第三章規(guī)則金屬波導(dǎo)本章的內(nèi)容：1.矩形波導(dǎo)2.圓形波導(dǎo)3.同軸線4.波導(dǎo)的激勵(lì)波導(dǎo)的應(yīng)用：波導(dǎo)被廣泛的應(yīng)用于微波、毫米波的電路設(shè)計(jì)、天線、連接器中。連接器波導(dǎo)同軸轉(zhuǎn)換器帶通濾波器定向耦合器波導(dǎo)縫隙天線波導(dǎo)開(kāi)關(guān)波導(dǎo)可以構(gòu)成各種各樣的微波電路隔離器或環(huán)形器雙工器波導(dǎo)固定衰減器多工器功分器

對(duì)由均勻填充介質(zhì)的金屬波導(dǎo)管建立如圖所示坐標(biāo)系,設(shè)z軸與波導(dǎo)的軸線相重合。由于波導(dǎo)的邊界和尺寸沿軸向不變,故稱為規(guī)則金屬波導(dǎo)。為了簡(jiǎn)化起見(jiàn),我們作如下假設(shè):①波導(dǎo)管內(nèi)填充的介質(zhì)是均勻、線性、各向同性的;②波導(dǎo)管內(nèi)無(wú)自由電荷和傳導(dǎo)電流的存在;金屬波導(dǎo)管結(jié)構(gòu)圖1.規(guī)則金屬波導(dǎo)規(guī)則金屬波導(dǎo)的優(yōu)點(diǎn):(1)導(dǎo)體損耗或介質(zhì)損耗小(2)功率容量大(3)無(wú)輻射損耗(4)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、容易加工制作:矩形，圓形，加脊、橢圓等等特點(diǎn)：金屬波導(dǎo)的處理方法和特點(diǎn)：(1)金屬波導(dǎo)只有一個(gè)導(dǎo)體，故不能傳輸TEM波，只有TE和TM兩種模式(2)存在多種模式，并存在嚴(yán)重的色散現(xiàn)象(3)只有當(dāng)工作波長(zhǎng)小于截止波長(zhǎng)或工作頻率高于截止頻率的模才能在波導(dǎo)中傳播。(1)maxwell方程+邊界條件，屬于本征值問(wèn)題(2)認(rèn)為管內(nèi)填充的介質(zhì)為理想介質(zhì)(3)由于管壁為金屬，導(dǎo)電率高，認(rèn)為是理想的導(dǎo)體(4)邊界條件：認(rèn)為波導(dǎo)管壁處的切向電場(chǎng)分量和法向磁場(chǎng)分量為0即橫截面為矩形(a>b),內(nèi)部填充空氣或介質(zhì)(介質(zhì)波導(dǎo))廣泛應(yīng)用：高功率、毫米波、精密測(cè)試設(shè)備(測(cè)速、測(cè)向儀器)3.1矩形波導(dǎo)1.矩形波導(dǎo)的導(dǎo)模為了分析矩形波導(dǎo)，將前面介紹的廣義柱坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo),拉梅系數(shù)為1，略取時(shí)間因子ejwt,沿Z方向傳播的導(dǎo)波場(chǎng)可以寫(xiě)為（見(jiàn)1.4-17,橫向電場(chǎng)和縱向電場(chǎng)均滿足helmholtz方程，因此可以表示成橫向坐標(biāo)和縱向相位的形式）：根據(jù)(1.4-30)縱向場(chǎng)和橫向場(chǎng)的關(guān)系為：矩陣形式：橫向場(chǎng)的關(guān)系為其中：若有介質(zhì)損耗，介電常數(shù)為復(fù)數(shù)：由本征方程(1.4-23)以及(h1=h2=1),得到直角坐標(biāo)下的電場(chǎng)及磁場(chǎng)的縱向分量Heimholtz方程：綜上所述TM波的邊界條件為：Eoz(0,y)=Ez(a,y)=0TM導(dǎo)波

E0z(x,0)=Ez(x,b)=0綜上所述TE波的邊界條件為：E0x(x,0)=E0x(x,b)=0TE導(dǎo)波

Eoy(0,y)=Eoy(a,y)=0Ez=0對(duì)于TE波：由電場(chǎng)在波導(dǎo)壁的切向分量為0對(duì)于TM波：矩形波導(dǎo)的邊界條件：1)TE波應(yīng)用分離變量法,令Hoz(x,y)=X(x)Y(y),代上面直角坐標(biāo)系下的偏微分方程,并除以X(x)Y(y),得:

此時(shí)Ez=0,Hz=Hoz(x,y)e-jβz≠0,且滿足在直角坐標(biāo)系中,上式可寫(xiě)作對(duì)于規(guī)則波導(dǎo)，可以先求解縱向的電場(chǎng)或磁場(chǎng)分量，再根據(jù)縱橫關(guān)系，求出所有的橫向場(chǎng)分量。這樣做可以使得計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化。于是,Hoz(x,y)的通解為:Hoz(x,y)=(A1coskxx+A2sinkxx)(B1coskyy+B2sinkyy)

