第七章時間序列第一節時間序列概述第二節時間序列分析的水平指第三節時間序列分析的速度指第四節動態趨勢分析第一節時間序列概述一、時間序列的意義

時間序列，指同類現象的統計指標數值按時間先后順序排列而成的數列。又稱動態數列。

時間序列是由互相配對的兩個數列構成：

一是反映時間順序變化的數列；

二是反映各個時間統計指標值變化的數列。二、時間序列的種類按組成時間序列指標性質的不同，時間序列可分為：

時期序列絕對數時間序列（最基本的數列）時點序列相對數時間序列兩個時期序列對比平均數時間序列兩個時點序列對比

一個時期和一個時點序列對比派生序列1、時期序列

時期序列是指在絕對數時間序列中，如果每一指標是反映現象在一段時間發展過程的總量，則為時期序列。它有以下三個特點：（１）數列中各個指標數值是可以相加的；（２）數列中每一個指標數值的大小與其時期長短有直接的聯系；一般地說，時期愈長，指標數值愈大；反之就愈小。（３）數列中的每個指標數值，通常是通過連續不斷地登記取得的。

42、時點序列

時點序列是指在絕對數時間序列中，若每個指標值所反映的是現象在某一時刻上的總量，則稱為時點序列。

時點序列根據登記的資料是否連續可分：

連續性時點序列（以日為間隔進行登記）

間斷性時點序列（間隔一定時間登記）

5等間隔不等間隔等間隔不等間隔時點序列有以下三個特點：（１）數列中每個指標數值是不能相加的。（２）數列中每個指標數值的大小與其間隔長短沒有直接聯系。（３）數列中每個指標數值，通常是通過一定時期登記一次而取得的。三、編制時間序列的原則保證數列中各個指標數值的可比性，是編制時間序列應遵守的基本原則。具體地說應注意以下四點：（一）時間長短應該相等.（二）總體范圍應該一致。（三）計算方法應該統一。時間序列各項指標的計算口徑、計量單位和計算方法應該一致，保持不變。（四）經濟涵義要統一。有時時間序列的指標在名稱上是一個指標，但經濟內容或經濟涵義不同或有了變化，這也是不可比的。第二節時間序列分析的水平指標一、發展水平

發展水平，又稱發展量，是時間序列中每一項具體指標數值。它是計算其他動態分析指標的基礎。發展水平按在一個時間序列中所處位置的不同最初水平最末水平

如有一項時間序列：a0，a1，a2，a3…an(共n+1)其中，a0稱最初水平，an稱最末水平。

發展水平根據作用不同有：

基期水平：作為比較基礎時期的發展水平;

報告期水平：所要分析研究的那個時期的水平。二、平均發展水平

平均發展水平是對不同時期的發展水平求平均數，一般也叫序時平均數或動態平均數。它和一般平均數有共同之處，也有區別。（是什么?）序時平均數的計算：（一）由絕對數時間序列計算序時平均數1、根據時期序列計算(只需采用簡單序時平均法)

計算公式為：

式中，--序時平均數；

--各期發展水平；

n--時期項數。

92、根據時點序列計算

時點序列分為連續性時點序列和間斷性時點序列，它們的序時平均數計算是不同的。

連續性時點序列間斷性（）

注意：間斷性時點序列計算序時平均數的假設前提：即所研究現象在相鄰兩時點間的變動是均勻的。等間隔不等間隔等間隔不等間隔首末折半法（二）由相對數或平均數時間序列計算序時平均數其序時平均數的計算方法是：先將分子數列和分母數列分別加以序時平均，然后進行對比，求得相對數時間序列或平均數時間序列的序時平均數。計算公式為：

