《現代設計方法》Ⅱ課程內容

第一章現代設計方法簡介

第二章優化設計概論

第三章典型優化設計方法第四章有限元法概述第五章平面問題有限元法基礎理論第六章Matlab

優化工具箱和ANSYS軟件第一章現代設計方法簡介現代設計方法:隨著當代科學技術的飛速發展和計算機技術的廣泛

應用而在涉及領域發展起來的一門新興的多元交叉

學科。它是以設計產品為目標的一個總的知識群體

的總稱。第一章現代設計方法簡介優化設計可靠性設計計算機輔助設計虛擬設計疲勞設計相似性設計現代設計方法內容主要包括：模塊化設計反求工程設計動態設計有限元法并行設計工業藝術造型設計第一章現代設計方法簡介第二章優化設計概論

第一節優化設計概述人工試湊和定性分析的比較過程，被動的重復分析產品的性能——經驗設計、近似計算、一般的安全壽命可行設計。傳統設計方法:

基于手工勞動或簡易計算工

具。方法低效，一般只能獲

得一個可行的設計方案。傳統機械設計理論與方法包

括疲勞壽命理論、強度理論、動力學理論

常憑經驗、試算、校核等方法。優化設計與傳統設計的比較利用計算機程序主動設計產品參數，獲得最優方案——理論設計、精確計算、優化設計第一節優化設計概述現代優化方法：

基于計算機的應用，設計過程包括：①從實際問題中抽象出數學模型；②選擇合適的優化方法求解數學模型。

特點：以人機配合或自動搜索方式進

行，能從“所有的”的可行方案中找

出“最優的”的設計方案。第一節優化設計概述來源：優化一語來自英文Optimization，其本意是尋優的

過程。優化過程：是尋找約束空間下給定函數取極大值或極小

值的過程。例如,在右圖中，求得一維函數f(x)最小值的條件為：若ｘ取x0，則f(x)取得最小值f(x0)。機械優化設計概念第一節優化設計概述機械優化設計：是使某項機械設計在規定的各種設計限制條件下，優選設計參數，使某項或幾項設計指標獲得最優值。最優化理論最優化是從所有可能的方案中選擇最合理的一種方案,以達到最佳目標的科學.達到最佳目標的方案是最優方案,尋找最優方案的方法----最優化方法(算法)

。把機械設計與優化設計理論及方法相結合，借助計算機，自動尋找實現預期目標的最優設計方案和最佳設計參數。優化設計：最優化原理與方法，在科學、工程和社會的實際問題中的應用，即為優化設計。優化設計可以使一項設計在一定的技術和物質條件下，尋求一個技術經濟指標最佳的設計方案。機械優化設計的歷史及發展1、古典優化思想:17世紀，利用微分學和變分學的解析解法?！?/p>

僅能解決簡單的極值問題3、現代優化設計：

20世紀80年代出現許多現代優化算法：模擬退火算法、遺傳算法、人工神經網絡算法、蟻群優化算法等。

從狹義優化設計（零部件參數）轉向廣義優化設計（面向產品的全系統、設計全過程、全壽命周期）。例如,針對涉及多領域復雜系統的多學科設計優化。線性規劃、非線性規劃、幾何規劃、動態規劃和混合離散規劃等。優化設計從無約束→有約束優化問題；連續變量→離散變量；確定型→隨機型模型；單目標優化→多目標優化。第一節優化設計概述2、經典優化方法：20世紀40年代，數學規劃方法

——可求解包

含等式約束和不等式約束的復雜優化問題。最優化方法用于機械設計是從二十世紀六十年代開始的,第一節優化設計概述早的成果主要反映在機構的優化設計方面,現已廣泛用于機械，零部件設計和機械系統的優化設計.機構運動參數的優化設計是機械優化設計中發展較早的領域，連桿機構、凸輪機構等再現函數和軌跡的優化設計問題。機構動力學優化設計主要研究了慣性力最優平衡，主動件力矩最小波動等的問題。機械零部件優化設計主要研究了各種減速器的優化設計、液壓軸承和滾動軸承的優化設計以及軸、彈簧、制動器等的結構優化。結構優化設計優化從層次上可分為：拓撲優化、形狀優化和尺寸優化，它們分別對應著產品設計過程中的概念設計、基本設計和詳細設計階段。第一節優化設計概述尺寸優化形狀優化拓撲優化應用案例美國BELL飛機公司利用優化方法解決450個設計變量的大型結構優化問題。一個機翼質量減輕35%。利用一化工優化系統，對一化工廠進行設計。根據給定數據，在16小時內，進行16000個可行性設計的選擇，從中選擇一成本最低、產量最大的方案，并給出必須的精確數據。傳統設計：一組工程師，一年時間，僅僅3個方案，且并非最優。波音公司，在747的機身設計中收到了減輕質量、縮短生產周期、降低成本的效果。武漢鋼鐵公司從德國引進的1700薄板軋機，經該公司自主優化后，就多盈利幾百萬馬克。第一節優化設計概述1。把實際問題進行數學描述,建立一組數學表達式，稱數學模型2。尋找一種數值計算方法和相應的計算機程序3。求解工程最優化問題的求解的三個步驟：

現用薄板制造一體積為100m3，長度不小于5m的無上蓋的立方體貨箱，要求該貨箱的鋼板耗費量最少，試確定貨箱的長、寬、高尺寸。

分析：（1）目標：用料最少，即貨箱的表面積最小。（2）設計參數確定：長

x1

、寬

x2、高

x3；（3）設計約束條件：

（a）體積要求

（b）長度要求貨箱的優化設計2.1

引例第二節優化設計數學模型數學模型設計參數：設計目標：約束條件：第二節優化設計數學模型已知：傳動比

i，轉速

n，傳動功率

P，大小齒輪的材料，設計該齒輪副，使其重量最輕。（1）目標：圓柱齒輪的體積V或重量w最小；（2）設計參數確定：模數m、齒寬b、齒數z1（3）設計約束條件：

（a）大、小齒輪滿足彎曲強度要求；

（b）齒輪副滿足接觸疲勞強度要求；

（c）齒寬系數要求；

（d）最小齒數要求分析：齒輪傳動優化設計第二節優化設計數學模型數學模型設計參數：設計目標：約束條件：齒寬系數第二節優化設計數學模型

優化設計的數學模型是描述實際優化問題的設計內容、變量關系、有關設計條件和意圖的數學表達式，它反映了物理現象各主要因素的內在聯系，是進行優化設計的基礎。優化設計數學模型的三大要素：