要使上式成立,上式左邊每項(xiàng)必須均為常數(shù),設(shè)分別為和,則有同理：利用縱向-橫向場(chǎng)關(guān)系可得：Hoz(x,y)=(A1coskxx+A2sinkxx)(B1coskyy+B2sinkyy)由邊界條件：E0x(x,0)=E0x(x,b)=0TE導(dǎo)波

Eoy(0,y)=Eoy(a,y)=0Ez=0于是Z方向的磁場(chǎng)表達(dá)式為：Hmn為任意振幅常數(shù)，m,n為波型指數(shù)，每個(gè)mn的組合對(duì)應(yīng)一個(gè)基本波函數(shù)，不同波函數(shù)的線性組合也是本征方程的解，因此縱向磁場(chǎng)的通解為：利用縱向-橫向場(chǎng)關(guān)系可以求出所有的場(chǎng)分量：

式中,為矩形波導(dǎo)TE波的截止波數(shù),顯然它與波導(dǎo)尺寸、傳輸波型有關(guān)。m和n分別代表TE波沿x方向和y方向分布的半波個(gè)數(shù),一組m、n,對(duì)應(yīng)一種TE波,稱作TEmn模;但m和n不能同時(shí)為零,否則橫向場(chǎng)分量全部為零。因此，矩形波導(dǎo)能夠存在TEm0模和TE0n模及TEmn(m,n≠0)模;其中TE10模(a>b)是最低次模,其余稱為高次模。于是得到縱向電場(chǎng)的基本解為：縱向電場(chǎng)的一般解為不同模式的場(chǎng)的疊加，因此為：對(duì)TM波,Hz=0,Ez(x,y,z)=Eoz(x,y)e-jβz,此時(shí)滿足2)TM波其通解也可寫(xiě)為：Eoz(x,y)=(A1coskxx+A2sinkxx)(B1coskyy+B2sinkyy)代入邊界條件(3.1-6)

有：x=0,a,y=0,b將上面得到的電場(chǎng)縱向通解，代入縱向-橫向場(chǎng)關(guān)系式(3.1-2)得到TM模的各個(gè)場(chǎng)分量：從公式可以知道，當(dāng)m=0或n=0沒(méi)有縱向電場(chǎng)。由于Hz=0，所以橫向磁場(chǎng)均為0，和TM模的定義不符合，TM模不能取m=0或n=0.TM11模是矩形波導(dǎo)TM波的最低次模,其它均為高次模。

總之,矩形波導(dǎo)內(nèi)存在許多模式的波,TE波是所有TEmn模式場(chǎng)的總和,而TM波是所有TMmn模式場(chǎng)的總和。2.導(dǎo)模的場(chǎng)結(jié)構(gòu)場(chǎng)的結(jié)構(gòu)是分析和研究波導(dǎo)問(wèn)題、模式激勵(lì)、設(shè)計(jì)波導(dǎo)元件(電路、天線)的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)。由TE模、TM模的解可以知道導(dǎo)模在矩形波導(dǎo)橫截面上的場(chǎng)呈駐波分布，且在每個(gè)橫截面上的場(chǎng)分布是完全確定的，橫截面上場(chǎng)的分布與頻率、以及在導(dǎo)行系統(tǒng)上的位置無(wú)關(guān)；整個(gè)導(dǎo)模以完整的場(chǎng)結(jié)構(gòu)沿軸向(Z方向)傳播。1)TE10模與TEm0模的場(chǎng)結(jié)構(gòu)：對(duì)于TE10模(由3.1-16)其場(chǎng)分量的通解電場(chǎng)或磁場(chǎng)的弱、強(qiáng)是通過(guò)電力線或磁力線的疏和密來(lái)表示的，所謂的場(chǎng)結(jié)構(gòu)就是波導(dǎo)中電力線和磁力線的形狀和疏密分布情況。TE10模解的圖形表示：縱向橫截面對(duì)于TE10模：電場(chǎng)只有Ey分量，隨x呈正弦變化x=0,x=a處電場(chǎng)為0，波導(dǎo)中間電場(chǎng)最大，在波導(dǎo)寬邊呈半個(gè)駐波分布。磁場(chǎng)在XZ平面是軌跡為橢圓的封閉曲線，Hx在x=0,x=a處磁場(chǎng)為0，在波導(dǎo)橫截面中間磁場(chǎng)最大，呈正弦變化；Hz隨x呈余弦變化，在x=0,x=a處最大；TEm0的場(chǎng)結(jié)構(gòu)沿b邊不變化，沿a邊有m個(gè)半駐波分布即沿a邊有m個(gè)TE10模場(chǎng)結(jié)構(gòu)小塊。下圖給出了t=0時(shí)刻，矩形波導(dǎo)中TE10波場(chǎng)強(qiáng)沿z方向及x方向的場(chǎng)分布。俯視磁場(chǎng)側(cè)視磁場(chǎng)橫截面電場(chǎng)Ey電場(chǎng)2)TE01模與TE0n模的場(chǎng)結(jié)構(gòu)m=0,n=1

