第7章小波與多分辨率處理小波-——有限寬度的波；‘小’是指其衰減性， ‘波’是指其波動性，其正負相間的震蕩形式。 變化的頻率，有限的時延

小波與音樂 頻率-音高，時延-音長圖像的小波變換——圖像的樂譜 小波分析是近60年來，特別是80年代中后期發(fā)展起來的一個數學分支。多分辨率理論包括：信號處理中的子帶編碼數字語音識別中的正交鏡像濾波金字塔圖像處理7.1背景相似紋理和灰度的連通區(qū)域——形成物體如果這些物體小或反差低，需要在高分辨率觀察；物體大或反差大，僅需在低分辨率觀察。但是,如果一張圖中的物體有大有小，或反差有高有低，則比較好的辦法是在不同分辨率上研究它們。7.1Background圖例：局部直方圖在到處變化?？梢?在一張圖中做簡單的統(tǒng)計能說明什么？/無法對整張圖像定義一個簡單的統(tǒng)計模型。通常多分辨率分析是需要的。7.1.1圖像金字塔均值/差值圖像金字塔，從底到第P層的總像素：<=（4/3）N2，采樣數大于原始像元數：超完備表示從左到右（底到頂）逐層平均，1維是2點平均，2維是4點平均…

合計相減存儲加減均值金字塔差異金字塔

需要存儲各點僅需存儲n點，但要逐層重建每次疊代有3個步驟：計算輸入圖像的降（空間）分辨率的近似圖。低通濾波后2維下采樣。2維上采樣步驟1的輸出，并用插補濾波器濾波。計算步驟1和步驟2輸出的差異，記為第j層的預測誤差。經過P次疊代產生兩個內在相關的P+1層金字塔：近似與預測誤差金字塔。如圖7.3圖7.2(b)產生圖像金字塔的框圖說明對7.1圖的一種可能的近似和預測誤差4層金字塔5*5的高斯低通濾波后下采樣Laplacian預測誤差(零值移到中灰度顯示）L10L9L8L7L7適合于定位窗梃，而不適于看瓶花的根莖預測誤差的直方圖在0處有尖峰。適于壓縮。圖像金字塔示例空間域的圖像鑲嵌用差異金字塔的圖像鑲嵌多分辨率人臉檢測7.1.2子帶濾波兩波段子帶編/解碼h0,h1是半波數字濾波器，其波譜分割特性如下圖選擇h0,h1,g0,g1,使的輸入信號能被完美重建，即x’(n)=x(n)QMF=Quadraturemirrorfilters（1976）積分鏡像濾波器CQF=Conjugatequadraturefilters（1986）共軛積分濾波器表7.1完全重建的濾波器家族（1維）這些1維濾波器可以對圖像的行、列分別作用來處理2維圖像圖7.5子帶圖像編碼的2維，4波段濾波器族近似垂直細節(jié)（水平邊緣）水平細節(jié)對角細節(jié)先做垂直方向的低/高通濾波mn后做水平方向的低/高通濾波？圖像的多分辨率分解圖7.64個8拍Daubechies正交濾波器的脈沖響應其中h0(n),n=0,1,…7-0.010597400.032883010.03084138-0.18703481-0.027983760.630880760.714846570.23037781g0(K-1-n)=h0(n)g1(n)=(-1)ng0(K-1-n)h1(n)=g1(K-1-n)鏡像濾波器分解合成圖7.7用(7.6圖)子帶濾波器的(7.1圖）4頻帶拆分近似子帶水平子帶垂直子帶對角子帶參見圖7.5流程級聯(lián)的分解/合成濾波器族Haar基函數定義在區(qū)間[0，1]，要求N=2n.基函數在尺度和位置上都不同，必須有兩個變量p,q。令k由另兩個整數p(尺度),q（位置）唯一決定：其中2p是不大于k的2的最大冪，而q-1是余數。Haar函數定義為：對i=0,1,…,N-1，令x=i/N，則可以產生一組基函數。

7.1.3Haar

變換Haar變換的酋核心陣:矩陣越大，零元素越多圖7.8采用Haar基函數的離散小波變換可由上圖重構的不同尺寸近似圖與子帶濾波與Laplacian金字塔類同上節(jié)介紹的3種著名成像技術在一種稱為多分辨率分析MRA的獨特數學理論的發(fā)展中起重要作用。在MRA中用一個比例函數創(chuàng)建系列近似圖，各圖與其最緊鄰的近似圖相差2的因數。另一個稱為小波的函數用來記錄相鄰近似圖之間的差異。7.2多分辨率擴展7.2.1系列展開一個函數的線性展開式k是整數，是實值展開系數是實值展開函數如果展開是唯一的，稱之為基函數。展開函數序列被稱為可被如此展開的一類函數的基。這些函數形成一個函數空間，稱為該展開序列的閉范圍ClosedSpan復習：正變換的本質：在新坐標軸上的投影。例如：含義：4維空間坐標軸（基向量）含義：f在對應坐標軸的投影（值）對任何函數空間V及其對應的展開序列存在一個對偶函數序列可用來計算f的投影系數：其中，是的復共軛根據展開序列的正交性，投影系數的計算可采用3種可能的形式之一。題7.10b根據展開序列函數的正交性,

