2.1地球形狀、大小及其表面幾何模型概述2.2空間坐標系2.3地圖投影2.4地理信息的分類與編碼第2章地理信息系統的地理數學基礎第一節地球形狀、大小及其表面幾何模型概述1地球橢球地球三軸橢球體模型，是以大地水準面為基準建立起來的地球橢球體模型。設橢球體短軸上的半徑記為c，它表示從極地到地心的距離；橢球體長軸上的半徑和中軸上的半徑記為a和b，它們分別是赤道上的兩個主軸。由于赤道扁率較極地扁率要小得多，因此可假定赤道面為圓形。因此，為便于計算，廣泛采用雙軸橢球體作為地球形體的參考模型，即用a代替b，雙軸橢球體亦稱為旋轉橢球體。因此上面的方程就變為：

旋轉橢球體是地球表面幾何模型中最簡單的一類模型，為世界各國普遍采用作為測量工作的基準。美國環境系統研究所（ESRI）的ARC/INFO軟件中提供了多達30種旋轉橢球體模型。我國目前一般采用克拉索夫斯基橢球體作為地球表面幾何模型。地球橢球、參考橢球用來代替大地體的橢球體稱為地球橢球體。一個與大地體外形符合最好的橢球體叫地球橢球或平均橢球體。地球橢球滿足三個條件

參考橢球體是只與某一個國家或某一地區的大地水準面符合較好的地球橢球體。2地球橢球體的逼近一級逼近:大地水準面(重力等位面)包圍的球體，稱為大地球體（三軸橢球體）。二級逼近:雙軸橢球體。地球橢球體的三要素:長半軸a，短半軸b，扁率f=(a-b)/a。三級逼近:與局部地區的大地水準面符合得最好的一個地球橢球體，稱為參考橢球體。通常不同國家地區采用不同的參考橢球體。常見地球橢球體的主要參數一覽表YearEllipsoidSemimajorAxisa(m)FlatteningfUse1984WGS846378137.001/298.26NewlyAdopted1980GRS806378137.001/298.26NewlyAdopted1975IUGG6378140.001/298.257China1940Krasovsky

6378245.001/298.30Russia,China1909International6378388.001/297MuchofWorld1880Clar151/293.47France,MostofAfrica1866Clar401/294.98NorthAmerica1841Bessel6377397.161/299.15MidEurope,Indonisia有了參考橢球，在實際建立地理空間坐標系統的時候，還需要指定一個大地基準面將這個橢球體與大地體聯系起來。再實際建立地理空間坐標系統3大地基準面（Datum）

這里所說的大地基準是指能夠最佳擬合地球形狀的地球橢球的參數及橢球定位和定向。橢球定位是指確定橢球中心的位置。橢球定向是指確定橢球旋轉軸的方向，不論是局部定位還是地心定位，都應滿足兩個平行條件:①橢球短軸平行于地球自轉軸；②大地起始子午面平行于天文起始子午面

橢球體與基準面之間的關系是一對多的關系，也就是基準面是在橢球體基礎上建立的，但橢球體不能代表基準面，同樣的橢球體能定義不同的基準面，如前蘇聯的Pulkovo1942、非洲索馬里的Afgooye基準面都采用了Krassovsky橢球體，但它們的基準面顯然是不同的。具有確定參數(長半徑a和扁率α)，經過局部定位和定向，同某一地區大地水準面最佳擬合的地球橢球，叫做參考橢球。一般意義上基準面與參考橢球體是同一個概念。除了滿足地心定位和雙平行條件外，在確定橢球參數時能使它在全球范圍內與大地體最密合的地球橢球，叫做總地球橢球。理論上，總地球橢球應該只有一個。要正確區分的兩個概念地理空間坐標系統提供了確定空間位置的參照基準。一般情況，根據表達方式的不同，地理空間坐標系統通常分為球面坐標系統和平面坐標系統。平面坐標系統也常被成為投影坐標系統。球面坐標系統大地地理坐標地理空間坐標平面坐標系空間直角坐標系天文地理坐標高斯平面直角坐標系地方獨立平面直角坐標系地心坐標系參心坐標系地理空間坐標分類表第二節空間坐標系…..基準子午面（1）天球坐標系球面坐標系的類型參心大地坐標系是建立在一定的大地基準上的用于表達地球表面空間位置及其相對關系的數學參照系。大地地理坐標也簡稱大地坐標。空間一點的大地坐標用大地經度λ、大地緯度φ和大地高度H表示。（2）大地坐標系參心大地坐標系地心大地坐標系地球橢球的中心與地球質心（質量中心）重合，橢球的短軸與地球自轉軸重合。地心大地經度L，是過地面點的橢球子午面與格林尼治天文臺子午面的夾角；地心大地緯度B，是過點的橢球法線（與參考橢球面正交的直線）和橢球赤道面的夾角；大地高H，是地面點沿橢球法線到地球橢球面的距離。3)新1954北京坐標系將1980國家大地坐標系的空間直角坐標經過三個平移參數平移變換至克拉索夫斯基橢球中心，橢球參數保持與1954年北京坐標系相同。根據《中華人民共和國測繪法》，經國務院批準，我國自2008年7月1日起，啟用2000國家大地坐標系。2000國家大地坐標系是全球地心坐標系在我國的具體體現，其原點為包括海洋和大氣的整個地球的質量中心。2000國家大地坐標系采用的地球橢球參數如下：