從上面可以知道TE01模只有Ex，Hy，Hz三個(gè)場(chǎng)分量，其場(chǎng)的結(jié)構(gòu)和TE10模比較，只是波的極化面旋轉(zhuǎn)了90度（即電場(chǎng)的方向旋轉(zhuǎn)了90度），即沿x方向沒(méi)有變化，沿y方向呈半個(gè)駐波分布。

TE0n的場(chǎng)結(jié)構(gòu)沿a邊不變化，沿b邊有n個(gè)半駐波分布(即沿b邊有n個(gè)TE01模場(chǎng)結(jié)構(gòu)小塊)。3)TE11模與TEmn(m，n>1)模的場(chǎng)結(jié)構(gòu)(1)m,n均不為0的最簡(jiǎn)單的TE模是TE11模，其場(chǎng)沿a邊和b邊有半個(gè)駐波分布(2)m,n均大于1的TEmn場(chǎng)結(jié)構(gòu)和TE11類似，即場(chǎng)型沿a邊有m個(gè)TE11模結(jié)構(gòu)小塊，沿b邊有n個(gè)TE11模結(jié)構(gòu)小塊。m=1,n=14)TM11模與TMmn(m，n>1)模的場(chǎng)結(jié)構(gòu)(1)TM模中最低模式為T(mén)M11模，其磁力線完全分布在橫截面內(nèi)，且為閉合曲線，電力線則是空間分布曲線。其場(chǎng)沿a邊和b邊均有半個(gè)駐波分布。m=1,n=1(2)類似的TMmn模就是沿a邊分別有m個(gè)TM11模的場(chǎng)結(jié)構(gòu)和沿b邊有n個(gè)TM11模場(chǎng)結(jié)構(gòu)的組合。3.管壁電流當(dāng)波導(dǎo)中傳輸微波信號(hào)的時(shí)候，在技術(shù)波導(dǎo)內(nèi)壁表面上將產(chǎn)生感應(yīng)電流，稱為管壁電流。高頻工作狀態(tài)，由于趨膚效應(yīng)將使管壁電流集中在很薄的波導(dǎo)內(nèi)壁表面流動(dòng)，由于趨膚深度很小，可以將管壁電流視為面電流。管壁電流的大小和方向由管壁附近的切向磁場(chǎng)和波導(dǎo)壁法向矢量共同決定TE10模的管壁電流：TE10模矩形波導(dǎo)底面，法向矢量方向和y方向一致TE10模矩形波導(dǎo)頂面，法向矢量方向和y方向相反TE10模矩形波導(dǎo)左面，法向矢量方向和x方向相同TE10模矩形波導(dǎo)右面，法向矢量方向和x方向相反上面的計(jì)算結(jié)果表明：矩形波導(dǎo)中傳輸TE10時(shí)，波導(dǎo)左右內(nèi)壁只有y方向的管壁電流，且大小相等，方向相同；上、下內(nèi)壁電流有x方向和Z方向的電流合成，在同一X位置的上、下管壁電流大小相等，方向相反。研究波導(dǎo)管壁的電流結(jié)構(gòu)具有重要的工程意義：例如波導(dǎo)縫隙天線的設(shè)計(jì)時(shí)需要破壞原來(lái)的電流分布，形成輻射；波導(dǎo)同軸之間的轉(zhuǎn)換，其開(kāi)槽不應(yīng)該破壞管壁的電流分布，否則會(huì)引起輻射損耗，減小傳輸功率。4.矩形波導(dǎo)的傳輸特性1)導(dǎo)模的傳輸條件與截止矩形波導(dǎo)中橫電、橫磁的傳播常數(shù)為：當(dāng)傳播常數(shù)等于0時(shí)，模式截止對(duì)應(yīng)截止波長(zhǎng)和截止頻率為：從上面的分析可以得到如下的結(jié)論：(1)導(dǎo)模的傳輸條件：某導(dǎo)模能夠在波導(dǎo)中傳輸，其工作的波長(zhǎng)應(yīng)該小于波導(dǎo)的截止波長(zhǎng)，或表述為導(dǎo)模的工作頻率高于波導(dǎo)的截止頻率。(2)導(dǎo)模的截止：導(dǎo)模工作的波長(zhǎng)大于波導(dǎo)的截止波長(zhǎng)時(shí)，相位常數(shù)β為虛數(shù)，相應(yīng)的模式稱為消失模或截止模。所有的場(chǎng)分量振幅由于截止模的電抗反射損耗將按指數(shù)規(guī)律衰減。(3)模式簡(jiǎn)并：波導(dǎo)中不同模式的截止波長(zhǎng)相同的現(xiàn)象，稱為模式簡(jiǎn)并現(xiàn)象。對(duì)應(yīng)的導(dǎo)模稱為簡(jiǎn)并模，由(3.1-27)可以知道TEmn模和TMmn模為簡(jiǎn)并模。除了TEm0和TE0n外，矩形波導(dǎo)中的模式都具有雙重簡(jiǎn)并。(4)主模：波導(dǎo)中工作頻率最低的導(dǎo)模稱為主模或基模，其他的工作模式則稱為高階模。2)相速度和群速度由式（1-1-44）及（1-1-45）知導(dǎo)模的相速vp和群速vg分別為v為媒質(zhì)中平面波的速度。可得TE10模的相速vp和群速vg分別為3)波導(dǎo)波長(zhǎng)可得TE10模的波導(dǎo)波長(zhǎng)為：4)波阻抗導(dǎo)行系統(tǒng)中導(dǎo)模的波阻抗定義為橫向電場(chǎng)和橫向磁場(chǎng)之比。由(1.4-48)有矩形波導(dǎo)中的TE模的波阻抗為：可得TE10模的波阻抗為：矩形波導(dǎo)中的TM模的波阻抗為：

