第五章數列數列簡史中學數學里的數列及其求和等差數列與等比數列數列的差分與高階等差數列線性遞歸數列數列應用舉例（第九組）數列與數學歸納法第七章第五節（第十組）1第一節數列簡史關于數列的早期認識高階等差數列斐波那契數列2斐波那契數列3

一、兔子問題和斐波那契數列

1．兔子問題

1）問題

——取自意大利數學家斐波那契的《算盤書》（1202年）

(L.Fibonacci,1170-1250）

4兔子問題假設一對初生兔子要一個月才到成熟期，而一對成熟兔子每月會生一對兔子，那么，由一對初生兔子開始，12個月后會有多少對兔子呢？5解答

1月

1對6解答

1月 1對

2月 1

對7解答

1月 1對

2月 1對

3月 2對8解答

1月 1對

2月 1對

3月 2對

4月 3對9解答

1月 1對

2月 1對

3月 2對

4月 3對

5月 5對10解答

1月 1對

2月 1對

3月 2對

4月 3對

5月 5對

6月 8對11解答

1月 1對

2月 1對

3月 2對

4月 3對

5月 5對

6月 8對

7月 13對12解答可以將結果以列表形式給出：1月2月3月5月4月6月7月8月9月11月10月12月1123581321345589144因此，斐波那契問題的答案是144對。以上數列，即“斐波那契數列”13

兔子問題的另外一種提法：第一個月是一對大兔子，類似繁殖；到第十二個月時，共有多少對兔子？月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ

大兔對數1123581321345589144

小兔對數01123581321345589

到十二月時有大兔子144對，小兔子89對，共有兔子144+89=233對。規律14①分析、抓住本質、簡化。題中本質上有兩類兔子：一類是能生殖的兔子，簡稱為大兔子；新生的兔子不能生殖，簡稱為小兔子；小兔子一個月就長成大兔子。求的是大兔子與小兔子的總和。15

2）深入觀察規律

①每月小兔對數=上月大兔對數。②每月大兔對數等于上個月大兔對數與小兔對數之和。綜合①②兩點，我們就有：每月大兔對數等于前兩個月大兔對數之和。列表觀察，不僅解答了問題，而且找到了規律。16

2．斐波那契數列

1）公式用表示第個月大兔子的對數，則有二階遞推公式

17

2）斐波那契數列令n=1,2,3,…依次寫出數列，就是

1，1，2，3，5，8，13，21，34，

55，89，144，233，377，…

這就是斐波那契數列。其中的任一個數，都叫斐波那契數。

18

這不是一個普通的分數，而是一個分母上有無窮多個“1”的繁分數，我們通常稱這樣的分數為“連分數”。二．相關問題：連分數19

上述連分數可以看作是中，把的表達式反復代入等號右端得到的；例如，第一次代入得到的是

反復迭代，就得到上述連分數。20上述這一全部由1構成的連分數，

是最簡單的一個連分數。21

通常，求連分數的值，如同求無理數的值一樣，我們常常需要求它的近似值。如果把該連分數從第條分數線截住，即把第條分數線上、下的部分都刪去，就得到該連分數的第次近似值，記作。22對照可算得

23發現規律后可以改一種方法算，

例如順序排起來，這個連分數的近似值逐次為

24為討論黃金矩形與斐波那契數列的聯系，我們把黃金比化為連分數，去求黃金比的近似值。化連分數時，沿用剛才“迭代”的思路：與斐波那契數列的聯系：25

反復迭代，得

26它竟然與我們在上段中研究的連分數一樣！因此，黃金比的近似值寫成分數表達的數列，也是，其分子、分母都由斐波那契數列構成。并且，這一數列的極限就是黃金比。27三、數學的統一美數學中，“從不同的范疇，不同的途徑，得到同一個結果”的情形是屢見不鮮的。這反映了客觀世界的多樣性和統一性，也反映了數學的統一美。黃金分割點0.618的得到，是一個能說明問題的例子28

從不同途徑導出黃金比

1．黃金分割：線段的分割點滿足

，這一比值正是。

2．斐波那契數列組成的分數數列的極限正是。29

3．方程的正根是

4．黃金矩形的寬長之比正是

5．連分數的值正是

6．優選法的試驗點，正是

我們看到了數學的統一美。30

四、斐波那契協會和《斐波那契季刊》

1．斐波那契協會和《斐波那契季刊》

斐波那契1202年在《算盤書》中從兔子問題得到斐波那契數列1，1，2，3，5，8，13，…之后，并沒有進一步探討此序列，并且在19世紀初以前，也沒有人認真研究過它。沒想到過了幾百年之后，十九世紀末和二十世紀，這一問題派生出廣泛的應用，從而突然活躍起來，成為熱門的研究課題。31