設計變量

約束條件

目標函數2.2優化設計問題的數學模型第二節優化設計數學模型優化設計的數學模型由設計變量、目標函數和約束條件三部分組成，其一般形式如下：數學模型的一般形式求設計變量：x1,x2,…xn其中：

稱不等式約束條件，簡稱不等式約束；使目標函數極小化:滿足約束條件:稱等式約束條件，簡稱等式約束。第二節優化設計數學模型數學模型可寫為向量形式：s.t.表示滿足于用表示設計變量min表示極小化引例1的一般形式為：第二節優化設計數學模型齒寬系數引例2的一般形式為：第二節優化設計數學模型建立優化設計問題數學模型的步驟：根據設計要求，應用專業范圍內的現行理論和經驗等，

對優化對象進行分析；對結構的參數進行分析，以確定設計的原始參數、設計

常數和設計變量；根據設計要求，確定并構造目標函數和相應的約束條件；對數學模型進行規范化處理。第二節優化設計數學模型1.設計變量

在設計過程中進行選擇并最終必須確定的各項獨立的基本參數，稱作設計變量，又叫做優化參數。在優化設計過程中設計變量是不斷修改、調整，一直處于變化狀態。2.3

數學模型的組成

一個設計方案可以用一組基本參數的數值來表示，這些基本參數可以是：構件幾何量（如尺寸、位置等），物理量（如質量、頻率等），應力、變形等表示工作性能的導出量，非物理量（如壽命、成本等）。第二節優化設計數學模型

設計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示。設計變量的數目稱為優化設計的維數，如n個設計變量，則稱為n維設計問題。其中任一個特定的向量都可以稱為一個“設計”。

設計變量所組成的設計空間（a）二維設計問題（b）三維設計問題第二節優化設計數學模型當設計點連續時,

為直線;

為平面;

為立體空間;為超越空間.

設計空間的維數表征設計的自由度，設計變量愈多，則設計的自由度愈大，可供選擇的方案愈多，設計愈靈活，但難度亦愈大，求解亦愈復雜。由n個設計變量為坐標所組成的實空間稱作設計空間。記作目前已能解決200個設計變量的大型最優化設計問題。

小型設計問題：2~10個設計變量；

中性設計問題：10~50個設計變量；

大型設計問題：50個以上的設計變量。最優化問題的目的：在設計空間中無窮多個設計點中，找到一個既滿足所有約束條件，又使目標函數取得極小值的點，稱最優點。它所代表的解稱最優解。第二節優化設計數學模型如何選定設計變量？

抓主要，舍次要

對產品性能和結構影響大的參數可取為設計變量，影響小的可先根據經驗取為試探性的常量，有的甚至不考慮；任何一項產品，是眾多設計變量標志結構尺寸的綜合體。變量越多，越可以詳細地描述產品結構，但會增加建模的難度和造成優化規模過大。所以選擇設計變量時應注意以下幾點：根據要解決的設計問題的特殊性來選擇設計

變量。第二節優化設計數學模型2、約束條件

根據約束性質：約束分類：

一個可行設計必須滿足某些設計限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。

設計空間是所有設計方案的集合，但這些設計方案有些是工程上不能接受的。如一個設計滿足所有對它提出的要求，就稱為可行設計。

性能約束——針對性能要求而提出的限制條件。如選擇某些結構必須滿足受力的強度、剛度或穩定性要求等；側面約束（邊界約束）——針對設計變量的取值范圍加以限制的約束。如允許機床主軸選擇的尺寸范圍，對軸段長度的限定范圍等。第二節優化設計數學模型

顯式約束和隱式約束約束函數有的可以表示成顯式形式，即反映設計變量之間明顯的函數關系，有的只能表示成隱式形式，如復雜結構中的性能約束函數（變形、應力、頻率等），需要通過有限元等方法計算求得。

根據數學表達式的形式：等式約束：

不等式約束：第二節優化設計數學模型可行域：凡滿足所有約束條件的設計點，它在設計空間的活動范圍。（對應不可行域）

如右下圖所示滿足兩項約束條件的二維設計問題的可行域D為ABC涵蓋區域，包括線段AC和圓弧ABC在內。約束條件：第二節優化設計數學模型一般情況下，設計可行域可表示為：

不可行域:

可行點和不可行點

D內的設計點為可行點,

否則為不可行點（外點）。

邊界點與內點

約束邊界上的可行點為邊界點,其余可行點為內點。

起作用的約束與不起作用的約束

滿足

的約束為起作用約束,否則為不起作用的約束.(等式約束一定是起作用約束)第二節優化設計數學模型

為了對設計進行定量評價，必須構造包含設計變量的評價函數，它是優化的目標，稱為目標函數。用它可以評價設計方案的好壞，所以它又被稱作評價函數。記作：

在優化過程中，通過設計變量的不斷向

f(X)

值改善的方向自動調整，最后求得的

f(X)

最好或最滿意的

X值。通常:3、目標函數在構造目標函數時，應注意:

目標函數必須包含全部設計變量；

在機械設計中，可作為參考目標函數的有：最小體積，最輕重量，最高效率，最大承載能力，最小振幅或噪聲，最小成本，最高利潤等等。第二節優化設計數學模型

在實際工程設計問題中，常常會遇到在多目標的某些目標之間存在矛盾的情況，這就要求設計者正確處理各目標函數之間的關系。目前處理多目標設計問題常用的方法是組合成一個復合的目標函數，如采用線性加權的形式，即單目標函數多目標函數在最優化設計問題中，可以只有一個目標函數在同一設計中要提出多個目標函數在一般的機械最優化設計中，多目標函數的情況較多。目標函數愈多，設計的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復雜。加權因子第二節優化設計數學模型目標函數的等值線（面）

c

為一系列常數，代表一族

n

維超曲面。如在二維設計空間中，f（x1，x2）=c

代表x1，x2設計平面上的一族曲線。令目標函數f(X)等于任意常數c由此得到的圖形稱為目標函數的等值線或等值面,即具有相等目標函數值的設計點構成的平面曲線或曲面。

