦定理解已知兩角和任一邊及已知兩邊和其中一邊的對角這兩個類型的問題，在教學中緊緊抓住這一點啟發學生得出具有什么條件的三角形能夠運用正弓3。定理，這樣時學生能正確運用正弦定理解題. 其中例題講A00解時，對于解的不同情況，用圖形展示出來，以幫助學生理解. D(5)余弦定理的證明也可先有直角三角形特例引入， 讓學生發現余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例，使學生理解兩者之間的內在聯系，將新知識納入已有的知識結構中去，為講解余弦定理打下基礎.讓學生探討余弦定理及其變形公式的應用條件，更好的理解定理及其應用.5.10解斜三角形應用舉例教學目標.掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法， 會利用解任意三角形的知識解決一些實際問題；.能夠在解斜三角形應用過程中，靈活地選擇正弦定和余弦定理；知識結構重點利用解斜三角形解決相關實際問題.解斜三角形知識在生產實踐中有著廣泛的應用，解斜三角形有關的實際問題過程，貫穿了數學建模的思想.這種思想就是從實際出發，經過抽象概括，把它轉化為具體問題中的數學建模，然后通過推理演算，得出數學模型的解，再還原成實際問題的解.強化上述思維過程，既是本節的重點，又是本節難點.難點是運算問題，由于將正弦定理、余弦定理看成幾個“方程“，那么解三角形的應用題實質上就是把已知信息按方程的思想進行處理，解題時應根據已知和未知合理選擇一個“容易解”的方程，從而是解題過程簡潔.同時，由于具體問題中給出的數據通常是近似值，故運算過程一般較為復雜，必須借助于計算器計算，因此要加強訓練，達到“算法簡煉，算式工整，計算準確”的要求.教法建議1.復習提問正弦定理、余弦定理以及分別用它們解斜三角形的基本情況，而后指明，實際問題形式多樣，簡單結論不能概括，提出新的例題引入新課.2.在教學中，要引導學生重視分析題意，理解問題的實際背景， 如何將實際問題中的各種要素提出來，分清已知與所求，根據題意畫出示意圖，確定所需的數學知識，從而建立數學模型.根據數學模型啟發學生正確運用正弦定理和余弦定理，在演算過程中，力求算法簡練，算式工整，計算正確，并且自己作出示范，嚴格要求學生.講解例題時不妨讓學生討論歸納出應用題一般思路， 數學模型的建立，從而能使學生更好的掌握.如果有條件，最好采用多媒體演示例題中模型，幫助學理解問題的背景，建立模型，同時要求學生要注意觀察周圍生活的事物.向量----思維的全新視角、教學的最佳契機向量是新教材增加的內容，無論是對于教師還是學生都是新的，作為學生，接觸到新的內容，不僅增大了知識的容量，而且由于立足于向量這一新的視角，進一步拓寬了思維的渠道。作為教師不僅要學習新內容，而且要從思想方法上研究新內容的內涵實質，修整原有的認知，用向量的觀點研究以往教材的知識結構體系，培養學生運用向量解決問題的意識。向量教學是發展創新意識與創新能力的極佳契機。在這一章的教學中，學生的反饋并不如教師心中之預料，一些教師認為這一章內容安排思路清晰并不難，只是概念多了一些。但學生卻覺得這一章內容比較抽象，就拿向量的概念來說就覺得不太好把握，究其原因，是因為向量是既有大小又有方向的量，與以往所學的數量、長度大不相同，向量的形式運算是多次抽象的結果，如果學習的方法不當，就會產生枯燥無味的感覺。筆者以為，這一章的內容雖然概念多，但大都有其物理上的來源，雖然抽象，卻與圖形有著密切的聯系，向量應用的優越性也是非常明顯的。恰當的教與學，使得向量不僅生動有趣，而且是培養學生創新精神與能力的極佳契機。、突出概念、定理的抽象概括過程向量的概念是從物理中位移的概念抽象出來，而成為平面內的一自由向量，雖然是抽象的形式符號，依然可以以位移為背景圖象，理解上并不困難。因此教學時要注意把握概念的物理意義，理解有關概念的實際背景，有助于學生認同新概念的合理性。在概念引入時，如果回避知識的產生過程，生搬概念從而迅速進入解題階段，忽略對問題的感悟進而導致對問題的一知半解。例如在向量的加法教學中，如果一上來就按照課本給出加法的三角形法則，就會造成學生的生搬硬套。我的經驗是直接提出問題：應該怎樣定義兩個向量的加法？你在物理中能找到那些依據？數學與物理的結合頓時使同學們產生一種新鮮感與一股探求的欲望，從而進入一種緊張的思維狀態，在大腦中積極主動的搜尋能抽象出兩個向量加法的實際背景。經過討論很快就達成共識，有兩種物理原型：位移的求和與力的求和。這樣學生不僅能正確的表述出怎樣求兩向量的和，而且發現這兩種方法的一致性。在這樣一種學習的氛圍中，教師所要做的并沒有多少，語言也寥寥無幾，教師看起來似乎漫不經心，很輕松，但就是在這樣的情景下學生之間已形成了思維共振，在“隨意”中實現了知識的有效遷移。我經常鼓勵同學們，以你們現在的知識，完全可以發現以往科學家發現的內容，甚至能夠你獨到的發現，發現別人所沒有發現的，從而極大的鼓舞了學生的士氣，激發其探求的欲望。f-V j*例如在引入數量積伍-b=Fcos8的定義后，我并沒有把教材中的五條性質逐一注述出來，雖然這樣學生也能理解的很好，我總覺的新的內容新的方法如果你告訴他怎么做，尚不如告訴他為什么這樣做，更不如引導他怎樣去想。我適時地提出問題：從這個定義中能得到什么信息從而更好的理解這個公式呢？引導學生站在哲學的高度，運用聯系的觀點，一般與特殊的處理方法去探索發現，結果同學們不僅“發現”了書上的所有性質， 而且還得到了「一二「一等結論，加深了對抽象內容的理解。從而使學生不僅在探索中證明了諸多性質，更重要的是讓學生感悟到了應該如何去發現。課后經常有同學拿著自己推導出的結論， 有些是自己的獨到發現，有些是將要學習的新內容，對此我都大加贊賞，夸獎他的獨立思考的精神，或贊嘆他的數學上的天賦，或贈送其數學博士的稱號。二、突出數形結合的思想在新教材中，向量的運算法則以及運算律的給出容易使學生產生向量是屬于代數內容，但向量實際上又是屬于幾何的范疇的，雖然有時也會脫離圖形而進行形式運算，但所研究的內容大都與圖形有關，所以向量是數形結合的一個典范。學好向量這一章的內容，能進一步促進學生對代數幾何關系的理解，運用代數幾何化，幾何代數化的方法從多角度思維，對于培養學生-豪I-X正確的數學觀有著重要的作用。例如證明必±jUa+b=d，既可以從數量積的角度算出門二二?，進而得到」【：；亦可以從矩形的角度證明該命題。而證法二有利有學生的思維rf從直觀形象向抽象過渡，更好的理解該命題。再如對任意向量 「二'都有IEIiI杉U+云彳1|甲,味三角形三邊關系上更能看出問題的實質。因此教師在教學時應有意識的