1第三章扭轉2第三章扭轉

§3-1

扭轉的概念和實例§3-2外力偶矩的計算

扭矩及扭矩圖§3-3純剪切

§3-4

圓軸扭轉時的應力3

*§3-8

薄壁桿件的自由扭轉§3-5

圓軸扭轉時的變形§3-6圓柱形密圈螺旋彈簧的應力和變形

§3-7非圓截面桿的扭轉概念4齒輪傳動用于機床、汽車、起重機、拖拉機等的變速箱

§3-1扭轉的概念及實例一、工程實例56力偶：大小相等，方向相反，不在同一作用線上的一對平行力稱為“力偶”。力偶矩：平行力中的一個力與力偶臂的乘積。力偶不能用一個力來平衡，力偶只能用力偶平衡。根據力偶的性質，力偶只產生轉動效應。7MeMe二、桿件扭轉受力特點

桿件的兩端作用兩個大小相等、方向相反、且作用平面垂直于桿件軸線的力偶.三、變形特點桿件的任意兩個橫截面都發生繞軸線的相對轉動.8§3-2外力偶矩的計算·扭矩及扭矩圖Ⅰ.傳動軸的外力偶矩從動輪主動輪從動輪nMe2Me1Me39外力偶矩Me每秒鐘所作功，即該輪所傳遞的功率為

在已知傳動軸的轉速n和主動輪或從動輪所傳遞的功率P之后，即可由下式計算作用于每一輪上的外力偶矩：10

主動輪上的外力偶其轉向與傳動軸的轉動方向相同，而從動輪上的外力偶則轉向與傳動軸的轉動方向相反。11Me假想將軸截開取左側為研究對象二、內力的計算1.求內力截面法TMeMeT:截面內力偶矩，稱為扭矩122.扭矩的正負號：規定可按右手螺旋法則表示：扭矩矢量離開截面為正，指向截面為負。13nnMeMe?xMe?xT3.扭矩圖

用平行于桿軸線的坐標x表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線的坐標T表示橫截面上的扭矩，正的扭矩畫在x軸上方，負的扭矩畫在x

軸下方。Tx+_14Me4ABCDMe1Me2Me3n例3-1一傳動軸如圖所示,其轉速n=300r/min，主動輪A輸入的功率為P1=500kW。若不計軸承摩擦所耗的功率，三個從動輪輸出的功率分別為P2=150kW，P3=150kW,P4=200kW。試做扭矩圖。15解:計算外力偶矩Me4ABCDMe1Me2Me3nP1=500kWP2=150kWP4=200kWP3=150kWn=300r/min16

計算CA

段內截面上的扭矩.結果為負號,說明T

2應是負值扭矩由平衡方程ABCD

Me1Me3Me222BCxMe2Me3T2Me417ABCD在AD

段內1133Me4Me1Me3Me2Me2Me4T1T3作扭矩圖從圖可見,最大扭矩在CA段內.同理,在BC

段內4774.5N·m9549N·m6366N·m+_T181.實驗前（1）畫縱向線、圓周線;（2）施加一對外力偶.一、薄壁圓筒扭轉時切應力薄壁圓筒：壁厚（r0—圓筒的平均半徑）dxx

Me

Me2.實驗后（1）圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉動；（2）各縱向線均傾斜了同一微小角度；（3）所有矩形網格均成為同樣大小的平行四邊形.§3-3純剪切193.推論（1）橫截面上無正應力，只有切應力；（2）切應力方向垂直半徑或與圓周相切.dxδ

圓周各點處切應力的方向于圓周相切,且數值相等,近似的認為沿壁厚方向各點處切應力的數值無變化.MeMeABDCdx20此式為薄壁圓筒扭轉時橫截面上切應力的計算公式.4.推導公式Tττ

薄壁筒扭轉時橫截面上的切應力均勻分布，與半徑垂直，指向與扭矩的轉向一致.21xdydzdxyz二、切應力互等定理ττ1.在單元體左、右面（桿的橫截面）只有切應力,其方向于y

軸平行.