目標函數是

n

維變量的函數，它的函數圖形只能在

n+1維空間中描述出來。為了在

n

維設計空間中反映目標函數的變化情況，常采用目標函數等值線（面）的方法。

最優化設計的目標函數通常為求目標函數的最小值。若目標函數的最優點為可行域中的最大值，則可以看成是

[

-f(X)]

的最小值，當然也可看成是求

1/f(X)

的極小值。第二節優化設計數學模型無約束優化問題數學模型的一般形式：約束優化問題數學模型的一般形式：4、優化問題數學模型的一般形式優化問題的本質是求極值的數學問題。從理論上可以有解析法，即應用極值理論求解，但由于實際優化數學模型的目標函數及約束函數往往是非線性的，解析法求解非常困難，甚至無法實現。數值計算法可以較好地解決這類問題。第二節優化設計數學模型優化問題基本解法解析法

根據函數極值的必要條件和充分條件求得其最優解析解的求解方法，適用于目標函數比較簡單的情況。圖解法對簡單的低維問題，可以用作圖法，得到近似最優點。數值法最優化問題基本解法又稱為數值迭代方法。數值計算的迭代方法是從目標函數出發，構造一種使目標函數值逐次

下降的數值計算方法；利用計算機進行反復迭代運算，一步步搜索、調優逐步逼近函數極值

點或最優點，所得到的解即一定精度下的近似解。第二節優化設計數學模型解析法圖解法數值法原理用數學方法（微分，變分等）直接求求數學方程的極值作目標函數和約束函數圖形后找極值點反復迭代，逐步逼近優點精度高簡單直觀適用于復雜的和無法用方程描述的優化問題缺點計算量大，費時手工作圖，精度較低近似計算，精度受影響適用范圍易于求導的低維數優化問題2維以下的優化問題各種復雜的優化問題第二節優化設計數學模型2.4數值迭代計算數值迭代法的基本思路：搜索、迭代、逼近

如下圖所示，按照某一迭代算式，從任意一個初始點

X0

開始，按某一遞推的格式產生出如下點列：X0

，X1

，X2，…，Xk，Xk+1

，…若對應的函數值有如下的關系：必有：則構成此點列的算式和遞推迭代格式就成為一種下降迭代算法。第二節優化設計數學模型下降迭代算法的基本格式上述點的產生一般采用如下迭代算式用以求最優步長因子的數值算法稱一維搜索法稱最優步長因子其中:稱搜索方向第二節優化設計數學模型下降迭代算法的基本迭代格式可歸納如下:Step3:確定最優步長因子，計算得到新的迭代點；Step1:給定初始點和收斂精度，并置計數單元；Step2:選取搜索方向；Step4:終止判斷：若點滿足收斂精度，則以它為最優點，輸出：并終止迭代；否則，以它作為新的起點，即令轉Step2進行下一輪迭代。第二節優化設計數學模型下降迭代算法的計算框圖如下：不難看出，要構成一個下降迭代算法必須解決以下問題：給定適當的終止

判斷準則。初始點選擇合適的搜索

方向。確定最優步長

因子。第二節優化設計數學模型終止準則（1）點距準則迭代點向極小點的逼近速度是逐漸變慢的，越接近極小點，相鄰迭代點間的距離越近。當時：令，輸出和,終止迭代。一般取收斂精度。第二節優化設計數學模型（2）值差準則在迭代點向極小點逼近的過程中，不僅相鄰迭代點間的距離逐漸縮短，它們的函數值也越來越接近。因此，也可將相鄰迭代點的函數值之差作為判斷近似最優解的準則，這就是值差準則。即如果有:或令，輸出和,終止迭代。第二節優化設計數學模型（3）梯度準則多元函數在某點取得極值的必要條件是函數在該點的梯度等于零。由此構成如下梯度終止準則。令，輸出和,終止迭代。

上述準則都在一定程度上反映了逼近最優點的程度，但都有一定的局限性。在實際應用中，可取其中一種或多種同時滿足來進行判定。采用哪種收斂準則，可視具體問題而定。第二節優化設計數學模型數值法求解優化問題具體解法無約束優化問題：約束優化問題：隨機方向搜索法復合形法可行方向法

懲罰函數法模擬退火法遺傳算法（GA）模糊優化法神經網絡優化多目標優化問題：一維搜索法梯度法

共軛梯度法牛頓法變尺度法坐標輪換法

單純形法鮑威爾法統一目標函數法主要目標函數法功效系數法第二節優化設計數學模型第三章典型優化設計方法導數法：利用梯度和二階導數構造搜索方向如梯度法、牛頓法、

變尺度法、共軛梯度法等求解無約束優化問題minf（X）的數值迭代解法，稱為無約束優化方法。方法的基本問題是：選擇搜索方向不同的搜索方向，構成不同的無約束優化算法。方法分：導數法和模式法兩類模式法：利用某些點上的函數值構造搜索方向如坐標輪換法、鮑威爾法、單純形法等第一節無約束優化問題設計方法無約束優化問題的流程圖開始給定x和S的初始值計算使f（x+S）極小xx+S結束形成新的S滿足收斂條件？

由于和S的形成和確定方法不同派生出不同的無約束優化方法。

無約束優化問題的解法是研究有約束優化問題的基礎，也是優化方法的基礎。有些實際問題，其數學模型

本身就是無約束優化問題，

或者除了在非常接近極小點

的情況下，都可以按無約束

問題來處理。通過熟悉無約束優化問題的

解法，可以為研究約束優化

問題打下良好的基礎。約束優化問題的求解往往可

以通過一系列無約束優化方

法來實現。第一節無約束優化問題設計方法YN第一節無約束優化問題設計方法3.1

一維搜索法在優化設計的迭代運算中，在搜索方向

上尋求最優步長的方法稱一維搜索法。一維搜索法是非線性優化方法的基本算法，一維搜索法就是一元函數極小值的數值迭代算法；

多維目標函數的迭代算法都可以歸結為在一系列逐步產生的下

降方向上的一維搜索。多維目標函數的極值若出發點及搜索方向已確定，則從出發，沿方向搜索新點的迭代格式為為步長因子選擇一特定步長，使產生的新點是方向上目標函數的極小點，即:則稱為方向上的最優步長因子。