長半軸

a＝6378137m

扁率

f＝1/298.257222101

地心引力常數

GM＝3.986004418×1014m3s-2

自轉角速度

ω＝7.292l15×10-5rads-1

2000國家大地坐標系—new!ChinaGeodeticCoordinateSystem2000，縮寫為CGCS2000我國現有三種參心坐標系：1）1954年北京坐標系（局部平差）--參心以蘇聯西部普爾科夫(Pulkovo)為坐標原點，采用克拉索夫斯基橢球體。2）1980年國家大地坐標系（整體平差）--參心1980年在陜西省涇陽縣永樂鎮設立了大地坐標原點，簡稱西安原點。

赤道半徑(a)=6378140.0000000000m

極半徑(b)=6356755.2881575287m

地球扁率(f)=(a-b)/a=1/298.257

我國的大地坐標系（參心、地心）大地原點第三節地球投影4.1投影的提出GIS是建立在地理空間坐標系基礎上的地理坐標（經度、緯度）是描述地理空間信息最直接的方法。平面直角坐標系(X,Y)建立了對地理空間良好的視覺感，并易于進行距離、方向、面積等空間參數的量算，以及進一步的空間數據處理和分析。地理信息系統中的地理空間，通常就是指經過投影變換后放在笛卡兒坐標中的地球表層特征空間，它的理論基礎在于旋轉橢球體和地圖投影變換。直接建立在球體上的地理坐標，用經度和緯度表達地理對象位置建立在平面上的直角坐標系統，用（x,y）表達地理對象位置投影地理信息系統中的特征實體的位置，通常就是指經過投影變換后平面上的直角坐標。

一個特定的地理坐標系是由一個特定的橢球體和一種特定的地圖投影構成。其中：橢球體是一種對地球形狀的數學描述；地圖投影是將球面坐標轉換成平面坐標的數學方法。絕大多數的地圖都是遵照一種已知的地理坐標系來顯示坐標數據。

1.投影（Projection）定義空間任意點A與固定點S的連線AS（包括其延長線）被某面P所截，直線AS與該截面P的交點a叫做空間點A在截面P上的投影。截面P稱作投影面，交點a稱作投影點，直線AS稱作投影線，S點稱作投影中心。

說明：

●投影面P不一定是平面

●點A與投影面P不必須是在S的兩側

●在特殊情況下投影中心S點允許在無窮遠處abcPESP’c’CBA4.2地圖的投影2.中心投影

——投影面是平面、投影中心S在有限遠處的投影稱作中心投影。攝影照相機就是中心投影。

——中心投影有兩個問題：

●地面起伏引起投影誤差；

●投影面P與地面E不平行，也引起投影誤差。

——正射投影

●定義：投影面平行于地面、投影線垂直于地面（S于無窮遠處）的投影。

●實際上的正射投影——二次投影，即將起伏地面正射投影于一個基準平面上，再進行中心投影，且投影面與基準面平行。

正射投影示意圖地圖投影：投影實質設想地球是透明體，有一點光源S（投影中心），向四周輻射投影射線，通過球表面射到可展面（投影面）上，得到投影點，然后再將投影面展開鋪平，又將其比例尺縮小到可見程度，從而制成地圖。3.地圖投影概念橢球面上的各點的大地坐標，按照一定的數學法則，變換為平面上相應點的平面直角坐標，通常稱為地圖投影。地理坐標為球面坐標，不方便進行距離、方位、面積等參數的量算地球橢球體為不可展曲面地圖為平面，符合視覺心理，并易于進行距離、方位、面積等量算和各種空間分析地球曲面轉換成地圖平面，不僅僅存在著比例尺變換，而且還存在著投影轉換的問題