由上面的公式可以知道對(duì)于導(dǎo)模，相位常數(shù)為實(shí)數(shù)，波阻抗也為實(shí)數(shù)；對(duì)于消失模由于相位常數(shù)為虛數(shù)，因此波阻抗為虛數(shù)，即稱電抗性。金屬波導(dǎo)中消失模的出現(xiàn)將對(duì)信號(hào)源呈現(xiàn)電抗性反射。5)TE10矩形波導(dǎo)的傳輸功率

其中,Ebr為擊穿電場(chǎng)幅值。因空氣的擊穿場(chǎng)強(qiáng)為30kV/cm,故空氣矩形波導(dǎo)的功率容量為：可見(jiàn):波導(dǎo)尺寸越大,頻率越高,則功率容量越大。為了留有余地，波導(dǎo)實(shí)際允許傳輸?shù)墓β室话闳⌒胁顟B(tài)下功率容量理論值的25%～30%。

其中,是Ey分量在波導(dǎo)寬邊中心處的振幅值。由此可得波導(dǎo)傳輸TE10模時(shí)的功率容量為：6)TE10模矩形波導(dǎo)的損耗

當(dāng)電磁波沿傳輸方向傳播時(shí),由于波導(dǎo)金屬壁的熱損耗和波導(dǎo)內(nèi)填充的介質(zhì)的損耗必然會(huì)引起能量或功率的遞減。對(duì)于空氣波導(dǎo),由于空氣介質(zhì)損耗很小,可以忽略不計(jì),而導(dǎo)體損耗是不可忽略的。(i)介質(zhì)損耗對(duì)于金屬波導(dǎo)中填充均勻介質(zhì)的損耗引起的導(dǎo)波的衰減常數(shù)可以表示為(2.4-41)：(ii)導(dǎo)體損耗

TE10模矩形波導(dǎo)的有限導(dǎo)電率金屬壁單位長(zhǎng)度功率損耗為:(其中Rs為導(dǎo)體表面電阻)由(2.4-31)式、(3.1-44a)，矩形波導(dǎo)TE10模的導(dǎo)體衰減常數(shù)為：式中,為導(dǎo)體表面電阻,它取決于導(dǎo)體的磁導(dǎo)率μ、電導(dǎo)率σ和工作頻率f。②a不變的前提下，增大波導(dǎo)高度b能使衰減變小,但當(dāng)b＞a/2時(shí)單模工作頻帶變窄,故衰減與頻帶應(yīng)綜合考慮。

③衰減還與工作頻率有關(guān),給定矩形波導(dǎo)尺寸時(shí),隨著頻率的提高先是減小,出現(xiàn)極小點(diǎn),然后穩(wěn)步上升。①衰減與波導(dǎo)的材料有關(guān),因此要選導(dǎo)電率高的非鐵磁材料,使RS盡量小。TE10模衰減常數(shù)隨頻率變化關(guān)系的如圖所示7）TE10模矩形波導(dǎo)的等效阻抗

由上面的公式可以知道，TE10模的波阻抗只和波導(dǎo)的寬邊尺寸a有關(guān)，而和窄邊b無(wú)關(guān)。當(dāng)兩段寬邊相同而窄邊不同的波導(dǎo)相連接的時(shí)候，在連接處必然會(huì)產(chǎn)生反射，因此不能應(yīng)用波阻抗來(lái)處理不同尺寸的波導(dǎo)匹配問(wèn)題，為此引入波導(dǎo)的等效阻抗(equivalentimoedance)等效阻抗可以采用下面的三種定義:定義波導(dǎo)等效電壓為波導(dǎo)寬邊中心電場(chǎng)從頂邊到底邊的線積分：定義波導(dǎo)等效電流為波導(dǎo)寬邊縱向電流之和：根據(jù)波導(dǎo)等效阻抗的定義可以知道其等效阻抗的表達(dá)式為：對(duì)應(yīng)的TE10模的傳輸功率為(見(jiàn)3.1-46)：為簡(jiǎn)化計(jì)算，通常采用和橫截面尺寸相關(guān)的部分作為等效阻抗：即