兩側面的內力元素

dydz大小相等,方向相反,將組成一個力偶.由平衡方程其矩為(dydz)dx22xydydzzdxττ2.要滿足平衡方程

在單元體的上、下兩平面上必有大小相等，指向相反的一對內力組成力偶，其矩為即：3.切應力互等定理

單元體兩個相互垂直平面上的切應力同時存在,且大小相等,都指相（或背離）該兩平面的交線.23MeMel式中,r

為薄壁圓筒的外半經.三、剪切胡克定律4.純剪切單元體單元體平面上只有切應力而無正應力,則稱為純剪切單元體.從幾何關系可以得到切應變與相對轉角的關系為：

薄壁圓筒的扭轉試驗發現,當外力偶Me

在某一范圍內時,

與Me

（在數值上等于

T

）成正比.24三個彈性常數的關系TO從T與之間的線性關系,可推出與

間的線性關系.該式稱為材料的剪切胡克定律G–切變模量O由：25思考題：指出下面圖形的切應變2切應變為切應變為026四、剪切應變能

對處于純剪切應力狀態的單元體（圖a），為計算其上的外力所作功dW可使左側面不動，此時的切應力t僅發生在豎直平面內而只有右側面上的外力tdydz在相應的位移gdx上作功。27

當材料在線彈性范圍內工作時（t

≤tp，見圖b），有：28由剪切胡克定律t=Gg，該應變能密度的表達式可寫為

單元體內儲存的應變能dVe數值上等于單元體上外力所作功dW，即dVe=dW

。單元體單位體積內的應變能，亦即純剪切應力狀態下的應變能密度為29變形幾何關系物理關系靜力關系

觀察變形提出假設變形的分布規律應力的分布規律建立公式§3-4圓軸扭轉時的應力30一、變形幾何關系2.平面假設變形前為平面的橫截面,變形后仍保持為平面，形狀和大小不變；相鄰兩截面的距離不變。推知：桿的橫截面上只有切應力，且垂直于半徑。1.表面變形情況：(a)相鄰圓周線繞桿的軸線相對轉動，但它們的大小和形狀未變，小變形情況下它們的間距也未變；(b)縱向線傾斜了一個角度。31aabbdxO1O23.幾何關系

傾角是橫截面圓周上任一點A

處的切應變,d是b-b截面相對于a-a截面象剛性平面一樣繞桿的軸線轉動的一個角度.

經過半徑O2D

上任一點G的縱向線EG

傾斜了一個角度r,也就是橫截面半徑上任一點E處的切應變TTdADG'ρρD'GE32aabATTdxDbDO1O2GG'ρρ式中——相對扭轉角j

沿桿長的變化率，常用j'

來表示，對于給定的橫截面為常量。33

同一圓周上各點切應力

均相同,且其值與成正比,

與半徑垂直.

二、物理關系由剪切胡克定律aabATTdxDbDO1O2GG'ρρ34rOdAdAρρT三、靜力關系結論ρρIp—橫截面對圓心的極慣性矩GIp—橫截面扭轉剛度35Wt

稱作抗扭截面系數，單位為mm3或m3.2.的計算rOTdAdAρρρmax靜力關系代入物理關系中得到物理關系靜力關系36（1）實心圓截面dO四.極慣性矩Ip和抗扭截面系數Wt的計算ρdρ37（2）空心圓截面ODdρdρ38例題3-2圖示空心圓軸外徑D=100mm,內徑d=80mm,Me1=6kN·m,Me2=4kN·m,材料的切變模量G=80GPa.（1）畫軸的扭矩圖；（2）求軸的最大切應力,并指出其位置.Me1Me2ABCll39解:（1）畫軸的扭矩圖Me1Me2ABCllBC段1Me2CT1T1+Me2=02Me2CMe1BT2T2+Me2-Me1=0T2=2kN·m

AB段（+）（-）T1=-4kN·m最大扭矩發生在BC段

Tmax=4kN·mMe1=6kN·m,Me2=4kN·m42+_T/kN·m40T（2）求軸的最大切應力,并指出其位置max

最大切應力發生在截面的周邊上,且垂直于半徑.Me1Me2ABCllmax

Tmax=4kN·m411.數學表達式五、強度條件2.強度條件的應用強度校核設計截面確定許可載荷42ABC解：作軸的扭矩圖MeAMeBMeC22kN·m14kN·m+_分別校核兩段軸的強度例題3-3

圖示階梯圓軸,AB段的直徑d1=120mm,BC

段的直徑

d2=100mm.扭轉力偶矩為MeA=22kN·m,MeB=36kN·m,MeC=14kN·m.已知材料的許用切應力[]=80MPa,試校核該軸的強度.因此,該軸滿足強度要求.1243例題3-4實心圓軸1和空心圓軸2（圖a、b）材料,扭轉力偶矩M

和長度l

均相等,最大切應力也相等.若空心圓軸的內外徑之比

=0.8,試求空心圓截面的外徑和實心圓截面直徑之比及兩軸的重量比.ll(a)(b)

分析：設實心圓截面直徑為d1,空心圓截面的內、外徑分別為d2、D2;又扭轉力偶矩相等，則兩軸的扭矩也相等，設為T.已知：d1d2D244因此