第8章平面圖形的幾何性質

第8章平面圖形的幾何性質

基本內容與學習要求掌握平面圖形的形心、靜矩、慣性矩、極慣性矩和平行移軸公式的應用；了解轉軸公式；掌握平面圖形的形心主慣性軸、形心主慣性平面和形心主慣性矩的概念。知識要點與重點難點靜矩與形心；慣性矩、極慣性矩、慣性積；平行移軸公式；移軸公式；主慣性軸的概念；形心主慣性軸、形心主慣性平面與形心主慣性矩的概念；形心主慣性軸確定、形心主慣性矩計算。第8章平面圖形的幾何性質

一靜矩、形心及相互關系二慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑三平行移軸定理四轉軸定理五形心主軸、形心主矩第8章平面圖形的幾何性質

為什么要研究平面圖形的幾何性質材料力學的研究對象為桿件,桿件的橫截面是具有一定幾何形狀的平面圖形。桿件的承載能力,不僅與截面大小有關,而且與截面的幾何形狀有關。第8章平面圖形的幾何性質

課堂小實驗相同的材料、相同的截面積,截面的幾何形狀不同,承載能力差異很大。第8章平面圖形的幾何性質

研究平面圖形幾何性質的方法:化特殊為一般實際桿件的橫截面第8章平面圖形的幾何性質

平面圖形的幾何性質包括:

形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積、主慣性軸、主慣性矩等第8章平面圖形的幾何性質

一靜矩、形心及相互關系zyOdAyz圖形對于y

軸的靜矩圖形對于z

軸的靜矩第8章平面圖形的幾何性質/一靜矩、形心及相互關系定義AzyOdAyzzyOzCCyC分力之矩之和合力之矩第8章平面圖形的幾何性質/一靜矩、形心及相互關系計算靜矩與形心坐標之間的關系

已知靜矩可以確定圖形的形心坐標

已知圖形的形心坐標可以確定靜矩第8章平面圖形的幾何性質/一靜矩、形心及相互關系第8章平面圖形的幾何性質/一靜矩、形心及相互關系組合圖形的靜矩與形心計算性質:①靜矩是對某一坐標軸定義的,靜矩與坐標軸有關②截面對某一軸的靜矩等于零,則該軸必通過形心。③截面對通過形心軸的靜矩恒等于零。即:

第8章平面圖形的幾何性質/一靜矩、形心及相互關系決定因素:靜矩與截面尺寸、形狀、軸的位置有關。數值范圍:可以為正、或負、或等于零。單位:mm3

、cm3

、m3第8章平面圖形的幾何性質/一靜矩、形心及相互關系

例題試確定圖示梯形面積的形心位置，及其對底邊的靜矩。解：圖形對底邊的靜矩形心位置abhzyOC1C2第8章平面圖形的幾何性質/一靜矩、形心及相互關系第8章平面圖形的幾何性質二慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑－圖形對y軸的慣性矩－圖形對z軸的慣性矩－圖形對yz軸的慣性積－圖形對O點的極慣性矩zyOdAyzA第8章平面圖形的幾何性質/二慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑定義：－圖形對y軸的慣性半徑－圖形對z軸的慣性半徑zyOdAyz第8章平面圖形的幾何性質/二慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑定義：第8章平面圖形的幾何性質/二慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑zyOdAyz計算：zyOdAyzA第8章平面圖形的幾何性質/二慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑慣性矩與極慣性矩之間的關系：性質：1、慣性矩和慣性積是對一定軸而定義的，而極慣矩，是對點定義的。2、任何平面圖形對于通過其形心的對稱軸和與此對稱軸垂直的軸的慣性積為零。3、對于面積相等的截面，截面相對于坐標軸分布的越遠，其慣性矩越大。第8章平面圖形的幾何性質/二慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑決定因素:截面形狀、尺寸、軸的位置。數值范圍:慣性矩、極慣性矩和慣性半徑恒為正;

慣性積可以為正、為負、為零。單位:慣性矩、極慣性矩和慣性積的單位相

同,均為mm4

、cm4

、m4

慣性半徑:mm、cm、m第8章平面圖形的幾何性質/一靜矩、形心及相互關系例題矩形截面慣性矩的計算hozybydy同理：第8章平面圖形的幾何性質/一靜矩、形心及相互關系例題圓截面慣性矩、極慣性矩計算ddACyz第8章平面圖形的幾何性質/二慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑第8章平面圖形的幾何性質三平行移軸定理

移軸定理是指圖形對于互相平行軸的慣性矩、慣性積之間的關系。即通過已知圖形對于一對坐標的慣性矩、慣性積，求圖形對另一對坐標的慣性矩與慣性積。第8章平面圖形的幾何性質/三平行移軸定理zcycyzOadA在所有相互平行的坐標軸中，圖形對形心軸的慣性矩為最小，但圖形對形心軸的慣性積不一定是最小第8章平面圖形的幾何性質/三平行移軸定理

應用平行移軸定理應注意的問題

兩平行軸中，必須有一軸為形心軸,截面對任意兩平行軸的慣性矩間的關系,應通過平行的形心軸慣性矩來換算。第8章平面圖形的幾何性質/三平行移軸定理例題試求圖示三角形：（1）對z軸靜矩；