第一節無約束優化問題設計方法確定初始區間

確定單變量函數極小點所在的初始搜索區間

，該區間是單谷區間。對于單變量函數，其單谷區間用[a,b]表示，其中a<b

。單谷區間特征：函數在區間內只有一個極小點。在極小點左邊的函數值應是嚴

格下降，在極小點右邊的函數

值應是嚴格上升，單谷區間內的函數值具有的特

征是：“高—低—高”。第一節無約束優化問題設計方法進退法確定搜索區間若:，則極小值點在

的右邊，保持搜索方向，稱正向搜索外推法；令：比較：，函數值的大小Step1:確定搜索方向若:，則極小值點在

的左邊，掉轉搜索方向，稱反向搜索外推法。正向搜索外推法（前進運算）反向搜索外推法（后退運算）Step2:小步試探令：比較：，函數值的大小若:，則區間為：注意:對反向搜索，在小步試探前自變量函數值沿前進方向換名，區間為：。第一節無約束優化問題設計方法正向搜索外推法（前進運算）反向搜索外推法（后退運算）Step3:大步長搜索若:，步長增加一倍繼續搜索起始點和中間點向搜索方向移動一步后，令：比較：，函數值的大小若:，則正向搜索區間為：反向搜索，區間為：。否則，加倍步長繼續搜索，直至函數值出現“高-低-高”為止。第一節無約束優化問題設計方法進退法確定搜索區間流程圖在得到初始區間以后，通過某種算法，不斷縮小包含極小點的區間，就可得到一維極小點。

縮小區間的方法，即一維搜索法。試探法插值法黃金分割法裴法納契法(Fibonacci)二次插值法三次插值法一維搜索法第一節無約束優化問題設計方法

黃金分割法1.基本思想將區間按一定的比例縮小，且正常迭代時每縮短一次區間只需計算一次函數值。適用于單谷函數求極小值，且函數可以不連續的。選點的原則：對稱－對稱在區間[a，b]內的兩個對稱點可由以下公式產生：x1=a+（1－λ）(b－a）x2=a+λ(b－a)其中：λ為比例系數(0<λ<1)第一節無約束優化問題設計方法若初始區間為[a,b]，縮小一次后的新區間為[a,x2]。區間收縮率表示每次縮小所得到的新區間長度與縮小前舊區間長度之比區間收縮率即為，且每次分割保持不變。若使一次分割時的X1點與二次分割時的X2點在同一位置，則：即：解得：黃金分割法第一節無約束優化問題設計方法黃金分割法以區間長度是否充分小作為終止準則，并以收斂時區間的中間點作為一維搜索的極小點，即當b-a≤ε時，取x*=(a+b)/22.區間取舍通過比較搜索區間內兩試點的函數值，逐步縮短搜索區間，得到一

個不斷縮小的區間序列，逐步縮短搜索區間過程中保證極小點不會被舍棄；消去左邊區間消去右邊區間3.終止準則第一節無約束優化問題設計方法黃金分割法的算法框圖:

第一節無約束優化問題設計方法二次插值法基本思想：用三點二次插值多項式來逼近原函數。取點的方法：二次插值函數的極小點第一次迭代第二次迭代第一節無約束優化問題設計方法利用區間消去法原理將初始搜索區間不斷縮短，從而求得極小點的數值近似解。優化設計的數學基礎（一）

函數的方向導數

一個二元函數，在點

處沿某一方向的方向導數

(即變化率)

可定義如下：

二元函數，在點處的偏導數（即沿坐標軸方向的變化率，或稱坐標軸方向的方向導數）如下：優化設計的數學基礎（一）

方向導數與偏導數之間的數量關系二元函數三元函數優化設計的數學基礎（一）n元函數式中，為S方向與坐標軸方向xi夾角的余弦。優化設計的數學基礎（一）

函數的梯度

函數F(X)在某點

X

的方向導數表明函數沿某一方向S的變化率。一般說來，函數在某一確定點沿不同方向的變化率是不同的。函數F(X)在點X處的梯度▽F(X),可記作gradF(X)方向S的單位向量

為求得函數在某點X方向導數為最大的方向，引入梯度的概念。

以二元函數為例:優化設計的數學基礎（一）的梯度:n元函數優化設計的數學基礎（一）梯度▽F(X)是一個向量，梯度方向是函數具有最大變化率的方向（方向導數最大的方向），梯度的模就是函數變化率的最大值。即：分析:

函數F(X)沿S方向的方向導數等于向量▽F(X)在

S

方向上的投影。

當

，即S與▽F(X)方向相同時，向量▽F(X)在S方向上的投影最大，其值為:說明：

梯度▽F(X)方向是函數F(X)的最速上升方向；負梯度-▽F(X)方向是函數F(X)的最速下降方向。優化設計的數學基礎（一）第三節無約束優化問題設計方法3.2

梯度法設想從某點出發，其搜索方向取該點的負梯度方向，使函數值在該點附近下降最快。這種方法也稱為最速下降法。數學基礎基本原理梯度法的迭代公式為：

X(k+1)=X(k)-(k)g(k)g(k)

函數F(X)在迭代點X(k)處的梯度F(X(k))

(k)一般采用一維搜索的最優步長即F(X(k+1))=F(X(k)-(k)g(k))=minF(X(k)-(k)g(k))=min()或(g(k+1))Tg(k)=0

’()=-(F(X(k)-(k)g(k)))T

g(k)

=0即（

f(x(k+1)))Tg(k)

=0相鄰的兩個迭代點的梯度是彼此正交的。根據極值的必要條件和復合函數的求導公式，有:相鄰的搜索方向相互垂直向極小點的逼近路徑是一條曲折

的鋸齒形路線，而且越接近極小點，前進速度越慢。離極小點較遠時，一次迭代得到的函數下降量較大。許多收斂性較好的算法，第一步迭代都采用梯度法。梯度法特點：迭代終止條件采用梯度準則：

||g(k)||第三節無約束優化問題設計方法迭代步驟（1）給定初始點X0

和收斂精度

ε，置k=0；（2）計算梯度，并構造搜索方向(歸一化)（3）一維搜索，求新的迭代點（4）收斂判斷：若滿足則令X*=X(k+1)，F(X*)=F(X(k+1))終止計算；否則，令k=k+1，轉（2）繼續迭代。第三節無約束優化問題設計方法第三節無約束優化問題設計方法第三節無約束優化問題設計方法（2）第一個迭代點為解（1）求初始點的負梯度例3.1：已知目標函數：設初始點為X(0）=(1,1),,用梯度法求極小值。轉化為求一維尋優的問題，求導：新的迭代點：最佳步長第三節無約束優化問題設計方法（3）求X(1)的梯度（4）求第二個迭代點X(2)因，繼續迭代。第三節無約束優化問題設計方法以X(2)為起點繼續求X（3)