由上面的式子可以知道不同的定義等效阻抗具有不同的系數(shù)。其解釋為等效電壓和電流的非唯一性。采用上面三種定義來(lái)計(jì)算波導(dǎo)的等效阻抗，從而匹配不同波導(dǎo)段的連接，將使得連接處的反射系數(shù)最小。(注意在計(jì)算的時(shí)候應(yīng)該采用同一種定義)5.矩形波導(dǎo)尺寸選擇原則選擇矩形波導(dǎo)尺寸應(yīng)考慮以下幾個(gè)方面因素:1)波導(dǎo)帶寬問(wèn)題保證在給定頻率范圍內(nèi)的電磁波在波導(dǎo)中都能以單一的TE10模傳播,其它高次模都應(yīng)截止。為此應(yīng)滿足:λcTE20=a＜λ＜λcTE10=2aλcTE01=2b＜λ＜λcTE10=2aBJ-32波導(dǎo)各模式截止波長(zhǎng)分布圖當(dāng)波導(dǎo)尺寸a和b給定時(shí)，將不同m和n值代入，即可得到不同波型的截止波長(zhǎng)。其分布如圖a＜λ＜2a2b＜λ＜2aλ/2＜a＜λ0＜b＜λ/2將TE10模、TE20模和TE01模的截止波長(zhǎng)代入上式得或?qū)懽?)波導(dǎo)功率容量問(wèn)題

在傳播所要求的功率時(shí),波導(dǎo)不致于發(fā)生擊穿。適當(dāng)增加b可增加功率容量,故b應(yīng)盡可能大一些(見(jiàn)3.1-44b)。即取b＜a/23)波導(dǎo)的衰減問(wèn)題通過(guò)波導(dǎo)后的微波信號(hào)功率不要損失太大。增大b也可使衰減變小,故b應(yīng)盡可能大一些(3.1-47b)。綜合上述因素,矩形波導(dǎo)的尺寸一般選為a=0.7λb=(0.4-0.5)a標(biāo)準(zhǔn)波導(dǎo)見(jiàn)附錄一通常將b=a/2的波導(dǎo)稱為標(biāo)準(zhǔn)波導(dǎo);為了提高功率容量,選b＞a/2這種波導(dǎo)稱為高波導(dǎo);為了減小體積,減輕重量,有時(shí)也選b＜a/2的波導(dǎo),這種波導(dǎo)稱為扁波導(dǎo)。通常波導(dǎo)尺寸確定以后，其工作頻率范圍便可以確定。為了使損耗不大，并不出現(xiàn)高次模，其工作波長(zhǎng)范圍取：實(shí)際的微波電路設(shè)計(jì)則是知道工作波長(zhǎng)，從而選擇合適的波導(dǎo)。

例3.1-1

見(jiàn)書(shū)上P77（磁導(dǎo)率用的國(guó)際單位）

例3.1-2在尺寸為的矩形波導(dǎo)中，傳輸TE10模，工作頻率10GHz。

（1）求截止波長(zhǎng)、波導(dǎo)波長(zhǎng)和波阻抗；（2）若波導(dǎo)的寬邊尺寸增大一倍，上述參數(shù)如何變化？還能傳輸什么模式？（3）若波導(dǎo)的窄邊尺寸增大一倍，上述參數(shù)如何變化？還能傳輸什么模式？

解：（1）截止波長(zhǎng)（2）當(dāng)時(shí)此時(shí)

故此時(shí)能傳輸?shù)哪Ｊ綖橛捎诠ぷ鞑ㄩL(zhǎng)（3）當(dāng)時(shí)此時(shí)故此時(shí)能傳輸?shù)哪Ｊ綖橛捎诠ぷ鞑ㄩL(zhǎng)3.2圓形波導(dǎo)若將同軸線的內(nèi)導(dǎo)體抽走,則在一定條件下,由外導(dǎo)體所包圍的圓形空間也能傳輸電磁能量,這就是圓形波導(dǎo),簡(jiǎn)稱圓波導(dǎo),如圖所示。圓波導(dǎo)具有加工方便、雙極化、低損耗等優(yōu)點(diǎn)廣泛應(yīng)用于遠(yuǎn)距離通信、雙極化饋線以及微波圓形諧振器等,是一種較為常用的規(guī)則金屬波導(dǎo)。下面著重來(lái)討論圓波導(dǎo)中場(chǎng)分布及基本傳輸特性。1.圓波導(dǎo)中的模與矩形波導(dǎo)一樣,圓波導(dǎo)也只能傳輸TE和TM波型。設(shè)圓形波導(dǎo)外導(dǎo)體內(nèi)徑為a，并建立如圖所示的圓柱坐標(biāo)，其拉梅系數(shù)h1=1,h2=r,由(1.4-30)其縱向-橫向場(chǎng)關(guān)系為：

應(yīng)用分離變量法,令Hoz(r,)=R(r)Φ()代入式（3.2-3）得（3.2-3）邊界條件：1)TE波此時(shí)Ez=0,Hz=Hoz(r,φ)e-jβz≠0,且滿足如下本征值方程在圓柱坐標(biāo)中，

要使上式成立,上式兩邊項(xiàng)必須均為常數(shù),設(shè)該常數(shù)為k2

,則得解為：

這種表示形式是考慮到圓波導(dǎo)的軸對(duì)稱性,場(chǎng)的極化方向具有不確定性,使導(dǎo)行波的場(chǎng)分布在方向存在cosk和sink