點積的計算有3種情況:情況1:正交如果這時稱為自對偶情況2:雙正交如果情況3:展開序列不是V的一個基,但是支持展開定義式對于任一有多組展開系數這種展開序列函數及其對偶函數被稱為超完備或冗余的，它們形成一種所謂的小波標架:其中當A=B，該展開序列函數稱為緊標架，這時：7.2.2多分辨率擴展的比例尺函數由實軸上平方可積函數的整數位移k和2進變比例所組成的展開函數集：其中，j,k為整數。k決定函數在x軸上的位置；j決定函數的寬度，而2j/2控制函數的高度/幅值。當j為某定值，其對應的展開函數集是的子集。所支撐的空間記為圖7.9在j=0,1時的Haar比例尺函數(e):(f):由(f)可見，如果f(x)是V0的元素，則也是V1的元素。例7.4上例7.4中的簡單比例尺函數遵循多分辨率分析(MRA)的4個基本要求：1、比例尺函數與其整數位移正交（圖7.9a,b,c,d)Haar函數：緊支2、比例尺函數支撐的子空間是大比例尺的空間包含小比例尺：圖7.103、所有子空間的公共函數是：f(x)=04、所有函數都可以以任意精度表示：在這些條件下：子空間Vj的展開函數可由子空間Vj+1的展開函數加權和表示。將j=k=0代入上式，得MRA方程：是比例尺函數系數（原來用a0)因為：7.2.3小波函數

給定滿足MRA要求的比例尺函數，就能定義帶j,k的小波函數ψ(x),來支撐兩個相鄰子空間Vj

與Vj+1的差異。如圖7.11所示，我們定義小波集合：與比例尺函數一樣，記：如果：則：上圖中的比例尺函數和小波函數子空間的關系為：其中?表示空間的聯(lián)合。Vj在Vj+1的正交補足空間是Wj，Vj中的所有元素與Wj的元素正交：所有可測度的、平方可積的函數空間可表示為：或或者甚至由于小波空間被包含在由較高分辨率比例尺函數支撐的空間中(圖7.11)，任何小波函數均可以表示其較高分辨率比例尺函數的線性組合:其中，稱為小波函數系數?？勺C明，小波函數系數與比例尺函數系數間的關系為：這與子帶濾波器的脈沖響應間的關系相似，（鏡像）Haar小波：W0Haar小波：W1圖d:V1中的函數f(x)可由V0?W0表示,Page372如：圖d=圖e+圖fV0W0例7.6（重復）Haar變換的函數定義在閉區(qū)間[0，1]：令正整數：整數p,q分別是尺度和位移。Haar函數定義：對于i-0,1,2,…,N-1,如果x=i/N,則可產生一組基函數。Haar函數是一些簡單的階躍函數。Haar單位高、單位寬的尺度函數：Haar小波函數：7.3WaveletTransformsinOneDimension小波系列展開離散小波變換連續(xù)小波變換付氏系列展開離散付氏變換連續(xù)付氏變換7.3.1小波系列展開在小波ψ和比例尺函數φ上定義實軸平方可積函數f：其中：j0是任意起始比例尺，稱為近似或比例系數；稱為細節(jié)或小波系數。第1項是在j0比例尺上近似f(x),第2項是累加j0起的細節(jié)。如果展開函數構成一個正交歸一化的基，則：例7.7一維小波變換：將2個子帶的濾波器族遞歸地用到前一步的低頻子帶，產生倍頻分裂7.3.2TheDiscreteWaveletTransform（DWT）上述小波展開是針對連續(xù)函數，如果對于離散采樣序列，上述小波系列展開式就變成：DWT變換對：對j>=j0其中，f(x),是離散變量x=0,1,2,…M-1的函數通常j0=0,M=2J,因此：x=0,1,2,…,M-1,j=0,1,2,…J-1,k=0,1,2,…,2j-1.(上限與j的當前值有關）近似系數細節(jié)系數例7.8計算f(x)={1,4,-3,0}的1維DWTM=4,J=2,j0=0采用Haar比例尺和小波函數，并假設f(x)的4個樣本分布在這些基函數的支撐上。這樣，DWT得到從重建原函數：j=0,1問題7.167.3.3連續(xù)小波變換（CWT)略7.4TheFastWaveletTransform(FWT)7.52維小波變換yxi={H,V,D}大小為M*N的函數f(x,y)的DWTi={H,V,D}其中，j0是任意初始尺度，是對f(x,y)在該尺度上的近似。是為尺度j>=j0的f(x,y)添加方向細節(jié)。正向反向：可用數字濾波器和下采樣實現。2D-DWT的頻域系數4分樹沿行方向檢測，得垂直邊緣沿列方向檢測，得水平邊緣nm合成濾波器族分析濾波器族2D-FWT求內積線性疊加例7.123尺度的FWT第4階一維對稱小波Symlets=SymmetricalWavelets分解濾波器合成濾波器一維的小波和尺度Fig.7.24(Con’t)檢測水平細節(jié)的2維小波xy不同小波基的小波變換Daubechies

orthonormal8-tapfilters

8-padsSymlets雙正交Cohen-Daubechies-Feauveau17/11wavelets

小波在圖像處理中的應用步驟：計算一幅圖像的2維小波變換改動變換頻譜計算反變換由于DWT的尺度和小波向量被用作低通和高通濾波器，大部分付氏變換域的濾波技術都有對應的小波域濾波技術。例7.13小波基邊緣檢測Multiscaleedgedetection

例7.14基于小波的噪聲消除a.原圖b.2尺度的低通c.最高分辨率細節(jié)的高通d.c與a的差異,包含大部分原圖噪聲和一些邊緣。e.2尺度的細節(jié)全部丟棄，僅用低分辨的近似f.e與a的差異,邊緣信息增加。消除圖像噪聲的通用小波基程序：選擇小波（比如Haar,Symlet,…)和分解的級數P.計算該噪聲圖像的FWT。對各級細節(jié)（小波）系數閾值化。硬閾值化：對系數的幅值低于閾值者置零。（系數不連續(xù)）軟閾值化：硬閾值化后將剩下的系數拉伸到零?；贘-P級的原始近似系數和