，此問題的最優解為:因，可知也不是極值點，還應繼續迭代。第三節無約束優化問題設計方法解得：第三節無約束優化問題設計方法3.3

坐標輪換法算法特點：1）編程簡單，容易掌握；2）收斂速度通常較低，僅適于低維

的情況。搜索過程基本思想：每次搜索只允許一個變量變化，其余變量保持不變，也可稱為變量輪換法。收斂效果與目標函數等值線有關(1)等值線為橢圓,且長短軸分別平行于坐標軸時--高效(3)等值線為如圖脊線時--無效(2)長短軸不平等于坐標軸--低效第三節無約束優化問題設計方法

第二輪迭代。。。依次類推，不斷迭代，目標函數值不斷下降，最后逼近該目標函數的最優點。坐標輪換法迭代步驟：沿第一坐標軸的方向e1作一維搜索，用一維優化方

法確定最優步長11

;計算第一輪的第一個迭代點X11=X01+11

e1

；以X11為新起點，沿第二坐標軸的方向e2作一維搜索，

確定步長21

，計算第一輪的第二個迭代點X21=X11+21

e2任取一初始點X0作為第一輪的始點X01;第三節無約束優化問題設計方法終止準則注意：若采用點距準則或函數值準則，其中采用的點應該是一輪迭代的始點和終點，而不是某搜索方向的前后迭代點?？梢圆捎命c距準則或者其它準則。第三節無約束優化問題設計方法坐標輪換法的流程圖入口給定：x0，K=1i=1Xik=x0沿ei方向一維搜索求ixik=xi-1k+

ikeix=xkf=f(x)i=n?||xnk-x0k||?x*=xf*=f(x*)出口i=i+1x0=x0kk=k+1NYNY第三節無約束優化問題設計方法設：初始點x0=(0,0),精度為，試用坐標輪換法求極小值例3.2：目標函數：第三節無約束優化問題設計方法第三節無約束優化問題設計方法第三節無約束優化問題設計方法第三節無約束優化問題設計方法

一般工程實際優化問題絕大多數屬于約束非線性規劃問題，其一般數學模型如下：求解上述問題的方法稱為約束優化方法。第四節約束問題優化設計方法根據約束條件處理方法的不同，約束優化方法可分為以下類型：

直接法直接從可行域中尋找它的約束最優解。常用方法:約束坐標輪換法,約束隨機方向法,復合形法,

可行方向法,線性逼近法等.特點：優點：算法簡單、直觀性強、對函數無特殊要求。缺點：計算量大、收斂慢，因而效率低。適用場合：維數低、函數復雜、精度要求不高的問題。

間接法

把約束條件引入目標函數，使約束優化問題轉化為無約束優

化問題求解的算法。如：

常用方法:罰函數法,拉格朗日乘子法等.第四節約束問題優化設計方法4.1隨機方向搜索法約束隨機方向搜索法是解決小型約束最優化問題的一種常用的直接求解方法。搜索方向---采用隨機產生的方向①若該方向不適用、可行，則試另一方向；②若該方向適用、可行，則以定步長前進；基本思路③若在某處產生的方向足夠多，仍無一適用、可行，則采用收縮步長；④若步長小于預先給定的誤差限則終止迭代。第四節約束問題優化設計方法

隨機方向的實現1、隨機方向的產生需要在(0,1)和(-1,1)區間內均勻分布的隨機數，其步驟如下：

1)用RND(X)產生n個隨機數3).構成隨機方向2).將(0,1)中的隨機數變換到(-1,1)中去;第四節約束問題優化設計方法2、初始點的選擇初始點必須位于可行域內，即要滿足全部不等式約束，其方法有：1)通過判別直接給定，但對于復雜問題有一定的難度；2)利用隨機函數的方法來選擇。第四節約束問題優化設計方法隨機選定初始點，它的各維分量取值范圍式中，和是n維設計變量的上限和下限，即初始點各維分量是在區間(0,1)內均勻分布的隨機數列。判斷是否在可行域內3、生成可行搜索方向即在隨機方向中選擇一個目標函數值下降最快的方向，當點滿足：則可行搜索方向為4、搜索步長采用加速步長法，即依次迭代的步長按一定的比例遞增，即第四節約束問題優化設計方法第四節約束問題優化設計方法5、收斂條件若前后函數值之差與可行點的范數均小于給定的精度，則收斂適用于求解小型的約束優化問題。

隨機搜索的步驟：選擇可行初始點

;

若收斂條件滿足，迭代終止。否則，轉步驟②。產生

k個n維隨機單位向量；取試驗步長，按計算k

個隨

機點；在k個隨機點中，找出滿足條件的隨機點，產生可行搜索方向

;從初始點出發，沿可行搜索方向d

以步長進行迭代計算，直到搜索一個滿足全部約束條件，且目標函數值不再下降的新點

x

；第四節約束問題優化設計方法第四節約束問題優化設計方法例4.1:二維約束優化問題試用兩個隨機數

構成第

次搜索的隨機方向

，由當前點

出發，按照該方向取步長

計算迭代點，確定該方向的終點

。解：隨機方向和新點:

第四節約束問題優化設計方法適用性檢驗：新點函數值小于舊點函數值，該點適用?？尚行詸z驗：因此，為可行點，其函數值為：

第四節約束問題優化設計方法1.凸集凸函數、凸規劃優化設計的數學基礎（二）優化問題一般要求目標函數在某一區域內的最小點，即有：然而由于函數本身的問題，會出現局部最小點和全局最小點。一個點集(或區域)，如果連接其中任意兩點X1和X2的線段都全部包含在該集合內，就稱該點集為凸集。其數學描述為：若有：且有有：如Y