兩種可能的分布,它們獨(dú)立存在,相互正交,截止波長(zhǎng)相同,構(gòu)成同一導(dǎo)行模的極化簡(jiǎn)并模。由于Hoz的解在方向上必須是周期的，即有對(duì)于：

該方程為Bessel方程，其解為：式中,Jm(x),Nm(x)分別為第一類和第二類m階貝塞爾函數(shù)，第二類貝塞爾函數(shù)也稱為諾依曼函數(shù)(Neumann)由于r→0時(shí)Nm(kcr)→-∞,由于圓波導(dǎo)中心的場(chǎng)應(yīng)該為有限值，因此必然有A2=0。于是Hoz(r,φ,z)的基本解為:由邊界條件，TE模在圓周上的Φ向電場(chǎng)應(yīng)該為0，根據(jù)縱－橫場(chǎng)關(guān)系有：由Bessel函數(shù)的性質(zhì)有Hoz(r,φ,z)的基本解為:由于不同的m,n值對(duì)應(yīng)不同的模式，因此圓波導(dǎo)中TE模的縱向磁場(chǎng)的通解為：將Hz一般解代入縱向-橫向關(guān)系式得到TE模的各個(gè)場(chǎng)分量：可見(jiàn),圓波導(dǎo)中同樣存在著無(wú)窮多種TE模,不同的m和n代表不同的模式,

記作TEmn,場(chǎng)沿半徑按Bessel函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)的規(guī)律變化，式中m表示場(chǎng)沿圓周分布的整波數(shù)（即Φ方向的駐波數(shù)）,n表示場(chǎng)沿半徑分布的最大值個(gè)數(shù)(即沿半徑方向的半駐波數(shù))。圓波導(dǎo)中TEmn導(dǎo)模的波阻抗：式中圓波導(dǎo)中TEmn導(dǎo)模的截止波長(zhǎng)：圓波導(dǎo)中TEmn導(dǎo)模的截止頻率：圓波導(dǎo)中TEmn導(dǎo)模從右面的表可以知道一階Bessel函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)方程的第一個(gè)根最小為1.841,對(duì)應(yīng)為T(mén)E11模,其對(duì)應(yīng)的截至波長(zhǎng)為：從上面的表可以看出圓波導(dǎo)中TEmn導(dǎo)模的m階Bessel函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)最小值為1.841，即對(duì)應(yīng)最小的截止頻率，因此TE11模為圓波導(dǎo)的主模。2)圓波導(dǎo)中TMmn波TM波通過(guò)與TE波相同的分析,可求得TM波縱向電場(chǎng)Ez(r,φ,z)的基本解為:其中,umn是m階貝塞爾函數(shù)Jm(x)的第n個(gè)根且kcTMmn=umn/a,于是可求得其它場(chǎng)分量:TM波縱向電場(chǎng)Ez(r,φ,z)的通解為:由邊界條件(3.2-5):可見(jiàn)，圓波導(dǎo)中存在著無(wú)窮多種TM模,波型指數(shù)m和n的意義與TE模相同.此時(shí)波阻抗為：2.圓波導(dǎo)TM波的傳輸特性1)TMmn模截止波長(zhǎng)2)TMmn模截止頻率Bessel方程的根如圖所示，可以知道0階Bessel方程的第一個(gè)根最小的為2.405，對(duì)應(yīng)的是TM模中的TM01導(dǎo)模2)簡(jiǎn)并模在圓波導(dǎo)中有兩種簡(jiǎn)并模,它們是EH簡(jiǎn)并(TE0n和TM1n)和極化簡(jiǎn)并。

(1)E－H簡(jiǎn)并由于貝塞爾函數(shù)具有J0′(x)=-J1(x)的性質(zhì),所以一階貝塞爾函數(shù)的根和零階貝塞爾函數(shù)導(dǎo)數(shù)的根相等,即:μ’0n=u1n,故有λcTE0n=λcTM1n,從而形成了TE0n模和TM1n模的簡(jiǎn)并。這種簡(jiǎn)并稱為E-H簡(jiǎn)并。(2)極化簡(jiǎn)并由于圓波導(dǎo)具有軸對(duì)稱性,對(duì)m≠0的任意非圓對(duì)稱模式,橫向電磁場(chǎng)可以有任意的極化方向而截止波數(shù)相同,任意極化方向的電磁波可以看成是偶對(duì)稱極化波和奇對(duì)稱極化波的線性組合。偶對(duì)稱極化波和奇對(duì)稱極化波具有相同的場(chǎng)分布,故稱之為極化簡(jiǎn)并。正因?yàn)榇嬖跇O化簡(jiǎn)并,所以波在傳播過(guò)程中由于圓波導(dǎo)細(xì)微的不均勻而引起極化旋轉(zhuǎn),從而導(dǎo)致不能單模傳輸，同時(shí)也正是因?yàn)橛袠O化簡(jiǎn)并現(xiàn)象,圓波導(dǎo)可以構(gòu)成極化分離器、極化衰減器等。由上面的分析可以得到下面的重要結(jié)論：(1)圓波導(dǎo)中導(dǎo)模的傳輸條件為工作波長(zhǎng)小于截止波長(zhǎng)。(2)圓波導(dǎo)的導(dǎo)模存在兩種模式的簡(jiǎn)并，E-H簡(jiǎn)并和極化簡(jiǎn)并。即TE0n和TM1n的E-H簡(jiǎn)并，和極化簡(jiǎn)并。

