學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE13學必求其心得，業必貴于專精PAGE3．1數乘向量學習目標1。了解向量數乘的概念，并理解這種運算的幾何意義。2.理解并掌握向量數乘的運算律，會運用向量數乘運算律進行向量運算.3.理解并掌握兩向量共線的性質及其判定方法,并能熟練地運用這些知識處理有關共線向量問題．知識點一向量數乘的定義思考1實數與向量相乘的結果是實數還是向量？思考2向量3a,－3a與a從長度和方向上分析具有怎樣的關系？思考3λa的幾何意義是什么？梳理數乘向量一般地,實數λ與向量a的積是一個向量,記作________．它的長度為｜λa｜＝|λ｜｜a｜.它的方向:當λ〉0時，λa與a的方向相同;當λ<0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0,方向任意．知識點二向量數乘的運算律思考類比實數的運算律，向量數乘有怎樣的運算律？梳理向量數乘運算律(1)λ（μa）＝（λμ）a.（2）(λ＋μ）a＝λa＋μa.（3)λ（a＋b)＝λa＋λb。知識點三向量共線定理思考若b＝2a，b與a共線嗎?梳理(1）向量共線的判定定理a是一個________向量，若存在一個實數λ,使得____________,則向量b與非零向量a共線．(2)向量共線的性質定理若向量b與非零向量a共線，則存在一個實數λ,使得b＝________.知識點四向量的線性運算向量的加法、減法和實數與向量積的綜合運算，通常稱為向量的線性運算（或線性組合）．類型一向量數乘的基本運算例1(1)化簡：eq\f(1,4）[2(2a＋4b）－4(5a－2b)］．（2)已知向量為a，b，未知向量為x,y,向量a,b，x,y滿足關系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.反思與感悟（1）向量的數乘運算類似于代數多項式的運算，例如實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在實數與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”、“公因式”是指向量,實數看作是向量的系數．(2）向量也可以通過列方程和方程組求解，同時在運算過程中多注意觀察，恰當的運用運算律，簡化運算．跟蹤訓練1（1）（a＋b)－3（a－b）－8a＝________。（2）若2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（y－\f（1,3）a））－eq\f（1，3）(c＋b－3y）＋b＝0，其中a,b，c為已知向量，則未知向量y＝________。類型二向量共線的判定及應用命題角度1判定向量共線或三點共線例2已知非零向量e1，e2不共線．(1)若a＝eq\f（1,2)e1－eq\f(1，3)e2,b＝3e1－2e2,判斷向量a，b是否共線．（2）若eq\o(AB，\s\up6（→)）＝e1＋e2，eq\o(BC，\s\up6（→））＝2e1＋8e2，eq\o（CD,\s\up6(→））＝3（e1－e2)，求證：A、B、D三點共線．反思與感悟（1）向量共線的判斷（證明）是把兩向量用共同的已知向量來表示，進而互相表示，從而判斷共線．(2）利用向量共線定理證明三點共線，一般先任取兩點構造向量，從而將問題轉化為證明兩向量共線，需注意的是，在證明三點共線時,不但要利用b＝λa(a≠0），還要說明向量a,b有公共點．跟蹤訓練2已知非零向量e1，e2不共線，如果eq\o（AB，\s\up6（→））＝e1＋2e2，eq\o（BC，\s\up6（→））＝－5e1＋6e2，eq\o(CD,\s\up6(→）)＝7e1－2e2，則共線的三個點是________．命題角度2利用向量共線求參數值例3已知非零向量e1,e2不共線，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定k的值．反思與感悟利用向量共線定理，即b與a(a≠0)共線?b＝λa,既可以證明點共線或線共線問題,也可以根據共線求參數的值．跟蹤訓練3已知A，B,P三點共線，O為直線外任意一點,若eq\o（OP，\s\up6（→)）＝xeq\o(OA，\s\up6(→))＋yeq\o（OB，\s\up6(→)），則x＋y＝________.類型三用已知向量表示其他向量例4在△ABC中，若點D滿足eq\o(BD，\s\up6（→））＝2eq\o（DC,\s\up6（→))，則eq\o（AD，\s\up6(→））等于(）A.eq\f（1，3）eq\o（AC，\s\up6（→)）＋eq\f（2,3)eq\o（AB,\s\up6（→)） B。eq\f（5,3)eq\o（AB,\s\up6（→））－eq\f（2,3)eq\o（AC,\s\up6（→)）C.eq\f（2，3）eq\o(AC,\s\up6（→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)） D。eq\f（2，3）eq\o（AC,\s\up6(→））＋eq\f（1,3）eq\o(AB，\s\up6(→）)反思與感悟用已知向量表示未知向量的求解思路(1）先結合圖形的特征，把待求向量放在三角形或平行四邊形中．(2)然后結合向量的三角形法則或平行四邊形法則及向量共線定理用已知向量表示未知向量．(3）當直接表示比較困難時，可以利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程．跟蹤訓練4如圖，在△ABC中,D，E為邊AB的兩個三等分點，eq\o(CA,\s\up6(→)）＝3a，eq\o(CB，\s\up6(→））＝2b，求eq\o（CD，\s\up6（→）），eq\o（CE，\s\up6（→））。1．已知a＝5e，b＝－3e,c＝4e，則2a－3b＋c等于()A．5e B．－5eC．23e D．－23e2．