總在集合D

內，則稱D為凸集。2.凸函數

函數，如果連結其凸集定義域內任意兩點X1

，X2的線段上，函數值小于或等于用及作線性內插所得的值，那么稱為凸函數，用數學描述為：若F(X)為一元函數，可以用右圖表示優化設計的數學基礎（二）3.凸規劃對于約束優化問題若都為凸函數，則稱此問題為凸規劃3)凸規劃的任何局部最優解就是全局最優解。其性質為：1)若給定一點X0，則集合為凸集，即當為二元函數時，其等值線呈現大圈套小圈形式。2)可行域為凸集。優化設計的數學基礎（二）4.最優點性質目標函數Y=G(X)，設計變量X,取值區間[a，b]即優化問題的可行區域D={X∣a≤X≤b}。★1●2★3●1●3★2Y=G(X)abX★3和●3分別為閉區間上設計端點；★2為開區間內極大點（或稱局部極值點或局部最優點）;★1為可行區域D內全局最大點（全局最優點）;●1為開區間內極小點;●2為可行區域D內全局最小點。局部及全局最優點概念最優設計點可分為：局部最優點、全局最優點。優化設計的數學基礎（二）局部及全局最優點性質討論

全局最優點一定也是局部最優點，而局部最優點不一

定是全局最優點。

判斷是否全局、局部最優點的依據和最實用方法是高等數學中的極值原理（開區間上講極值，閉區間上講最值）。

最優化問題常要求解全局最優點，然而由于優化算法本

身結構、優化問題本身的復雜性等原因，很多情況下算

的是局部最優點：

傳統優化算法：如黃金分割法，單純形法、復合形法、最小二

乘法等算的是局部最優點

目前，求解全局最優點的有效方法主要有：遺傳優化法、多個

局部最優點比較綜合法。

新發展的模糊優化法、神經網絡優化法都很難直接求出全局最

優點。優化設計的數學基礎（二）4.2

懲罰函數法——是一種使用廣泛、很有效的間接解法基本思想：第四節約束問題優化設計方法數學基礎用約束條件構造一個制約函數，當約束條件不滿足時，該函數受

到制約，反之當約束條件滿足時，則不受制約；將制約函數加權后，和原目標函數結合形成新目標函數—懲罰函數；將約束問題轉化為一系列無約束問題求解和稱懲罰因子，是一個遞增或遞減的數列，使懲罰項所起的作用越來越小，即：和分別是由不等式約束函數和等式約束函數構成的復合函數，分別稱障礙項和懲罰項。其中稱為懲罰函數；結果：與收斂于同一最優解。障礙項：當迭代點在可行域內時，在迭代過程中阻止迭代點越出邊界。懲罰項：當迭代點在非可行域或不滿足不等式約束條件時，在迭代

過程之中迫使迭代點逼近約束邊界或等式約束曲面。第四節約束問題優化設計方法懲罰函數法又可分為外點法、內點法和混合法?？蛇m用于求解含不等式約束的優化問題。4.2.1內點法基本思想：內點法將新目標函數定義于可行域內，這樣它的初始點及后面的迭代點序列必定在可行域內。對約束優化問題：轉化后的內點懲罰函數可以有如下兩種形式為：式中：r為懲罰因子，即取第四節約束問題優化設計方法倒數形式：對數形式：依次對各個罰函數求極值，所得極小點序列是向約束問題的最優點逼近的。障礙項①懲罰函數的有效區域是約束的可行域，目標函數在可行域內的所

有點都受到懲罰，且愈靠近約束邊界懲罰得愈多；②不同的懲罰因子對應不同的罰函數，懲罰因子愈小，函數的極小點愈接近約束邊界處的最優點；③當懲罰因子趨近于零時，懲罰函數的極小點，就是原約束問題的

最優點。第四節約束問題優化設計方法例4-1用內點處罰函數法求問題約束最優解。解：用內點法求解，首先構造內點

懲罰函數：用解析法對函數求極小值。第四節約束問題優化設計方法求解得不滿足約束條件，舍去。無約束極值點為：31.20.360[1.8230][1.4220][1.1560][10]3.9073.0572.00513.3232.0221.3361第四節約束問題優化設計方法第四節約束問題優化設計方法內點法中的初始點、懲罰因子初值及其縮減系數的選取和收斂條件的確定:1.初始點的選取離約束邊界較遠的可行點。程序設計時，一般，考慮具有人工輸入、和計算機自動生成可行初始點的兩種功能。2.懲罰因子的初值的選取懲罰因子的初值選取應適當，否則會影響迭代計算的正常進行。太大會影響迭代次數，太小會使懲罰函數的形態變壞，難以收斂到極值點。

1）取r0=1，根據試算的結果，再決定增加或減少r0

值。第四節約束問題優化設計方法2）按經驗公式這樣選取的r0

，可以是懲罰函數中的障礙項和原目標函數的值大致相等，不會因障礙項的值太大則其支配作用，也不會因障礙項的值太小而被忽略掉。3.懲罰因子的縮減系數c的選取

在構造序列懲罰函數時，懲罰因子r是一個逐次遞減到0的數列，相鄰兩次迭代的懲罰因子的關系為：第四節約束問題優化設計方法懲罰因子的縮減系數通常的取值范圍：0.1-0.7之間。4.收斂條件第四節約束問題優化設計方法第四節約束問題優化設計方法可適用于求解含不等式約束和等式約束的優化問題。4.2.2外點法基本思想：新目標函數在可行域之外，序列迭代點從可行域之外逐漸逼近約束邊界上的最優點。對約束優化問題：轉化后的外點懲罰函數的形式為：式中：r為懲罰因子，即取第四節約束問題優化設計方法①在可行域內懲罰函數和目標函數是完全重合的，在可行域外懲罰函數的曲線被抬高，且離邊界越遠，曲線被抬高得越多；②懲罰因子越大，懲罰函數被抬高得越多，極小點越靠近約束邊界；③懲罰因子趨于無窮大時，懲罰函數的極小點就是約束問題的最優點。第四節約束問題優化設計方法例6-6用外點法求問題約束最優解。首先構造外點懲罰函數：用解析法求解第四節約束問題優化設計方法求解得0.31.27.5[0.2310][0.60][0.8820][10]0.2310.5520.78510.0530.360.781第四節約束問題優化設計方法第四節約束問題優化設計方法外點法懲罰因子按下式遞增遞增系數，通常取c=5-10。選取的r0

太大則會使懲罰函數等值線偏心或變形，難以取得極小值。但r0太小，勢必增加迭代次數。經驗計算一般取r0=1，c=10常常可以取得滿意的效果。也可以通過經驗公式獲得r0