有人比喻說，“有關斐波那契數列的論文，甚至比斐波那契的兔子增長得還快”，以致1963年成立了斐波那契協會，還出版了《斐波那契季刊》。

32

2．斐波那契生平斐波那契（Fibonacci.L,1175—1250）出生于意大利的比薩。他小時候就對算術很有興趣。后來，他父親帶他旅行到埃及、敘利亞、希臘（拜占庭）、西西里和普羅旺斯，他又接觸到東方國家的數學。斐波那契確信印度—阿拉伯計算方法在實用上的優越性。1202年，在回到家里不久，他發表了著名的《算盤書》。33

斐波那契的才能受到弗里德里希二世的重視，因而被邀請到宮廷參加數學競賽。他還曾向官吏和市民講授計算方法。他的最重要的成果在不定分析和數論方面，除了《算盤書》外，保存下來的還有《實用幾何》等四部著作。34斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250）35

3．自然界中的斐波那契數

斐波那契數列中的任一個數，都叫斐波那契數。斐波那契數是大自然的一個基本模式，它出現在許多場合。下面舉幾個例子。36

1）花瓣數中的斐波那契數

大多數植物的花，其花瓣數都恰是斐波那契數。例如，蘭花、茉利花、百合花有3個花瓣，毛茛屬的植物有5個花瓣，翠雀屬植物有8個花瓣，萬壽菊屬植物有13個花瓣，紫菀屬植物有21個花瓣，雛菊屬植物有34、55或89個花瓣。37花瓣中的斐波那契數花瓣的數目海棠（2）鐵蘭（3）38洋紫荊（5）蝴蝶蘭（5）黃蟬（5）花瓣中的斐波那契數花瓣的數目39花瓣中的斐波那契數花瓣的數目雛菊（13）雛菊（13）402）樹杈的數向日葵花盤內葵花子排列的螺線數42

43向日葵花盤內，種子是按對數螺線排列的，有順時針轉和逆時針轉的兩組對數螺線。兩組螺線的條數往往成相繼的兩個斐波那契數，一般是34和55，大向日葵是89和144，還曾發現過一個更大的向日葵有144和233條螺線，它們都是相繼的兩個斐波那契數。44

松果種子的排列45

松果種子的排列46

松果種子的排列47菜花表面排列的螺線數（5-8）48這一模式幾個世紀前已被注意到，此后曾被廣泛研究，但真正滿意的解釋直到1993年才給出。這種解釋是：這是植物生長的動力學特性造成的；相鄰器官原基之間的夾角是黃金角——137.50776度；這使種子的堆集效率達到最高。49

4、股票指數增減的“波浪理論”

①完整周期3上2下（或5上3下或3上5下），常是相繼兩斐波那契數；②每次股指增長幅度（8，13等）或回調幅度（8，5），常是相繼兩斐波那契數。股指變化有無規律？回答是肯定的。5051

1934年美國經濟學家艾略特在通過大量資料分析、研究后，發現了股指增減的微妙規律，并提出了頗有影響的“波浪理論”。該理論認為：股指波動的一個完整過程（周期）是由波形圖（股指變化的圖象）上的5（或8）個波組成，其中3上2下（或5上3下），如圖，無論從小波還是從大波波形上看，均如此。注意這兒的2、3、5、8均系斐波那契數列中的數。52同時，每次股指的增長幅度常循斐波那契數列中數字規律完成。比如：如果某日股指上升8點，則股指下一次攀升點數為13；若股指回調，其幅度應在5點左右。顯然，5、8、13為斐氏數列的相鄰三項。53可以說，斐波那契以他的兔子問題，猜中了大自然的奧秘，而斐波那契數列的種種應用，是這個奧秘的不同體現。妙哉數學！54

5．推廣的斐波那契數列—盧卡斯數列

1）盧卡斯數列盧卡斯（Lucas，F.E.A.1824-1891）構造了一類更值得研究的數列，現被稱為“推廣的斐波那契數列”，55即從任何兩個正整數開始，往后的每一個數是其前兩個數之和，由此構成無窮數列。此即，二階遞推公式中，遞推式與前面一樣，而起始整數可任取。56

斐波那契數列1，1，2，3，5，8，…是這類數列中最簡單的一個，起始整數分別取為1、1。次簡單的為1，3，4，7，11，18，…現稱之為盧卡斯數列。盧卡斯數列的通項公式是

57

推廣的斐波那契數列與斐波那契數列一樣，與黃金分割有密切的聯系：該數列相鄰兩數之比，交替地大于或小于黃金比；并且，兩數之比的差隨項數的增加而越來越小，趨近于0，從而這個比存在極限；而且這個比的極限也是黃金比。

