專題2.2基本不等式TOC\o"1-5"\h\z【考點I：由基本不等式求最值或取值范圍】1【考點2：由基本不等式證明不等式】1【考點3：利用基本不等式解決存在性或恒成立問題】4【考點4：利用基本不等式解決實際問題】5【考點1：由基本不等式求最值或取值范圍】【知識點：基本不等式】一.基本不等式：4"（1）基本不等式成立的條件:〃>0,b>（）.（2）等號成立的條件：當且僅當。=力時取等號.二.幾個重要的不等式：a2-^-b2>2ab,a,bER,當且僅當時取等號；-+7>2,Qb>0,當且僅當〃=/?時取等號；abab<q,bER,當且僅當〃=%時取等號；亨之（軍），q,beR,當且僅當。時取等號；三.利用基本不等式求最值問題：已知.00,y>0,則：（1）如果積孫是定值p，那么當且僅當％=），時，%+），有最小值是2布.（簡記：積定和最小）（2）如果和x+.v是定值p,那么當且僅當工=），時，.。有最大值是苧（簡記：和定積最大）TOC\o"1-5"\h\z（2022春?甘孜州期末）y=%1）的最小值為（）A.2B.3C.4D.5（2022春?青銅峽市校級期末）已知正數x,），滿足工+y=4,則陰的最大值（）A.2B.4C.6D.841（2022秋?渝中區校級月考）已知正實數〃，人滿足一T+二?=1，則。+28的最小值為（）a+bb+1A.6B.8C.10D.12A.8B.8V2C.9D.9V2（2022春?內江期末）已知正實數a、5滿足a+〃=4,則（a++》的最小值為（）A.8B.8V2C.9D.9V2L25廠A.2V2+2B.4C.—D.2或+14（2022春?內江期末）已知正實數〃、。滿足：+*=根，若（。+》（b+》的最小值為4,則實數m的取值范圍是（）A.{2}B.[2,+OQ）C.（0,2]D.（0,+?＞）（2022春?溫州期末）若正數小〃滿足a+b=",則a+2〃的最小值為（）A.6B.4a/2C.3+2V2D.2+272（2022春?朝陽區校級期末）已知第冶，求、=空畢的最小值（2022春?麗江期末）若正數a,Z?滿足a+2b=ab,則2a+A的最小值為.（2022春?臺州期末）已知非負實數x,丁滿足&；+￡%=1，則x+N的最小值為一.（2022春?石家莊期末）已知面＞0,a+b=1,則"二的最小值為（2022春?長春期末）已知a,都是非零實數，若J+4扇=3,則吃+金的最小值為a2bz114（2022春?嵐山區校級月考）已知%y＞3,且2計），=7,則一；+—:的最小值為2/2x-ly-33x（2022?煙臺三模）當心＞0時，-丁的最大值為x2+4（2022春?西青區校級月考）已知x＞0,y＞0,且x+2y=2,則&+三包的最小值為'x3y（2022春?溫州期中）已知。＞匕＞0,當2。+熹+工取到最小值時，則a=Q十。Q—04（2022?南京模擬）（1）已知x＞3,求一+%的最小值；x-313（2）已知x,y是正實數，且x+y=l,求嚏+1的最小值.（2021秋?新泰市校級期末）已知實數。＞0,b＞0,a+2b=2.

⑴求卜觸最小值；（2）求J+4廬+5帥的最大值.【方法技巧I】通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實質在于代數式的靈活變形，拼系數、湊常數是關鍵，利用拼湊法求解最值應注意以下幾個方面的問題：（1）拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數的變化以及等式中常數的調整，做到等價變形；（2）代數式的變形以拼湊出和或積的定值為目標；（3）拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提.【方法技巧2】通過常數代換法利用基本不等式求最值的步驟常數代換法適用于求解條件最值問題.通過此種方法利用基本不等式求最值的基本步驟為：（1）根據已知條件或其變形確定定值（常數）；（2）把確定的定值（常數）變形為1；（3）把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構造和或積的形式；（4）利用基本不等式求解最值.【考點2：由基本不等式證明不等式】TOC\o"1-5"\h\z（2022春?鄲都區校級期末）若實數x、1y滿足/+丁=1+工），，則下列結論中，正確的是（）A.x+yWlB.x+y^2C.D.（2022春?尖山區校級月考）若a>0,/?>0,a+b=2,則（）A.ab^\B.y[a+y/b>2C.扇22D.~+~<2ab（2022春?肥東縣月考）對于不等式①?+V6>2V5,?x+\>2（xW0）,③必不正>^y（a+b）（a、bER）,R）,下列說法正確的是（A.①③正確，②錯誤R）,下列說法正確的是（A.①③正確，②錯誤R）,下列說法正確的是（A.①③正確，②錯誤B.②③正確，①錯誤c.錯誤，③正確c.錯誤，③正確c.錯誤，③正確D.①③錯誤，②正確【考點3：利用基本不等式解決存在性或恒成立問題】TOC\o"1-5"\h\z231.（2021秋?武清區校級月考）設Q0,y>0>設一+-=1,若3x+2）>#+2機恒成立，則實數小的取xy值范圍是（）A.{小?-6或工24}B.{#忘-4或326}C.{.r|-6<x<4）D.{x\-4<x<6）（2021秋?蘭山區校級期中）已知。>0,b>0,a+2b=ab,若不等式2a+b22〃尸?9恒成立，則用的最大值為（）A.1B.2C.3D.7zn1（2021秋?新興縣校級月考）已知m>0,孫>0,當x+y=2時，不等式一+一工2恒成立，則機的取值%y范圍是（）A.V2<m<2B.啟1C.0V〃W1D.l〈mW2（2022春?合肥期末）若兩個正實數x,），滿足心+9=1,且不等式?+4萬>zu2-6m恒成立，則實數機的取值范圍是—.（2021秋?河南月考）已知x、y為兩個正實數，且不等式2W；十三恒成立，則實數a的取值范圍x+y2xy是—.19（2021秋?黑龍江期末）已知北>0,）>0且以+1=1,求使不等式恒成立的實數機的取值范圍.（2020秋?安慶期末）已知正實數x,y滿足4x+4y=I.（1）求xy的最大值；（2）若不等式,+工之02+50恒成立，求實數。的取值范圍.xy（2021秋?玄武區校級月考）已知正數x,y滿足2r+y-xy=0.（1）求2r+y的最小值；（2）若x（y+2）-4&＞7712+5m恒成立，求實數的取值范圍.（2021秋?華龍區校級期中）已知心＞0,）＞0,且x+y=2.（1）求工+2的最小值；xy（2）若4x+l-irkxy^O恒成立，求m的最大值.【考點4：利用基本不等式解決實際問題】【知識點：利用基本不等式解決實際問題】⑴此類型的題目往往較長，解題時需認真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數學模型，轉化為數學問題求解；（2）當運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據變量的范圍用對應函數的單調性求解.（2022春?浦東新區校級月考）某工廠的產值第二年比第一年的增長率是P,第三年比第二年的增長率是尸2,而這兩年的平均增長率為P,在P+P2為定值的情況下，戶的最大值為—（用P、P1表示）.（2021秋邛日春市校級月考）用一段長為32機的籬笆圍成