當給定不同的具體條件時，將得到不同類型的投影方式。建立地球橢球面上經緯線網和平面上相應經緯線網的數學基礎，也就是建立地球橢球面上的點的地理坐標（λ,φ）與平面上對應點的平面坐標（x,y）之間的函數關系：4.正解變換和反解變換一般地，我們把由地理坐標求出地圖平面直角坐標的形式稱為正算式，稱正解變換，也稱直接變換法。

把由地圖直角坐標求出地理坐標的形式稱為反算式，稱反解變換，也稱間直接變換法。5.地圖投影的分類地球表面經投影變換后其角度、面積、形狀、距離會產生畸變，為保證某種畸變最小，產生了各種不同的投影變換。1）按變形的性質等角投影(Conformalprojections)等積投影(Equalareaprojections)等距投影(Equidistantprojections)2）按構成方法分類幾何投影按展開方式方位投影(AzimuthalProjections)圓柱投影(CylindricalProjections)圓錐投影(ConicProjections)按投影面與地球相割或相切割投影(Secant)切投影(Tangent)軸向正軸(Normal)斜軸(Oblique)橫軸(Transverse)非幾何投影正軸圓柱方位圓錐斜軸橫軸幾何投影幾種投影方式展開圖方位投影展開圖圓柱投影展開圖圓錐投影展開圖投影轉換圓柱方位圓錐地圖投影非幾何投影并不借助輔助投影面，而是根據某些特定要求，用數學解析方法，求出投影公式，確定平面與球面之間點與點之間的函數關系。按經緯線形狀，分為偽方位投影、偽圓柱投影、偽圓錐投影、多圓錐投影。Sinusoidal等積偽圓柱投影，(Sanson投影)Robinson偽圓柱投影Pseudo-cylindricalProjections面積變形和長度變形6.地圖投影的變形長度變形面積變形角度變形長度變形角度變形地圖投影中不可避免地存在著變形，在建立一個投影時不僅要建立（x,y)與(,)之間的關系，而且要研究投影變形的分布與大小。地圖投影的變形主要體現在：RobinsonProjection--16,930MilesObliqueMercatorProjection--10,473MilesMercatorProjection--31,216MilesLengthDistortiononWorldMaps地圖既是GIS的重要數據源，又是GIS的重要輸出形。

地圖按內容分類可分為普通地圖和專題地圖。專題地圖是在普通地圖的基礎上，突出表示一種或多種自然或社會經濟現象的地圖。如地貌圖、雨量分布圖等

地圖按比例尺分類可分大、中、小三大類大比例尺指比例尺大于等于1：10萬的地圖；中比例尺指比例尺在1：10萬到1：100萬的地圖；小比例尺指比例尺小于等于1：100萬的地圖。

地圖按結構分類分線畫地圖和影像地圖。4.3投影的選擇1、地圖的分類city1:2500001:500000小比例尺1:5001:5000大比例尺êcityriverriver在地圖中，不同比例尺的地圖系列表示不同空間尺度的地理實體，小尺度下的實體到大尺度時，往往通過地圖綜合而被合并或忽略。地圖比例尺(描述地理實體的空間尺度)1）選擇的投影系統應與國家基本圖（基本比例尺地形圖、基本省區圖或國家大地圖集）投影系統一致；2）系統一般采用兩種投影系統；一種服務于大比例尺的數據處理與輸入輸出；一種服務于中小比例尺的數據處理與輸入輸出；3）所用投影應能與網格坐標系統相適應，即所采用的網格系統在投影帶中應保持完整。隨區域徑緯度不同、地圖比例尺不同、及地圖用途不同，地圖投影方法也不同，現有地圖投影方法共有250多種。但常用的也就20多種。需要考慮：