式中：--相對數時間序列或平均數時間序列的序時平均數；

--分子數列的序時平均數；

--分母數列的序時平均數。

1、對比的分子、分母都是時期序列

2、對比的分子、分母都是時點序列3、對比的分子、分母數列一個是時期序列，另一個是時點序列

[例7.5]某企業一、二、三月份產品產量計劃數和計劃完成程度資料如表7—5。

1月2月3月

計劃產量（件）b500600800

計劃完成（%）c100102104要求：計算第一季度產量平均計劃完成程度。

變換條件：

1月2月3月

實際產量（件）a500612832

計劃完成（%）c100102104第一種情況：已知分母計劃數b和計劃完成c，

則:第一季度產量平均計劃完成程度

102.32%

第二種情況：已知分子實際完成數a和計劃完成c，

則:第一季度產量平均計劃完成程度

三、增長量和平均增長量（一）增長量

它是時間序列中報告期發展水平與基期發展水平之差。計算公式為：增長量=報告期水平-基期水平

由于比較基期不同，增長量可分為：

逐期增長量：是報告期水平減去前一期水平的差額；

累積增長量：是報告期水平和某一固定時期水平（通常為最初水平）相減的差額。

逐期增長量：a1-a0,a2-a1,…,an-an-1

累積增長量：a1-a0,a2-a0,…,an-a0

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二者的關系是：累積增長量等于逐期增長量的總和。即：（a1-a0）+(a2-a1)+…+(an-an-1)=an-a0（二）平均增長量平均增長量是增長量的序時平均數。

計算公式：平均增長量=逐期增長量之和/逐期增長量個數

=累積增長量/（時間序列項數-１）第三節時間序列分析的速度指標速度指標是說明社會經濟現象變化發展的動態相對指標。反映國民經濟速度的主要指標有發展速度增長速度平均發展速度平均增長速度。它們之間具有密切的聯系，其中發展速度是最基本的速度指標。

一、發展速度和增長速度（一）發展速度

發展速度是兩個不同時期發展水平對比而計算的動態相對數，用以說明報告期水平已發展到基期水平的若干倍或百分之幾。一般用百分數或倍數表示。計算公式為：發展速度=（報告期水平/基期水平）100%

發展速度由于采用基期的不同可分為

環比發展速度：是報告期水平與其前一期水平之比，說明現象逐期發展程度；

定基發展速度：是報告期水平與某一固定時期水平（通常為最初水平）之比，說明現象在一段時間內總的發展速度，故又稱“總速度”,用R表示。

計算公式如下：環比發展速度：定基發展速度：

二者的關系是：（１）定基發展速度等于相應各個環比發展速度的連乘積，即：

（２）兩個相鄰時期的定基發展速度之比等于相應時期的環比發展速度，即：（二）增長速度

增長速度是增長量與基期水平之比，用以說明報告期水平比基期水平增長了百分之幾或若干倍。用公式表示：

增長速度=增長量/基期水平

或：增長速度=發展速度-1（或100%）

環比增長速度：表明現象逐期增長的程度。

定基增長速度：表明現象在較長時期內總的增長程度。

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環比增長速度=逐期增長量/前一期水平

=環比發展速度-１（或100%）定基增長速度=累積增長量/最初水平

=定基發展速度-１（或100%）注意，這兩個指標是不能直接進行互相換算的。（三）增長１％的絕對值

它表示報告期水平比基期水平每增長１％所包含的絕對量是多少。用公式表示為：

每增長１％的絕對值=（為什么要計算增長1%的絕對值？）

21二、平均發展速度和平均增長速度（一）平均速度指標的意義平均發展速度和平均增長速度統稱為平均速度。

平均發展速度是各期環比發展速度的序時平均數，用以說明現象在較長時間中逐年平均發展的程度。

平均增長速度=平均發展速度-１（或100%）即要求得平均增長速度指標，首先要計算出平均發展速度指標，而后將其減１（或100%）即得。該指標說明現象遞增的平均速度。（二）平均發展速度的計算方法常用的方法有兩種幾何平均法（水平法）

方程式法(累計法)

它們的數理依據、計算方法和應用場合都不相同，現分述如下：

1、幾何平均法（又稱水平法）現象的平均發展速度，一般用幾何平均法計算。這是因為，現象發展的總速度等于各期環比發展速度的連乘積。

幾何平均法的計算公式為：

（１）式由于各期環比發展速度的連乘積等于最后一期的定基發展速度，即總速度Ｒ，所以有：（２）式又因為，所以有：

（３）式

由（３）式得：展開：

這個等式的含義是：現象從最初水平a0出發，各時期都以同樣的速度向前發展，經過n期后達到最末水平an

。可見，該法計算的平均發展速度是側重于考察最末一期的發展水平的，故幾何平均法又稱水平法。

25n期水平法平均發展速度案例例1：已知2002年中國GDP為12371.39億美元，增長速度為8%；美國為104456億美元，增長速度為2.4%。試問：（1）若按現有的增長速度發展，幾年后中國將達到美國2002年的GDP的水平？（2）按照同樣的發展速度，問多少年后中國才能趕上美國？（3）若中國GDP以年均7.23%的速度增長，則需多少年趕上美國？