(3)圓波導(dǎo)的主模為T(mén)E11模，TM01模為次模圓波導(dǎo)中各模式截止波長(zhǎng)的分布圖

3.幾種常用模式由各模式截止波長(zhǎng)分布圖（見(jiàn)圖3.2-2）,圓波導(dǎo)中TE11模的截止波長(zhǎng)最長(zhǎng),其次是TM01模,由于TE01模場(chǎng)分布的特殊性,使之具有低損耗特點(diǎn)。為此我們主要來(lái)介紹這三種模式的特點(diǎn)及用途。1)主模TE11模TE11模的截止波長(zhǎng)最長(zhǎng),是圓波導(dǎo)中的最低次模,也是主模。它的場(chǎng)結(jié)構(gòu)分布圖如圖所示。其中圖(a)表示橫截面上的電磁場(chǎng)分布；圖(b)表示縱剖面上的電磁場(chǎng)分布

由圖可見(jiàn),圓波導(dǎo)中TE11模的場(chǎng)分布與矩形波導(dǎo)的TE10模的場(chǎng)分布很相似,因此工程上容易通過(guò)矩形波導(dǎo)的橫截面逐漸過(guò)渡變?yōu)閳A波導(dǎo),如圖所示,從而構(gòu)成方圓波導(dǎo)變換器。即矩形波導(dǎo)激勵(lì)TE10模通過(guò)方圓過(guò)渡轉(zhuǎn)換后在圓波導(dǎo)中的電磁場(chǎng)分布為T(mén)E11模。由于TE11模存在極化簡(jiǎn)并，因此如果波導(dǎo)的橫截面由于加工誤差存在一定的橢圓度的情況下，簡(jiǎn)并模將會(huì)分離成cosΦ和sinΦ的模，因此一般不使用圓波導(dǎo)來(lái)傳輸電磁波(因?yàn)椴荒鼙ＷC其單模傳輸)。TE11模的傳輸功率：TE11模單位長(zhǎng)度功率損耗為：由此得到圓波導(dǎo)TE11模的導(dǎo)體衰減常數(shù)為：圓波導(dǎo)TE11模的介質(zhì)衰減常數(shù)為：注意：圓波導(dǎo)TE11模的半徑一般選擇工作波長(zhǎng)的1/3由圓波導(dǎo)的模式頻譜圖可以知道TM01模是圓波導(dǎo)中的次主模，m=0,沒(méi)有簡(jiǎn)并。其截止波長(zhǎng)為：對(duì)應(yīng)的電磁場(chǎng)分量為：m=0,n=1,Ez取余弦項(xiàng)2)圓對(duì)稱TM01模（）圓波導(dǎo)TM01模是圓波導(dǎo)的橫截面和俯視圖的電磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)如圖所示，可以看出(1)電場(chǎng)、磁場(chǎng)沿Φ方向沒(méi)有變化(即場(chǎng)不是Φ的函數(shù))，場(chǎng)的分布具有軸對(duì)稱性。(2)電場(chǎng)相對(duì)集中在中心線附近，磁場(chǎng)則相對(duì)集中于圓波導(dǎo)內(nèi)表壁。對(duì)于Ez而言，隨著r的增大，電場(chǎng)強(qiáng)度減小，對(duì)應(yīng)圓波導(dǎo)中心附近的電力線最密。(3)由于磁場(chǎng)只有Φ方向的量，因此表面電流只有JZ分量。由于圓波導(dǎo)中TM01模只有Z方向的表面電流，因此可以有效的和Z向流動(dòng)的電子流(對(duì)應(yīng)電場(chǎng))交換能量，適合用于微波諧振腔或天線掃描裝置的旋轉(zhuǎn)鉸鏈工作模式。TE01模的場(chǎng)分布如圖所示。其中圖(a)表示橫截面上的電磁場(chǎng)分布(橫截面徑向?yàn)榇帕€)圖(b)表示縱剖面上的電磁場(chǎng)分布圓波導(dǎo)TE01模的場(chǎng)分量：m=0,n=1，縱向磁場(chǎng)取余弦項(xiàng)3)低損耗TE01模TE01模的場(chǎng)的特點(diǎn)：(1)電磁場(chǎng)沿Φ方向不變化，即具有軸對(duì)稱性。(2)電場(chǎng)只有Φ方向分量，在中心和波導(dǎo)內(nèi)壁處為0。(3)在管壁附近只有Hz分量磁場(chǎng)，故管壁只有Φ方向電流，因此當(dāng)傳輸功率一定時(shí)，隨著頻率增加，損耗將減小，衰減常數(shù)將變小，適合于高頻(毫米波)的長(zhǎng)距離傳輸。但是其不是圓波導(dǎo)的主模，因此需要抑制其他的低次模式。當(dāng)傳輸功率一定時(shí),隨著頻率升高,管壁的熱損耗將單調(diào)下降,故其損耗相對(duì)其它模式來(lái)說(shuō)是低的例子3.2-13.3同軸線同軸線是一種典型的雙導(dǎo)體傳輸系統(tǒng),它由內(nèi)、外同軸的兩導(dǎo)體柱構(gòu)成,中間為支撐介質(zhì),如圖所示。其中內(nèi)、外半徑分別為a和b,填充介質(zhì)的磁導(dǎo)率和介電常數(shù)分別為μ和ε。同軸線是微波技術(shù)中最常見(jiàn)的TEM模傳輸線,分為硬、軟兩種結(jié)構(gòu)。硬同軸線是以圓柱形銅棒作內(nèi)導(dǎo)體,同心的銅管作外導(dǎo)體,內(nèi)、外導(dǎo)體間用介質(zhì)支撐,這種同軸線也稱為同軸波導(dǎo)。軟同軸線的內(nèi)導(dǎo)體一般采用多股銅絲,外導(dǎo)體是銅絲網(wǎng),在內(nèi)、外導(dǎo)體間用介質(zhì)填充,外導(dǎo)體網(wǎng)外有一層橡膠保護(hù)殼,這種同軸線又稱為同軸電纜。1.同軸線的TEM波導(dǎo)場(chǎng)如圖所示，采用柱坐標(biāo)系根據(jù)(3.3-1)同軸線的橫向電場(chǎng)為：(2)特性阻抗由電磁場(chǎng)理論分析得到同軸線的單位長(zhǎng)分布電容和單位長(zhǎng)分布電感分別為(見(jiàn)書(shū)上表2.1-1)2.同軸線的傳輸特性(1).相速度和波導(dǎo)波長(zhǎng)由于同軸線主要傳輸TEM波，則Kc=0，β=K，則相速度由(1.4-14)得特性阻抗為：同軸線內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位差可以通過(guò)(3.3-15)得到：另外：從電壓和電流的角度求特性阻抗：同軸線內(nèi)導(dǎo)體上的總電流可以通過(guò)(3.3-17)得到：特性阻抗為：同軸線的傳輸功率：(3)衰減常數(shù)下面重點(diǎn)討論同軸線外半徑b不變時(shí),改變內(nèi)半徑a,分別達(dá)到耐壓最高、傳輸功率最大及衰減最小三種狀態(tài)下,它們分別對(duì)應(yīng)的不同阻抗特性。(a)導(dǎo)體損耗和介質(zhì)損耗為達(dá)到耐壓最大,設(shè)Ea取介質(zhì)的極限擊穿電場(chǎng)值Emax,即Ea=Emax,故討論1.耐壓最高時(shí)的阻抗特性設(shè)外導(dǎo)體接地,內(nèi)導(dǎo)體上的電壓為Um,則內(nèi)導(dǎo)體表面的電場(chǎng)為介質(zhì)擊穿的臨界內(nèi)導(dǎo)體電壓對(duì)應(yīng)的對(duì)同軸線尺寸的偏微分應(yīng)該為0，因此有此時(shí)同軸線的特性阻抗為：當(dāng)同軸線中填充空氣時(shí),相應(yīng)于耐壓最大時(shí)的特性阻抗為60Ω。2.傳輸功率最大時(shí)的特性阻抗