值第四節約束問題優化設計方法內點法的特點： 1．初始點必須為嚴格內點 2．不適于具有等式約束的數學模型3．迭代過程中各個點均為可行設計方案4．一般收斂較慢5．初始罰因子要選擇得當6．罰因子為遞減，遞減率c有0<c<1。 第四節約束問題優化設計方法外點法的特點：

1．初始點可以任選，但應使各函數有定義2．對等式約束和不等式約束均可適用3．僅最優解為可行設計方案4．一般收斂較快5．初始罰因子要選擇得當6．懲罰因子為遞增，遞增率c有c>1。第四節約束問題優化設計方法第四節約束問題優化設計方法第四節約束問題優化設計方法第四節約束問題優化設計方法第四節約束問題優化設計方法第四節約束問題優化設計方法第四節約束問題優化設計方法第四節約束問題優化設計方法例：用內點法求目標函數f(x)=ax受約束g(x)=b-x<0時的最優解。

構造懲罰函數

求可求出極值點表達式為：懲罰函數值為：r(k)為一遞減序列：0.1，0.01，0.0014.2.2混合法混合法是綜合外點法和內點法的優點建立的一種算法，對不等式約束按內點法建立懲罰項，對等式約束按外點法建立懲罰項，即:稱混合懲罰函數。式中，懲罰因子rk1取正的遞減數列；rk2取正的遞增數列。或:第四節約束問題優化設計方法顯然，當懲罰因子rk

取正的遞減數列并趨近于零時，混合懲罰函數的極小點就是原約束最優化問題的最優解。若將兩個懲罰因子合并，即令：得到只包含一個懲罰因子的混合懲罰函數或第四節約束問題優化設計方法工程實際問題通常有多種評價設計質量好壞的技術經濟指標。稱多目標最優化問題，簡稱多目標問題。以,

,…代表多個目標函數或設計目標，構成的優化設計數學模型：第五章多目標問題優化設計方法多目標問題的解：完全最優解：使各個目標函數都取得極小值的解；劣解：至少使一個目標函數取得最大值的解；有效解：除完全最優解和劣解之外的所有解。有效解之間是不能

直接比較優劣的。無論哪一種方法都只能求得有效解，或相對最優解。多目標最優化方法就是在對各個目標加權量化的基礎上，將不可比問題轉化成可比問題，求得對每一個目標來說都相對最優的有效解。多目標最優化一般都是轉化為單目標求解的。如常用的主要目標法、線性加權法、最大最小法和理想點法等。第五章多目標問題優化設計方法5.1主要目標法將多目標問題，用主要目標法構造的多目標問題如下：在所有技術經濟指標中選出一個最重要的作為設計的目標函數，而將其他的指標分別給定一個可以接受的范圍，轉變為一組約束條件，從而構成一個單目標最優化問題。其中，fi1和fi2分別是第i個目標fi的下限和上限。第五章多目標問題優化設計方法由此求的就是原多目標問題的一個相對最優解。5.2線性加權法由q個目標函數構成綜合評價函數:多目標優化轉化為單目標約束最優化問題：是反映各個分目標重要性的系數，稱權因子。第五章多目標問題優化設計方法一般情況下有如何確定合理的權因子是這一方法的關鍵。多數情況下權因子可以根據經驗直接給出，有時也可按下式計算:其中是以第i

個分目標為目標函數所構成的單目標問題的最優值。第五章多目標問題優化設計方法5.3最大最小法對多目標優化問題采用各個目標中的最大值作為評價函數的函數值來構造新的目標函數。即：評價函數其中：將多目標優化轉為下列單目標優化問題：第五章多目標問題優化設計方法5.4理想點法構造如下單目標優化評價函數：可以證明，此問題的最優解是一個最接近完全最優解的有效解。故稱這種方法為理想點法。的意義與前述相同將多目標優化轉為下列單目標優化問題：第五章多目標問題優化設計方法第六章有限元法第一節有限元法概覽第三節結構離散化第四節單元位移模式第五節單元分析單元剛度矩陣第六節整體分析總體剛度矩陣第七節邊界條件處理

計算成果整理第二節有限元法基本思路第一節有限元法概覽工程問題建模分析過程典型工程問題物理模型計算結果分析驗證修改驗證直接實驗模型相似實驗模型數學模型彈性力學問題熱傳導問題流體力學問題電磁場問題應力場溫度場流速場電磁場邊界條件偏微分方程的邊值問題偏微分方程

典型工程問題的數學描述數學問題！解析法解析解（函數）僅解決某些特殊問題差分法數值解（近似）受邊界形狀限制且精度有限變分法解析解（近似）工程應用受限有限元法數值解+解析解計算機應用目前工程應用最為廣泛的分析方法逆法、半逆法三角級數法復變函數法特殊函數法數學模型的求解偏微分方程的邊值問題求解方法：歷史

1943年數學家Courant

第一次提出了有限元的思想；有限元法是上世紀中期才出現，并得到迅速發展和廣泛應用的一種數值解法1956年JohnTurner

首次將這種方法應用于波音飛機動力學計算；

20世紀60年代后，FEM應用于各種力學問題和非線性問題（Argyris1965年），并得到迅速發展。1960年Clough

提出了FiniteElementMethod的名稱。國內：50年代數學家馮康

“基于變分原理的差分格式”。1970年后，FEM被引入我國，并很快地得到應用和發展。1967年Zienkiewicz

出版《TheFiniteElementMethod》。彈性力學平面問題板殼，空間問題靜力學流體力學，熱力學，電磁學……固體力學動力學，穩定、波動等問題彈性材料彈塑性，粘彈性材料小變形、幾何線性大變形、幾何非線性單一物理場多物理場耦合與CAD無縫集成開放性、二次開發網格處理能力發展數字化產品開發基本流程有限元應用學科領域：結構熱流體,包括CFD(計算流體動力學)電場/靜電電磁電子及器具重型設備及機械MEMS–微機電系統運動產品

有限元應用的部分工業領域:航空航天汽車生物醫學橋梁和建筑應用領域結構分析用于確定結構的變形、應變、應力及反力。靜力分析用于靜力載荷條件可以模擬諸如大變形、大應變、接觸、塑性、超彈、蠕變等非線性行為結構分析動力學分析模態分析

