第十二章動能定理理論力學

1第十二章動能定理動能定理動能的改變與作用力的功之間的關系

引言：本章討論機械運動的另一種度量——動能以及動能的改變與作用力的功之間的關系（動能定理）。機械運動除保持機械運動的傳遞形式外，還可轉變為其他形式的運動（如熱、電、光等）。前面討論了物體機械運動的一種度量——動量，并建立了動量的改變與作用于質點或質點系的力之間的關系。2§12-1力的功

一、

常力在直線運動中的功單位J（焦耳）1J=1N·m

第十二章動能定理θ＞90°時，功為負值；當θ＜90°時，功為正值；當θ=90°時，即力和位移方向垂直，力在此位移上不作功。3二、變力在曲線運動中的功1、元功：變力F在無限小位移dr上所作的功。第十二章動能定理自然軸系的元功：直角坐標形式的元功：2、功當質點從M1運動到M2時，力F所作的功W就等于在這段路程中所有元功之和。4三、合力的功合力之功定理第十二章動能定理合力所作的元功等于各分力的元功的代數和；合力在質點任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的代數和。則51、重力的功質點系由重力的功只與始、末位置有關，與路徑無關。得第十二章動能定理四、幾種常見力的功62、彈性力的功彈簧自然長度L0，一段固定于O，另一端系一質點M。彈簧剛度系數k(N/m)彈性力的功為第十二章動能定理—單位矢量彈性力7得即彈性力的功也與路徑無關第十二章動能定理時彈簧的變形量和始末位置分別表示質點在運動的21022011,MMlrlr-=-=dd83.作用于轉動剛體上的力及力偶的功則若常量由得從角轉動到角過程中力的功為第十二章動能定理設剛體繞固定軸Z轉動，一力F作用在剛體上M點。若剛體有微小轉角dφ，則力F在弧長ds上所作的元功為：即作用于轉動剛體上的力的元功等于該力對于轉軸的力矩與剛體微小轉角的乘積。94.摩擦力的功第十二章動能定理摩擦力阻礙物體的運動，摩擦力做負功；有時摩擦力對物體起著主動力的作用，這時摩擦力做正功。如果純滾動時（只滾不滑）：剛體與固定軌道的接觸點為剛體的速度瞬心，因而該點的速度為零，同時該點也為摩擦力的作用點。剛體沿固定軌道作純滾動時（只滾不滑），其接觸點處的摩擦力不作功。105.內力的功第十二章動能定理剛體內各質點間相互作用的內力的功之和恒等于0。11§12-2動能二、質點系的動能一、質點的動能瞬時量，動能標量，動量mv矢量單位第十二章動能定理質點系在某一位置時各質點的動能之和稱為質點系在該位置的動能。12第十二章動能定理質點做任意運動時，直接利用上式較復雜，可將質點系的運動分解為隨質心C的平動和相對于質心C的運動。設質心速度vC，任一質點Mi相對于質心C的的速度為vir，根據速度合成定理，Mi的絕對速度為：二、質點系的動能于是有：質點系的動能等于質點系隨同質心C的平動的動能與質點系相對于質心C運動的動能之和?！履嵯６ɡ怼?3三．剛體的動能riZ3．平面運動剛體2．定軸轉動剛體1．平動剛體P第十二章動能定理作平面運動的剛體的動能，等于剛體隨質心平動的動能與繞質心轉動的動能之和?；虻扔趧傮w繞速度瞬心軸轉動的動能。14§12-3動能定理1．質點的動能定理：質點動能定理的微分形式質點動能定理的積分形式第十二章動能定理15對質點系中的一質點：質點系動能定理的積分形式對整個質點系，有:2．質點系的動能定理

質點系動能定理的微分形式即:第十二章動能定理質點系動能的改變量，等于作用于質點系上的所有力在同一運動過程中所作的功的代數和?！|點系積分形式動能定理161．質點系內力的功

只要A、B兩點間距離保持不變,內力的元功和就等于零。第十二章動能定理2．理想約束反力的功剛體內各質點間相互作用的內力的功之和恒等于0。不可伸長的繩索內力功之和等于零。關于功的討論173、理想約束

光滑固定面固定鉸支座、光滑鉸鏈、柔索類等約束的約束力作功等于零.稱約束力作功等于零的約束為理想約束.

對理想約束,在動能定理中只計入主動力的功即可.

應用動能定理求解例12-2，P197第十二章動能定理18解:例

已知:m,h,k,其它質量不計.求:第十二章動能定理19例

已知：輪O的R1

、m1,質量分布在輪緣上;均質輪C

的R2、m2純滾動,初始靜止;θ,M

為常力偶。求:輪心C

走過路程S時的速度和加速度第十二章動能定理20輪C與輪O共同作為一個質點系解:第十二章動能定理21第十二章動能定理22上式兩端對t求導,得第十二章動能定理23§12-4勢力場、勢能、機械能守恒定律2．有勢力：在勢力場中質點所受的力。簡稱勢力。

重力場、萬有引力場、彈性力場都是勢力場。1．勢力場：如上面兩個例子，在力場中運動時，做的功只于位置有關與路徑無關，這種力場叫勢力場。

一．勢力場第十二章動能定理力場：設存在一空間，當質點進入該部分空間時，就受到一個大小和方向都完全由所在的位置確定的力的作用，這部分空間就叫力場。如質點在地球表面受重力作用，地球表面空間叫重力場。離地球表面較遠時，質點受萬有引力作用，在地球表面較遠的空間叫引力場。24

稱勢能零點二．勢能：有勢力對零勢點的功用V表示。

第十二章動能定理1.重力場中的勢能質點質點系有勢力所作的功稱為質點在點M相對于基準點M0的勢能。質點在勢力場中從位置M運動到M0時，有勢力的功為：252.彈性力場的勢能第十二章動能定理δ

為質點在位置M時的彈簧的變形量。26三.機械能守恒定律機械能守恒.T+V稱為機械能第十二章動能定理質點系在非有勢力作用下運動，機械能不守恒。在質點系的運動過程中，機械能和其他形式的能量之和仍保持不變，這就是能量守恒定律。質點系在僅有勢力作用下運動時，其機械能保持不變。27

例

：已知：重物m=250kg,以v=0.5m/s勻速下降，鋼索

k=3.35×N/m.不計輪重.求:輪D突然卡住時，鋼索的最大張力.δstmgδmaxⅠⅡ自然位置平衡位置D第十二章動能定理28卡住前

卡住前:解:δstmgδmaxⅠⅡ自然位置平衡位置D第十二章動能定理卡住后29得由有δstmgδmaxⅠⅡ自然位置平衡位置D第十二章動能定理即30選桌面高度為重力場勢能零點12-71

應用機械能守恒定律求解例12-2第十二章動能定理l-bb31§12-5動力學普遍定理及綜合應用

一、動力學普遍定理:動量定理、動量矩定理、動能定理。第十二章動能定理二、動力學兩類問題：1.已知力求運動，優先用動能定理、動量矩定理2.已知運動求力，用動量、質心運動定理三、綜合問題：已知力求力力動能定理動量矩定理運動質心運動定理動量定理力32求：重物下降h時,v、a及滾輪與地面的摩擦力.

長處無初速釋放.例:已知兩均質輪m,R

;物塊m,ｋ,純滾動,于彈簧原第十二章動能定理33解:第十二章動能定理α34將式（a）對t

求導（a）第十二章動能定理得35其中第十二章動能定理求地面的摩擦力，取滾輪為研究對象：36例

已知：均質桿長l，質量

m，靜止