限制傳輸功率的因素也是內(nèi)導(dǎo)體的表面電場(chǎng)

式中,x=b/a。要使Pmax取最大值,則Pmax應(yīng)滿足于是可得x=b/a=1.65,相應(yīng)的特性阻抗為：

當(dāng)同軸線中填充空氣時(shí),相應(yīng)于傳輸功率最大時(shí)的特性阻抗為30Ω。3.衰減最小時(shí)的特性阻抗同軸線的損耗由導(dǎo)體損耗和介質(zhì)損耗引起,由于導(dǎo)體損耗遠(yuǎn)比介質(zhì)損耗大,這里我們只討論導(dǎo)體損耗的情形。設(shè)同軸線導(dǎo)體的表面電阻為Rs,兩者之間的關(guān)系為導(dǎo)體損耗而引入的衰減系數(shù)αc(2.4-40)為:化簡(jiǎn)有：要使衰減系數(shù)αc最小,則應(yīng)滿足于是可得xlnx-x-1=0,即x=b/a=3.59,此時(shí)特性阻抗為：

當(dāng)同軸線中填充空氣時(shí),相應(yīng)于衰減最小時(shí)的特性阻抗為76.7Ω。若要使衰減最小則b/a=3.591，若要求功率容量最大，則要求b/a=1.65,若折衷考慮即功率容量和衰減都達(dá)到一個(gè)比較合適的值，則選取b/a=2.303，對(duì)應(yīng)的特性阻抗為50歐。可見(jiàn)在不同的使用要求下