成圖的代表性各類數據的通用性定量數據的精度要求傳統方法： 近赤道處，用柱面投影 中緯度地區，用錐面投影 極地地區，用方位投影2、投影選擇的一般原則三、等角圓錐投影?學習重點圓錐投影的概念及分類掌握單標準緯線等角圓錐投影掌握雙標準緯線等角圓錐投影?學習難點掌握圓錐投影的應用

在等角圓錐投影中，微分圓的表象保持為圓形，也就是同一點上各方向的長度比均相等，或者說保持角度沒有變形，該投影亦稱為蘭勃特等角圓錐投影。

等角條件：

等角圓錐投影m=n(或a=b)W=0e1為第一偏心率單標準緯線等角圓錐投影雙標準緯線等角圓錐投影圓錐投影的分析及應用圓錐投影標準緯線的選擇?加拿大：>=1:50萬——采用UTM（墨卡托投影）

<1:50萬——采用Lambert（蘭勃特

）;美國：>=1:50萬——采用UTM;

<1:50萬——采用州平面坐標系統(以高斯投影和Lambert投影為主，局部地區采用HOM投影)；中國：>=1:50萬——采用高斯投影；

<1:50萬——采用Lambert（蘭勃特

）。1、GIS投影例子4.4美國UTM投影UTM投影是一種橫割圓柱等角投影，圓柱面在84?N和84?S處與橢球體相割，采用在地球表面按經度每6?分帶。其帶號是自西經180?由西向東每隔6?一個編號。美國編制世界各地軍用地圖和地球資源衛星像片所采用的全球橫軸墨卡托投影（UTM）是橫軸墨卡托投影的一種變型。UTM是國際比較通用的地圖投影，主要用于全球自84?N-80?S之間地區的制圖。2、UTM投影UniversalTransverseMercatorEveryplaceonearthfallsinaparticularzoneUniversalTransverseMercator(UTM)MercatorProjectionLower48States--52,362,000SqMilesColumbia--4,471,000SqMilesMollweideProjection(equal-area)Lower48States--30,730,000SqMilesColumbia--4,456,000SqMilesAreaDistortiononWorldMaps

1)我國基本比例尺地形圖(>100萬)采用高斯—克呂格投影（橫軸等角切圓柱投影）;2)我國1：100萬地形圖采用了Lambert(蘭勃特)投影（正軸等角割圓錐投影）;3)我國大部分省區地圖以及大多數這一比例尺的地圖也多采用Lambert投影和屬于同一投影系統的Alberts(阿爾伯斯)投影（正軸等面積割圓錐投影）;總之，在我國大中比例尺時，采用高斯—克呂格投影，小比例尺采用蘭勃特投影。4.5我國的地圖投影高斯—克呂格投影高斯投影是一種橫軸等角切橢圓柱投影，其條件為：中央經線和地球赤道投影成為直線且為投影的對稱軸；等角投影；

中央經線上沒有長度變形。由公式可分析出高斯投影變形具有以下特點：中央經線上無變形同一條緯線上，離中央經線越遠，變形越大；同一條經線上，緯度越低，變形越大；

1:2.5萬至1:50萬的地形圖，采用6°帶，全球共分為60個投影帶；我國位于東經72°到136°間，共含11個投影帶；

1:1萬及更大比例尺圖采用3°帶，全球共120個帶。我國高斯投影的分帶方法為了避免出現負的橫坐標，可在橫坐標上加上500km。此外還應在坐標前面再冠以帶號。這種坐標稱為國家統一坐標。例如，有一點Y=19123456.789m，該點位在19帶內，其相對于中央子午線而言的橫坐標則是：首先去掉帶號，再減去500000m,最后得y=-376543.211m。高斯—克呂格投影（Gauss-KrugerProjection）---投影分帶6度帶高斯投影的中國略圖等角性別適合系列比例尺地圖的使用與編制;

徑緯網和直角坐標的偏差小，便于閱讀使用;