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解：（1）12371.39*(1.08)n=104456*n=lg8.4434/lg1.08=27.7(年)

（2）12371.39*(1.08)n=104456*(1.024)n(1.05469)n=8.4434lg8.44340.9265n=———————=—————=40(年)lg1.054690.02312

（3）lg8.44340.9265n=——————=————=46(年)lg1.04720.0200

272、方程式法（累計法）累計法計算平均發展速度的數理依據是：現象從最初水平出發，各期都按固定的速度發展，各期發展水平的理論值總和與各期實際水平總和相等。依據該思路，得到下列公式：

解這個方程式得出的正根，即為所求的年平均發展速度。所以，這種求平均數的方法，又稱作方程式法。

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關于現象發展平均速度的兩種計算法--幾何平均法和方程式法的不同特點說明如下：

幾何平均法側重于考察最末一年的發展水平；方程式法側重于考察全期各年發展水平的總和。實際工作中，由于所考察的經濟現象大都側重于最末一期的發展水平，所以水平法計算平均發展速度的方法被更多地運用。

（三）計算和應用平均發展速度時應注意的幾個問題1、要聯系各個時期的環比速度。2、用分段平均速度補充說明總平均速度或用突出的速度來補充說明平均速度，這在分析較長歷史時期資料時更為必要。3、要聯系基期水平進行分析。

29第四節動態趨勢分析與預測一、時間序列變動的因素分析二、長期趨勢的測定與預測三、季節變動的測定與預測四、循環變動的測定一、時間序列變動的因素分析1、長期趨勢變動長期趨勢變動是時間序列變動的基本形式。它是由各個時期普遍的、持續的、決定性的基本因素的作用，使各期發展水平沿著一個方向，上升或下降的趨勢變動。2、季節變動季節變動是指按一定的時間間隔，由于季節性的更換以及社會、政治、經濟等因素影響，引起現象周期重復的變化。3、循環變動循環變動是指現象發生周期比較長的漲落起伏的變動。通常所指的循環變動乃經濟發展榮衰不絕相替之變動。它和季節變動不同，也不同于朝單一方向持續發展的長期趨勢。4、不規則變動不規則變動是指現象除了受以上各種變動的影響之外，由于臨時的、偶然的因素引起的非周期性或非趨勢性的隨機變動。不規則變動是無法預知的。動態趨勢分析目的

四種因素間的關系：按四種因素對時間序列的影響方式不同，時間序列可分解為多種模型，如乘法模型、加法模型、混合模型等。其中最常用的是乘法模型和加法模型，其表現形式為：

乘法模型：（假定四個因素對現象發展的影響是相互的,并且T是絕對量，其余成分均為比率）

加法模型：（假定四個因素的影響是獨立的，且各成分均用絕對量表示）

其中：

T---表示長期趨勢成分；

S---表示季節變動成分；

C---表示循環變動成分；

I---表示不規則變動成分。二、長期趨勢的測定與預測

測定長期趨勢的主要方法有：移動平均法和最小二乘法。（一）移動平均法移動平均法是采用逐期遞推移動的辦法計算出一系列擴大時距的序時平均數，并以這一系列平均數作為對應時期的趨勢值。

應用移動平均法分析長期趨勢，有下列幾點需要加以說明。1、凡采用奇數項移動求得的平均值，都對正相應時期的原值，一次即得趨勢值。但若采用偶數項移動平均，還需要作移正平均。2、移動平均時所采用的擴大時距，應由時間序列的具體特點所決定。一般要求擴大的時距與周期變動的時距相吻合，或為它的倍數。就這一點而言，移動平均法是消除周期變動，從而較為準確地揭示現象發展的長期趨勢的重要方法。3、移動平均后所得的新數列，較原數列項數為少。4、分析現象發展趨勢的一個重要目的，是對現象的發展作出科學的預測，而移動平均法無法得出可供預測用的方程。（二）最小平方法它是測定長期趨勢最普遍采用的方法。

