建筑力學ArchitecturalMechanics

主講：杜留記河南城建學院土木與材料工程系力學教研室

第11章梁和結構的位移

主要內容§11-1概述§11-2梁的撓曲線近似微分方程§11-3疊加法§11-4單位荷載法§11-5圖乘法§11-6線彈性體的互等定理§11-7結構的剛度校核1.梁的撓曲線：梁軸線變形后所形成的光滑連續的曲線。B1Fxqqωyx2.梁位移的度量：②撓度：梁橫截面形心的豎向位移ω，向下的撓度為正①轉角：梁橫截面繞中性軸轉動的角度θ，順時針轉動為正§11-1

概述③撓曲線方程：撓度作為軸線坐標的函數—ω=f(x)④轉角方程(小變形下)：轉角與撓度的關系—3.計算位移的目的：剛度校核、解超靜定梁、適當施工措施§11-1

概述B1Fxqqωyx一、撓曲線近似微分方程1.力學關系：2.幾何關系：3.撓曲線近似微分方程：§11-2梁的撓曲線近似微分方程及其積分yxyx二、積分法求梁的撓曲線1.式中C1、C2為積分常數，由梁邊界、連續條件確定。§11-2梁的撓曲線近似微分方程及其積分2.支承條件與連續條件:1)支承條件：2)連續條件：撓曲線是光滑連續唯一的lFAB§11-2梁的撓曲線近似微分方程及其積分qmaxfmax解：建立坐標系如圖x處彎矩方程為：例一

圖示B端作用集中力P的懸臂梁，求其撓曲線方程。

yxFxqmaxfmaxyxFx例一

圖示B端作用集中力P的懸臂梁，求其撓曲線方程。

例二

求圖示梁受集中力F作用時的撓曲線方程。FabClABFAFB解：1、求支反力FabClABFAFB例二

求圖示梁受集中力F作用時的撓曲線方程。

幾個荷載共同作用下梁任意橫截面上的位移，等于每個荷載單獨作用時該截面的位移的疊加。§11-3

疊加法例三如圖所示懸臂梁，其抗彎剛度EI為常數，求B點轉角和撓度。FqωBqωCqqBFωBPFq1.在F作用下：2.在q作用下：3.在F和q共同作用下：例三如圖所示懸臂梁，其抗彎剛度EI為常數，求B點轉角和撓度。a.荷載作用；b.溫度改變和材料脹縮；c.支座沉降和制造誤差。1）產生位移的主要原因：↓↓↓↓↓↓↓↓↓-t+t不產生內力，產生變形產生位移不產生內力和變形，產生剛體移動βΔl位移是幾何量，截面的轉動和移動統稱為結構的位移。結構的位移可分為線位移和角位移。a.材料符合胡克定律，應力和應變成線性關系，

σ=Eε；b.小變形。即：線彈性體系。荷載與位移成正比，計算位移可用疊加原理。

2）結構位移概念和分類：3）位移計算時的假定：a.驗算結構的剛度；b.為超靜定結構的內力分析打基礎；c.建筑起拱。求位移最好的方法是虛功法。其理論基礎是虛功原理。力由于自身所引起的位移而作功。作的功與其作用點移動路線的形狀、路程的長短有關。

當靜力加載時，即：P由0增加至P

由0增加至實功的計算式為：F1若干外力作用下，梁發生變形的時外力的總功可寫作

整個桿件的彎曲變形位能由微段變形位能的積分求得。

軸向拉壓變形的位能表達式。

當軸力FN和拉壓剛度沿桿件長度為常數時，變形的位能表達式。

組合變形桿件，按疊加原理，變形位能為各基本變形形式的變形位能的和。

KK變形位能在數值上等于外力在變形過程中所作的功。

FK第一階段：

第二階段：

彎矩方程：

F軸力桿件

軸力和EA為常數

單位力偶

Pl/2l/2EIABx1x2解：1）虛擬單位荷載m=1MP（x1）=Px/20≤x1≤l/2MP（x2）=P（l－x）/2l/2≤x2≤l0≤x≤lEIdsMMlPB0=òj積分常可用圖形相乘來代替2）MP須分段寫例：求圖示等截面梁B端轉角。若EI是常數就可提到積分號的外面,上式就變為:

若

和

中有一個是直線圖,

如圖所示:代入上式有:

是常數,可提到積分號的外面

M圖

BxxC

M

AByC

AdxC形心MP

dAMP圖

xy0

是

圖對Y軸的面積矩,可寫成:

--是

圖的形心到Y軸的距離

有:

其中:

--是圖的面積

--是

圖形心位置所對應的

圖中的豎標

得：令:

并且略去下標c

上述積分式計算位移的方法稱為圖乘法。應用圖乘法需注意以下幾方面：1.滿足前提三個條件；2.縱坐標y必須取自直線的彎矩圖中；3.同側為正，反之為負。4.y所在圖形有若干直線段組成時，需分段求解；5.當彎矩圖面積或形心不易確定時，可將圖形分解為若干簡單的圖形，然后分別圖乘，最后求和。hlC2

l/4

3l/4

3l/8

5l/8

C1

ω1

ω2

頂點常見圖形形心及面積lhC2l/3

l/3

hl/2C頂點abl+b/3

l+a/3

hClhll/5

4l/5

C2

2l/5

3l/5

C1

ω1

ω2

頂點常見復雜圖形處理A2A1y2y1cdba若各段剛度不相同，則應分段圖乘。

×=××+×=×+×復雜圖形的處理：

例：求A點的轉角和C點的

豎向位移。

解：（1）求A點的轉角（2）求C點的豎向位移

圖

圖

圖ABCDEIEI2EIPLLL/2解：1.作MP圖、PPLMP圖1L；2.圖乘計算。△Ay=（↓）∑EIyC=EI1(2L?L2PL(L?4=16EIPL2)-2EI123L)PL求A點豎向位移§11-6線彈性體的互等定理

本節介紹線性變形體系的三個互等定理，其中最基本的是功的互等定理，其它兩個定理均可由此推導出來。一、功的互等定理

設有兩組外力FP1和FP2分別作用于同一線彈性結構上，如圖所示，(a)、(b)分別稱為結構的第一狀態和第二狀態。(a)第一狀態(b)第二狀態FP11

2

Δ11Δ21FP21

2

Δ12Δ22

這兩組力按不同次序先后作用于同一結構上時所作的總功分別為：(1)先加FP1后加FP2，外力的總功(2)先加FP2后加FP1，外力的總功(a)第一狀態(b)第二狀態1

2

Δ11Δ211

2

Δ12Δ22FP1FP2§11-6線彈性體的互等定理功的互等定理:

即第一狀態的外力在第二狀態的位移上所作的虛功，等于第二狀態的外力在第一狀態的位移上所作的虛功。∵外力所作總功與加載次序無關，即：W1=W2

∴由1、2可得：§11-6線彈性體的互等定理二、位移互等定理在功的互等定理中，令：FP1=FP2=1

由功的互等定理式（a）則有：即：(a)第一狀態(b)第二狀態FP1＝1

1

2

δ21FP2＝1

1

2

δ12§11-6線彈性體的互等定理位移互等定理:

即第二個單位力所引起的第一個單位力作用點沿其方向上的位移，等于第一個單位力所引起的第二個單位力作用點沿其方向上的位移。在位移互等定理中：單位力——廣義力（單位力偶、單位集中力）；位移——廣義位移（線位移、角位移）。§11-6線彈性體的互等定理(a)第一狀態1

2

r21Δ1＝1

(b)第二狀態1

2

r12Δ2＝1

左圖分別表示二種狀態，即支座1發生單位位移Δ1＝1時，使支座2產生的反力r21；另一種即為支座2發生單位位移Δ2＝1時，使支座1產生的反力r12。三、反力互等定理反力互等定理也是功的互等定理的一個特例。§11-6線彈性體的互等定理根據功的互等定理有：反力互等定理:

即支座1發生單位位移所引起支座2的反力，等于支座2發生單位位移所引起的支座1的反力。(a)第一狀態1

2

r21Δ1＝1

(b)第二狀態1

2

r12Δ2＝1§11-6線彈性體的互等定理

注意：該定理對結構上任何兩支座都適用，但應注意反力與位移在作功的關系上應相對應，即力對應線位移；力偶對應角位移。由反力互等定理，則有：

r12=r21

(a)第一狀態(b)第二狀態

r211

2

φ1＝11

2

r12Δ2＝1即反力偶r12等于反力r21（數值上相等，量綱不同）§11-6線彈性體的互等定理一、梁的剛度校核

除滿足強度條件外，梁的位移也需加以控制，從而保證其正常工作。

在土建工程中，通常對梁的撓度加以控制，例如：梁的剛度條件為：§11-6結構的剛度校核通常情況下，強度條件滿足，剛度條件一般也滿足。

但是，當位移限制很嚴，或按強度條件所選截面過于單薄時，剛度條件也起控制作用。§11-6結構的剛度校核M例

一簡支梁受載如圖示，已知許用應力[σ]＝160MPa，許用撓度[δ]=l/500，彈性模量E=200GPa，試選擇工字鋼型號。

解：1、作出梁的彎矩圖2、根據彎曲正應力強度條件，要求F=35kN2mAB2ml=4m3、梁的剛度條件為：由此得

由型鋼表中查得，NO.22a工字鋼的抗彎截面系數Wz＝3.09xl0-4m3，慣性矩Iz=3.40x10-5m4，可見．選擇NO.22a工字鋼作梁將同時滿足強度和剛度要求。MF=35kN2mAB2ml=4m例

一簡支梁受載如圖示，已知許用應力[σ]＝160MPa，許用撓度[δ]=l/500，彈