58類似于前面提到的數列

其極限也是59

6．斐波那契數列的一些更深刻的性質

1）通項公式

一個正整數序列的通項，竟然可以用帶有無理數的式子表達，這是十分意外的結果。該證明由法國數學家比內（Binet）做出。60

2）斐波那契數列的后項除以前項做成的分數數列的極限為黃金比的倒數稱為第二黃金比。即有613）斐波那契數列的有趣特性數學家發現了許多斐波那契數列的特性。例如：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…第3、6、9、12等項的數字能被2整除。第4、8、12等項的數字能被3整除。第5、10等項的數字能被5整除。其余依此類推。62從斐波那契數列體味數學文化要善于從生活中發現問題解決問題，首先要明確概念，提煉其精髓采取合適的方法（如列表）是關鍵善于總結，從而得出一般規律（這里，建立了二階遞推公式）63第二節中學數學里的數列及其求和數列的定義及其表示有限數列的通項和拉格朗日插值公式數列求和法

中學里的數列教學內容，主要是建立數列的概念，學習簡單的級數求和方法，特別是仔細研究等差數列和等比數列的各種性質。64一、數列的定義及其表示定義在正整數集上的函數構成數列；《全日制普通高級中學教科書（必修）·數學》第一冊（上）中數列的定義為：按一定次序排成的一列數。關于數列概念應該注意：①數列具有嚴格的順序性；②集合與數列不完全是一回事；③數列不等于序列，序列是比數列更廣泛的概念。651.與通項an有關的問題例課本P134，例32.與前n項和Sn有關的問題①分組求和法（P135，例5）②裂項相消法（P135，例6）③錯項相消法（P135，例8）

④反序相加法（P135，例9）3.與an和

Sn有關的問題三、數列求和法66第三節等差數列與等比數列6768697071課堂練習：72737475第四節數列差分與高階等差數列高中數學課程中的數列差分數列的差分高階等差數列中國古代的高階等差數列76一、高中數學課程中的數列差分數學1數學5數學4數學3數學2必修模塊選修1-1選修1-2選修系列選修2-1選修2-2選修2-3選修3-5選修3-2選修3-3選修3-4選修3-1選修3-6選修4-1選修4-2選修4-3選修4-44-10……77數列與差分隨著信息技術的日益普及和發展，離散數學的應用越來越廣泛。差分和差分方程是描述離散變量變化的重要工具，在理論上是十分重要的，并且有廣泛的應用。本專題初步研究數列的差分和簡單的差分方程，使學生掌握一些用離散變量分析解決問題的方法。78二數列的差分定義對于數列，稱為的一階差數列。并稱為的一階差分（簡稱差分）；的一階差分叫做的二階差分；一般地，設m是任一正整數，則稱為的m階差分。79數列的差分

課堂練習求下列數列的差分①數列1，1，1，1，1，1，……一階差分：0，0，0，0，0，……②數列1，2，3，4，5，6，……一階差分：1，1，1，1，1，……二階差分：0，0，0，0，……80數列的差分

課堂練習③數列：即1，4，9，16，25，36，……一階差分：3，5，7，9，11，……二階差分：2，2，2，2，……三階差分：0，0，0，……81數列的差分

課堂練習④數列：即1，2，4，8，16，32，……一階差分：1，2，4，8，16，……二階差分：1，2，4，8，……三階差分：1，2，4……82數列的差分定理對于數列，，有⑴⑵，這里為常數⑶或⑷83數列的差分證明：⑴、⑵、⑶直接應用差分定義即可；⑷由⑶，有于是84數列的差分

例題例1求數列的前n項和解法一等比數列的求和公式：

85解法二86解法三因為所以87例2求和解法一88解法二見課本P14389解法三見課本P14490三高階等差數列定義對于數列，若有正整數m，使是非零常數列，則稱為m階等差數列。當時，m階等差數列統稱為高階等差數列。常數列叫做零階等差數列。91高階等差數列92高階等差數列9394四、中國古代的高階等差數列早在北宋時期，數學家沈括就創立了與高階等差數列有關的“隙積術”；南宋末期數學家楊輝亦研究了高階等差數列，并提出了“垛積術”；到了元朝，優秀的天文學家和數學家郭守敬在以他為主編著的《授時歷》中，就用高階等差數方面的知識，來解決天文計算中的高次招差問題。朱世杰則在其所著的《四元玉鑒》一書中，把中國宋、元數學家在高階等差級數求和方面的工作更向前推進了一步，對這一類問題得出了一系列重要的求和公式，其中最突出的是他創造了“招差法”（即“逐差法”）