最小平方法配合趨勢線必須滿足下列兩點要求：第一，原數列的實際值與趨勢線的趨勢值的離差平方之和為最小，即：

第二，實際值與趨勢值的離差之和為0，即：

顯然，第一個條件是最基本的。因為符合這一條件的只有一條線，所以這條線又稱原數列的最適線，它使趨勢線同原數列取得最佳配合。最小二乘法既可用于線性方程的擬合，也可用于非線性方程的擬合。

如何判斷時間序列所呈現出的形態呢？

1、直線趨勢的測定

當時間序列逐期增長量大體相同時，趨勢線近似于一條直線。

2、非線性趨勢測定（１）拋物線型當時間序列各期水平的二次增量大體相同時，則趨勢線近似一條拋物線。

（２）指數曲線型當時間序列各期的環比增長速度大致相同時，趨勢線近似于一條指數曲線。三、季節變動的測定與預測（一）季節變動測定的目的

季節變動是指客觀現象因受自然因素或社會因素影響，而形成的有規律的周期性變動。這里所謂的季節變動，不僅僅是一年四季的季節變動，而是泛指有規律的、按一定周期（年、季、月、周、日）重復出現的變化。季節變動會給社會經濟生活帶來某些影響。

測定的意義：主要在于認識規律、分析過去、預測未來。

測定的目的：1、掌握季節變動的周期、數量界限及其規律，以便預測未來，及時采取措施；

2、克服其對社會經濟生活帶來的不良影響，更好地組織生產和銷售，提高經濟效益和安排好人民生活。

39（二）季節變動的測定方法

主要方法是計算季節比率，以反映季節變動的程度。季節比率高為旺季，低則為淡季。季節比率的計算方法通常有兩種按月（季）平均法趨勢剔除法1、按月（季）平均法

分三步計算。

優點：計算簡便，容易理解。但運用該法有基本假設，即原時間序列沒有明顯的長期趨勢和循環變動，通過各年同月數據的平均，可以消除不規則變動，并且當平均的期間與循環周期基本一致時，也在一定程度上消除了循環變動。

缺點：若時間序列存在明顯的長期趨勢，會使季節比率的計算不準確。2、趨勢剔除法若時間序列包含有明顯的上升（下降）趨勢或循環變動，為更準確的計算季節比率，就應當首先設法從數列中消除趨勢因素，然后再用平均法消除不規則，從而較準確的分解出季節變動成分。

數列的長期趨勢可用

移動平均法測定——移動平均趨勢剔除法.

趨勢方程擬合法——趨勢剔除法。

假定時間序列各構成要素的關系是乘法模型，其結構為：

Y=T·C·S·I以移動平均法為例，確定季節比率的步驟如下：（1）對原數列通過12個月（或4個季度）的移動平均，消除季節變動S和不規則變動I，所得移動平均的結果只包含趨勢變動T和循環變動C。

(2)將原數列各項數據除以所對應時期的移動平均數，即得消除趨勢變動的數列。

T·S·C·I/T·C=S·I

（3）依據消除趨勢變動的數列計算各年同月（或同季）的平均數，以消除不規則變動I；然后再分別除以總平均數，即得季節比率（亦稱季節變動指數）s。

[例]根據下表資料，計算農業生產資料零售額的季節指數。

農業生產資料零售季節指數計算表（1）年/季銷售額（萬元）四項趨勢值Y/T(%)Y移動平均值（移正平均）T1998/162。6——288。0——379。174。54106。12464。076。5683。591999/171。578。6590。91295。380。41118。51388。581。41108。71468。783。2082。572000/174。885。5687。422106。386。53122。85396。486。64111。27468。586。7478。97

續：年/季銷售額(萬元)Y

四項移動平均值趨勢值Y/T(%)