在△ABC中，M是BC的中點，則eq\o(AB，\s\up6（→）)＋eq\o（AC,\s\up6（→))等于（)A.eq\f(1,2)eq\o（AM，\s\up6(→）) B.eq\o（AM,\s\up6（→）)C．2eq\o（AM，\s\up6（→)) D.eq\o(MA,\s\up6(→))3．設e1，e2是兩個不共線的向量,若向量m＝－e1＋ke2（k∈R）與向量n＝e2－2e1共線,則（）A．k＝0 B．k＝1C．k＝2 D．k＝eq\f（1，2)4．已知△ABC的三個頂點A，B，C及平面內一點P，且eq\o（PA，\s\up6(→））＋eq\o(PB,\s\up6(→））＋eq\o（PC,\s\up6(→））＝eq\o(AB，\s\up6（→)),則（）A．P在△ABC內部B．P在△ABC外部C．P在AB邊上或其延長線上D．P在AC邊上5．如圖所示，已知eq\o（AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,3）eq\o(AB，\s\up6(→))，用eq\o(OA,\s\up6（→))，eq\o(OB，\s\up6（→））表示eq\o(OP，\s\up6（→））。1．實數與向量可以進行數乘運算,但不能進行加減運算，例如λ＋a，λ－a是沒有意義的．2．λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴大或縮小為原來的｜λ｜倍．向量eq\f(a,｜a|）表示與向量a同向的單位向量．3．向量共線定理是證明三點共線的重要工具．即三點共線問題通常轉化為向量共線問題．4．已知O，A,B是不共線的三點，且eq\o（OP,\s\up6(→）)＝meq\o(OA,\s\up6(→)）＋neq\o（OB,\s\up6（→）)（m，n∈R)，A，P，B三點共線?m＋n＝1。

答案精析問題導學知識點一思考1向量．思考23a的長度是a的長度的3倍，它的方向與向量a的方向相同．－3a的長度是a的長度的3倍，它的方向與向量a的方向相反．思考3由實數與向量的積的定義可以看出，它的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮．當|λ｜＞1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0)或反方向(λ＜0）上伸長為原來的｜λ|倍；當｜λ|＜1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ＞0)或反方向（λ＜0）上縮短為原來的|λ｜倍．梳理λa知識點二思考結合律，分配律．知識點三思考根據共線向量及向量數乘的意義可知，b與a共線．如果有一個實數λ，使b＝λa(a≠0），那么b與a是共線向量;反之，如果b與a(a≠0)是共線向量，那么有且只有一個實數λ，使得b＝λa.梳理（1)非零b＝λa(2)λa題型探究例1解(1）eq\f（1，4)[2（2a＋4b）－4(5a－2b)]＝eq\f(1，4）（4a＋8b－20a＋8b）＝eq\f（1,4）（－16a＋16b）＝－4a＋4b。(2)因為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝a，①,－4x＋3y＝b，②)）由①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，代入①得3×(3a＋2b）－2y＝a,即y＝4a＋3b。所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b。跟蹤訓練1(1)－10a＋4b（2)eq\f（2,9）a－eq\f（2,9)b＋eq\f(1，9）c例2(1)解∵b＝6a，∴a與b共線．(2）證明∵eq\o(AB，\s\up6（→））＝e1＋e2，eq\o（BD，\s\up6(→）)＝eq\o（BC，\s\up6(→)）＋eq\o(CD，\s\up6（→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2）＝5eq\o(AB,\s\up6（→)),∴eq\o(AB,\s\up6(→）），eq\o（BD,\s\up6(→)）共線，且有公共點B，∴A、B、D三點共線．跟蹤訓練2A,B，D例3解∵ke1＋e2與e1＋ke2共線,∴存在實數λ,使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，則（k－λ)e1＝(λk－1）e2。又e1與e2不共線，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（k－λ＝0，，λk－1＝0，))∴k＝±1.跟蹤訓練31例4D跟蹤訓練4解∵eq\o(CA，\s\up6(→))＝3a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝2b，∴eq\o(AB,\s\up6(→））＝eq\o（CB,\s\up6（→)）－eq\o(CA,\s\up6(→）)＝2b－3a.又∵D,E為邊AB的兩個三等分點，∴eq\o(AD,\s\up6（→））＝eq\f（1，3）eq\o(AB,\s\up6(→)）＝eq\f（2,3)b－a，∴eq\o（CD，\s\up6(→）)＝eq\o(CA，\s\up6（→)）＋eq\o(AD，\s\up6（→)）＝3a＋eq\f（2,3)b－a＝2a＋eq\f（2,3)b,eq\o（CE，\s\up6（→)）＝eq\o（CA，\s\up6（→）)＋eq\o(AE,\s\up6（→））＝3a＋eq\f（2，3）eq\o（AB，\s\up6(→））＝3a＋eq\f(2，3）（2b－3a）＝a＋eq\f（4,3)b.當堂訓練1．C2。C3。D4。D5．解eq\o(OP,\s\up6(→)）＝eq\o(OA，\s\up6(→））＋eq\o(AP,\s\up6(→)）＝eq\o（OA，\s\up6（→)）＋