計算工作量小，直角坐標和子午收斂角值只需計算一個帶。由于高斯-克呂格投影采用分帶投影，各帶的投影完全相同，所以各投影帶的直角坐標值也完全一樣，所不同的僅是中央經線或投影帶號不同。為了確切表示某點的位置，需要在Y坐標值前面冠以帶號。如表示某點的橫坐標為米，前面兩位數字“20”即表示該點所處的投影帶號。高斯--克呂格投影的優點注意跨帶計算！大于1:10萬的地形圖上繪有高斯－克呂格投影平面直角坐標網，其方格為正方形，以公里為單位，故又稱公里網。公里網在地圖上的間隔，隨地圖比例尺大小不同而不同。1:1萬公里網間隔10cm實地距離1km1:2.5萬公里網間隔4cm實地距離1km1:5萬公里網間隔2cm實地距離1km1:10萬公里網間隔2cm實地距離2km地形圖的公里網高斯-克呂格投影與UTM的區別高斯-克呂格投影在歐美稱為等角橫軸墨卡托。美國等國家使用的UTM投影與高斯-克呂格投影基本一樣。UTM是等角橫割圓柱投影，在投影帶內有兩條長度比＝1的標準經線，中央經線的長度比為0.9996。高斯-克呂格投影的值乘上系數0.9996，即為UTM投影。在6?帶內最大長度變形不超過0.04%。Gauss-Krüger:Scalefactor:1UTM:Scalefactor:0.9996GEOGCS["GCS_WGS_1984",DATUM["D_WGS_1984",SPHEROID["WGS_1984",6378137,298.257223563]],PRIMEM["Greenwich",0],UNIT["Degree",0.0174532925199433]]country.prj一個投影文件的例子PROJCS["IDTM",GEOGCS["GCS_North_American_1927",DATUM["D_North_American_1927",SPHEROID["Clarke_1866",6378206.4,294.9786982]],PRIMEM["Greenwich",0.0],UNIT["Degree",0.0174532925199433]],PROJECTION["Transverse_Mercator"],PARAMETER["False_Easting",500.0],PARAMETER["False_Northing",100.0],PARAMETER["Central_Meridian",-114.0],PARAMETER["Scale_Factor",0.9996],PARAMETER["Latitude_Of_Origin",42.0],UNIT["Meter",1.0]]我國，基本地形圖的分幅和編號按國際規定的在1:100萬地形圖基礎上，按徑緯度進行。1）1:100萬地形圖的分幅按緯差4度，徑差6度分2）1:50萬,1:20萬,1:10萬地形圖的分幅1:50萬按緯差2度，徑差3度分,即一幅1:100萬地形圖包含4幅1:50萬地形圖；1:20萬按緯差40‘，徑差1度分,分36幅圖;1:10萬按緯差20‘，徑差30’分,分144幅圖;3）1:5，1:2.5萬，1:1萬地形圖的分幅和編號這三種圖在1:10萬地形圖基礎上，按徑緯度劃分。6、地形圖的分幅和編號1）1：100萬地形圖的編號1：100萬地形圖的編號為全球統一分幅編號，如圖所示。其圖幅編號采用所在的行、列數表示。行數：由赤道起向南北兩極每隔緯差4?為一列，直到南北88?，將南北半球各劃分為22列，分別用拉丁字母A、B、……V表示。列數：從經度180?起向東每隔6?為一行，繞地球一周共有60列，分別以數字1、2、3、4……60表示。由于南北兩半球的經度相同，規定在南半球的圖號前加一個S，北半球的圖號前不加任何符號。一般來講，把行數的字母寫在前，列數的數字寫在后。如海南省在1：100萬地形圖的位置在第5行，第49列，其編號為E49；北京在第10行，第50列，故其圖幅編號為J50。2）其他比例尺地形圖的編號1：50萬至1：5000地形圖的編號，均以1：100萬地形圖編號為基礎，采用行列式編號法，將1：100萬地形圖按所含各種比例尺地形圖的經緯差劃分成相應的行和列，橫行自上而下，縱列從左到右，按順序均用阿拉伯數字編號，皆用3位數字表示，凡不足3位數的，則在其前補0。各大中比例尺地形圖的圖號均由五個元素10位碼構成。如海南省的某一幅1：5000的地形圖其編碼可為：E49H010020。新分幅編號系統的主要優點是編碼系列統一于一個根部，編碼長度相同，便于計算機處理。1:50萬，1:20萬，1:10萬地形圖的分幅和編號1：50萬1：20萬1：10萬以1:100萬地形圖為基礎緯差4度徑差6度國家坐標系和獨立坐標系按高斯投影統一分帶建立的直角坐標系，稱為國家平面直角坐標系。

由于地球半徑很