（移正平均）T

2001/175。986。6187。632106。086。70122。26395。788。04108。70469。990。6577。112002/185。293。5591。022117。696。06122。423107。397。29110。29478。499。1479。082003/186。5101。8484。942131。1104。34125。653115。4——490。3——

農業生產資料零售季節指數計算表（2）

年份季度

1234合計

1998——106.1283.59—

199990.91118.51108.7182.57—200087.42122.85111.2778.97—200187.63122.26108.7077.11—200291.02122.42110.2979.08—200384.94125.65———

合計441.98611.70545.09401.332000.10

平均88.40122.34109.0280.27100.005

季節指數（%）88.39122.33109.0180.26100.00（三）季節變動的調整

測定季節變動的目的之一是將季節變動從時間序列中予以剔除，以便觀察和分析時間序列的其他特征。消除季節變動的方法是將原數列除以相應的季節指數，即：

Y/S=T·S·C·I/S=T·C·I調整后的時間序列即消除了季節變動的影響。

[例]根據上表中的數據，對1998——2003年各季度的生產資料銷售額作季節性調整，并將調整后的序列與原序列作比較。根據調整后的序列配合的趨勢直線為：

Yc=69.89+1.493t

這樣就可計算各季調整后的趨勢值，見下表最后一列。

農業生產資料零售額的季節性調整年/季銷售額（萬元）Y季節指數（%）S調整后的銷售額（萬元）Y/S調整后的趨勢值（萬元）Yc

1998/162。688.3970.8271.38288。0122.3371.9372.88379。1109.0172。5674.37464。080.2679。7475.861999/171。5同上80。8977。36295。377。9078。85388。581。1880。34468。785。5981。832000/174。8同上84。6283。332106。386。8984。82396。488。4386。31468。585。3587。812001/175。9同上85。8789。302106。086。6590。79395。787。7992。2469。987。0993。782002/185。2同上96。3995。272117。696。1396。763107。398。4398。26478。497。6899。752003/186。5同上97。86101。242131。1107。17102。743115。4105.86104.23490。3112.51105.72四、循環變動分析（一）循環變動分析的目的

循環變動往往存在于一個較長的時期中，是一種從低到高，又從高到低周而復始的近乎規律性的變動。循環變動不同于季節變動，季節變動也有高低的交替變動，但有比較固定的規律性，且變動周期一般在一年以內。循環變動的規律不那么固定，周期通常在一年以上，且周期的長短、變動形態、波動的大小也不固定。例如，產品的生產通常有導入期、成長期、成熟期、衰退期、替代期等經濟壽命周期；又如，由于受周期因素的影響，宏觀經濟的增長通常產生周期性波動。分析循環變動的主要目的是探索經濟發展的規律性，為政府制定政策以及企業經營管理的預測和決策提供客觀依據。

（二）循環變動的分析方法

由于循環變動通常隱匿在一個較長的變動中，且規律不固定，所以在時間序列的成分分析中，循環變動的測定比較困難。實際中常用:

剩余法—由美國經濟統計學家、哈佛大學教授珀森斯在1919年提出。

直接法—由美國經濟統計學家布倫博在1926年提出。

剩余法的基本思想：從時間序列中先分別消除長期趨勢和季節變動——然后再通過平均消除不規則變動成分——剩余的變動則為循環變動結果。具體步驟：

1、先消除季節變動，求得無季節性資料。

無季節性資料=T·S·C·I/S=T·C·I2、將結果除以T，求得循環和不規則波動的相對數。

循環和不規則波動=T·C·I/T=C·I

3、將上述結果進行移動平均（MA），以消除不規則波動，即得循環波動值，通常用百分比表示。

C=MA(C·I)[例]根據前述資料，采用剩余法分析生產資料銷售額的循環變動。本題第（6）欄是采用3期移動平均

農業生產資料零售額循環波動計算表年/季銷售額（萬元）季節指數無季節性趨勢值循環波動及循環相對數

Y（%）

S資料Y/SYc

不規則波動（%）相對數C·I

（1）（2）（3）=（1）/（2）（4）（5）=（3）/（4）（6）

1998/162。688.39—288。0122.3398.27379。1109.01100.72464。080.26103.141999/171。5同上103.99295。3103.06388。5103.50468。7104.842000/174。8同上105.722106。3105.38396。4