（2）對z軸的慣性矩；（3）對z1軸的慣性矩。zb/2b/2h/2h/2Oyz1ydyzc

例題圖示為三個等直徑圓相切的組合問題,求對形心軸zc的慣性矩.O1O2O3zcO2、O3到zc軸的距離O1到zc軸的距離四轉軸定理第8章平面圖形的幾何性質

所謂轉軸定理是研究坐標軸繞原點轉動時，圖形對這些坐標軸的慣性矩和慣性積的變化規律。

第8章平面圖形的幾何性質/四轉軸定理zyOz1y1dAyzy1z1已知：Iy、Iz、Iyz、求：

Iy1、Iz1、Iy1z1第8章平面圖形的幾何性質/四轉軸定理zyOz1y1dAyzy1z1第8章平面圖形的幾何性質/四轉軸定理

圖形對一對垂直軸的慣性矩之和與轉軸時的角度無關，即在軸轉動時，其和保持不變。第8章平面圖形的幾何性質/四轉軸定理zyOz0y000dAyzy0z0y0、z0－通過O點的主軸平面圖形的幾何性質/四轉軸定理

當

改變時，Iyl、Izl的數值也發生變化，而當=0時，二者分別為極大值和極小值。Iy0、Iz0－主慣性矩zyOz0y000dAyzy0z0第8章平面圖形的幾何性質/四轉軸定理主慣性矩：第8章平面圖形的幾何性質/四轉軸定理

對于任意一點（圖形內或圖形外）都有主軸，而通過形心的主軸稱為形心主軸，圖形對形心主軸的Iy慣性矩稱為形心主慣性矩，簡稱形心主矩。工程計算中有意義的是形心主軸與形心主矩。第8章平面圖形的幾何性質/四轉軸定理五形心主軸、形心主矩第8章平面圖形的幾何性質第8章平面圖形的幾何性質/五形心主軸、形心主矩1主慣性軸、主慣性矩對于任何形狀的截面,總可以找到一對特殊的直角坐標,使截面對于這一對坐標軸的慣性積等于零。慣性積等于零的一對坐標軸就稱為該截面的主慣性軸,而截面對于主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩。第8章平面圖形的幾何性質/五形心主軸、形心主矩2形心主慣性軸、形心主慣性矩當一對主慣性軸的交點與截面的形心重合時,他們就被稱為該截面的形心主慣性軸。而截面對于形心主慣性軸的慣性矩就稱為形心主慣性矩。第8章平面圖形的幾何性質/五形心主軸、形心主矩

(1)如果平面圖形有一條對稱軸,則此軸必定是形心主慣性軸,而另一條形心主慣性軸通過形心,并與此軸垂直.觀察法確定形心主軸的位置:第8章平面圖形的幾何性質/五形心主軸、形心主矩

(2)如果平面圖形有兩條對稱軸,則此兩軸都為形心主慣性軸.第8章平面圖形的幾何性質/五形心主軸、形心主矩

(3)如果平面圖形具有三條或更多條對稱軸,那么通過證明后可以知道:過該圖形形心的任何軸都是形心主慣性軸,而且該平面圖形對于其任一形心慣性軸的慣性矩都相等。第8章平面圖形的幾何性質/五形心主軸、形心主矩對于沒有對稱軸的截面,其形心主慣性軸的位置通過轉軸定理確定。第8章平面圖形的幾何性質/五形心主軸、形心主矩(1)矩形截面的形心主慣性矩

常見截面的形心主矩:(2)圓形截面的形心主慣性矩

例題：求圖示截面形心軸YC和ZC的慣性矩解：1.取參考軸Z2.求形心則a1＝2cm，a2＝2cm。3.求對形心軸的慣性矩Zz2zcz1yc1cc26cm2cm6cm2cmy1y2a2a1yc12（yc）在下列關于平面圖形的結論中，（）是錯誤的。A.圖形的對稱軸必定通過形心；B.圖形兩個對稱軸的交點必為形心；D.使靜矩為零的軸必為對稱軸。C.圖形對對稱軸的靜矩為零；D在平面圖形的幾何性質中，（）的值可正、可負、也可為零。A.靜矩和慣性矩；B.極慣性矩和慣性矩；C.慣性矩和慣性積；D.靜矩和慣性積。D課程練習題

圖示任意形狀截面，它的一個形心軸zc把截面分成Ⅰ和Ⅱ兩部分，在以下各式中，（）一定成立。ⅠⅡZCC課程練習題

圖a、b所示的矩形截面和正方形截面具有相同面積。設它們對對稱軸x的慣性矩分別為對對稱軸y的慣性矩分別為，則（）。C課程練習題圖示半圓形，若圓心位于坐標原點，則（）。xyD課程練習題

任意圖形的面積為A，x0軸通過形心C，x1

軸和x0軸平行，并相距a，已知圖形對x1

軸的慣性矩是I1，則對x0

軸的慣性矩為（）。B課程練習題

設圖示截面對y軸和x軸的慣性矩分別為Iy、Ix，則二者的大小關系是（）。B課程練習題

圖示任意形狀截面，若Oxy軸為