計算固有頻率及振型諧響應分析

確定結構對已知幅值和頻率的正弦載荷的響應瞬態動力學分析

確定結構對隨時間變化載荷的響應，可以包括非線性行為其他結構功能譜分析隨機振動特征值屈曲子結構,子模型疲勞、斷裂力學、復合材料結構分析側重慣性力占主導的大變形模擬用于模擬沖擊、碰撞、跌落、爆炸、快速成型等高度非線性問題結構分析熱分析用于確定物體的溫度分布。其它如熱損失或吸收的熱量，熱梯度、熱通量等也可以獲得?？梢阅M所三種主要的傳熱方式：傳導、對流及輻射穩態時間相關效應可以忽略瞬態確定溫度等時間相關的量可以模擬相變(熔化或凝固)熱分析電磁分析用于計算電磁裝置的電磁場靜態及低頻

電磁場模擬直流電源操作裝置，低頻AC或低頻瞬態信號例如:電機、變壓器等電磁場可分析磁通量密度、場強磁力及磁矩、阻抗、電感、渦流、功率損失及通量泄漏等。機箱內磁場分布機箱漏磁場分布

電磁場分析高頻電磁場模擬裝置的電磁波傳播例如:微波及RFpassive部件,波導,同軸連結器感興趣的量包括S-參數，Q-因子,返回損失，電介質和傳導損失，及電場和磁場螺旋天線

中心截面電場強度圖

中心截面磁場強度

電磁場分析靜電計算電壓或電荷激勵的電場例如:高壓裝置，微機電系統(MEMS),傳輸線典型感興趣的量是電場強度及電容電流傳導計算給定電壓下導體的電流電路耦合電路與電磁裝置的耦合電場強度矢量圖

電場強度分布云圖

同軸電纜中的電場(EFSUM)

電場分析計算流體動力學(CFD)確定流體的流動及溫度分布ANSYS/FLOTRAN可以模擬層流和湍流，可壓和不可壓縮流動及多組份流體應用:航空航天,電子封裝，汽車設計典型量包括速度、壓力、溫度及對流換熱系數流體分析聲學用于模擬流體及其所包圍的固體間的相互作用。例如:揚聲器,汽車interiors,聲納典型量包括壓力分布、位移及固有頻率容器內流體分析用于模擬容器內不流動的流體計算及由于晃動導致的靜水壓力例如:油箱,其他流體容器熱及質量輸運一維單元用于計算兩點間質量輸運產生的熱，如管道。流體分析雙金屬桿由于加熱產生變形耦合場分析考慮兩種或多于兩種場之間的相互作用。每一種場都依賴于另一種場使得不可能對每個場單獨求解，因此需要一個能夠將物理問題綜合在一起考慮計算的程序。例如:熱應力分析壓電分析(電及結構)聲學(流體及結構)熱－電分析導熱(磁和熱)靜電－結構分析由壓電陶瓷產生的機電耦合場（超聲電機原理）耦合場分析拓撲優化10040靜力學拓撲優化:在體積約束下優化結構靜剛度ANSYS拓撲優化計算結果（體積減少50%）拓撲優化動力學拓撲優化:在體積約束下優化低階固有頻率（即提高動剛度）ANSYS拓撲優化計算結果工程實際問題的有限元分析剛度、強度（應用于整車、大小總成與零部件分析）；靜力學分析汽車結構常規有限元分析：疲勞:分析研究多次使用載荷作用下的破壞FatigueSensitivitySafetyFactor工程實際問題的有限元分析輕量化設計；汽車控制臂有限元拓撲優化工程實際問題的有限元分析NVH分析（各種振動、噪聲）；動力學特性分析工程實際問題的有限元分析Noise:20Hz-10000HzVibration:0.5Hz-500HzHarshness:20Hz-200Hz模態分析,頻率響應或諧響應分析,隨機振動分析工程實際問題的有限元分析

機構運動分析；多剛體動力學，剛-柔體動力學工程實際問題的有限元分析車輛碰撞模擬分析；大變形非線線分析，沖擊分析工程實際問題的有限元分析金屬板件沖壓成型模擬分析;接觸非線性，大變形非線性工程實際問題的有限元分析應用軟件用戶分布情況：

ANSYSABQUSLS-DYNAMARCADINAMSC.NASTRANHyperworks非線性動力分析接觸非線性多物理場，通用性好求解器效率高接觸非線性，前后處理弱提供源代碼，二次開發功能強前處理功能強大軟件比較一般結構非線性爆炸與沖擊電磁場聲學（噪聲）滲流多場耦合流體力學溫度場易用性價格二次開發ANSYS540542545555ABAQUS554344335455LS-DYNA125000202251MSC.MARC550330335345MSC.NASTRAN530343235152ADINA550335445345項目軟件第二節有限元法基本思路有限元法基本思路:問題分析結構離散分片近似單元平衡整體平衡方程求解物理模型節點單元位移函數單剛方程總剛方程節點位移

離散化

構造單元內

位移函數；單元位移模式

單元分析；劃分網格，將連續體劃分為有限數量的單元。單元內位移節點位移單元剛度矩陣單元節點力節點位移變分法思想

整體分析；總體剛度矩陣節點位移外載荷靜力平衡

求解；節點位移單元位移模式幾何方程物理方程差分法思想（1）平衡微分方程：（2）幾何方程：（3）物理方程：（4）邊界條件：三組方程+兩組邊界條件偏微分方程邊值問題平面問題彈性力學數學模型位移變分方程虛功方程極小勢能原理應力邊界條件平衡微分方程等價!虛功方程：對單元，外力虛功等于內力虛功。虛功方程矩陣表示第三節結構離散化第二節結構離散化

深梁（離散化結構）

將連續體變換為離散化結構：將連續體劃分為有限多個、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些節點處連接，構成所謂“離散化結構”。單元節點1單元要素節點：單元與單元之間的連接點（i,j,m）。節點位移：節點產生的位移。ijm節點力：通過節點傳遞的內力。節點載荷：作用在節點上的載荷（外力）。單元位移：單元內位移分布（u(x,y),v(x,y)）2單元類型一維單元：如桿單元，梁單元

二維單元：如三角形單元，四邊形單元。

三維單元：如四面體單元，六面體單元，棱柱單元。

3連續體離散化模型

單元間僅通過節點連接，沒有其它聯系；位移，載荷僅通過節點傳遞；單元內依然是連續體，位移是坐標的連續函數。第四節單元位移模式單元位移函數