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文檔簡介

第二節數列極限的定義一、數列定義正整數集N*上的函數稱為數列.記為.

由定義，對每個正整數，數列都確定了一個相應的實數

，這些可按下標從小到大依次排成一個序列例

一般項.數列中的第

個數又稱為數列的第項，又叫作一般項.例

一般項

例

一般項.例

一般項

.二、極限的描述在上面的這些例中，前三例一般項都有明確的變化趨勢：最后一例的一般項卻沒有明確的變化趨勢.如何用定量化的數學方法來刻畫數列的極限？從本質上看，數列的極限反映了數列當

趨于無窮大時，數列中的項與某一個定數充分接近.而兩個數

和

的接近程度可用兩數差的絕對值來刻畫.故只要

充分大，就充分小.考察，，即：當時,可使例如要使只要即從第101項開始的以后所有項都滿足；即：當時,可使又如要使只要即從第10001項開始的以后所有項都滿足；即：當時,可使一般要使只要即從第

項開始的以后所有項都滿足：更一般，要使（其中是任意小的正數）只要即可，即：當時,可使即從第

項開始的以后所有項都滿足：都可以小于該數.對上例的分析，可以看到，無論一個正數取得多么小，總可以找到自然數n，在這項以后的所有項與1的距離數學上用

來表示一個任意小的正數.由此得到極限的精確定義:三、極限的定義定義設數列，如果存在常數，使得對任意給都成立，那么稱常數

是數列的極限，或者稱數定的正數

(不論它多么小)，總存在自然數

，只要不等式列收斂于

，記為又記為注定義中的自然數

，實際上是某一項下標的序號，如果這樣的常數

不存在，就說數列沒有極限，或稱數注定義中的正數

是一個任意小的數，不能把它和一列是發散的.個很小的數混為一談.

，表示自該項以后的所有項.四、極限的幾何意義

設數列收斂于

，則由定義，對任意給定的正數，一定存在正整數

，當時，所有的都落在一個以

為中心，

為半徑的空心鄰域中.五、例數列極限的定義實際上也給出了證明極限的方法：即對給定的任意正數

，去尋找滿足不等式的.尋找辦法是從經過不等式的變形，逐步解出

.例1證明數列的極限是1.要使證記，取,則當

時，有所以例2證明.證因故取,則當

時，有即：例3證明.證因取,則當

時，有所以：所以例4設

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