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揚帆遠航《數學模型》（第三版）P44《數學模型》（第四版）P47揚帆遠航海面上東風勁吹，帆船要從A點駛向正東方的B點。稍有常識的人都知道，為了借助風力，船應該先朝東北方向前進，然后再轉向東南方，才能到達B點。這里要解決的問題是，確定起航時的航向θ（與正東方向的夾角）及帆的朝向α（帆面與航向的夾角）。AB

風向北航向帆船α帆AB

北α

模型分析：帆船在航行過程中既受到風通過帆船對船的推力，又受到風對船體的阻力，需要對這兩種力作合理、簡化分析，找出它們在航向的分力。AB

α

風的推力分解為，其中垂直于帆，平行于帆。又分解為，即為風在航向的推力。風的阻力分解為，其中為風在航向的阻力。

因為和的方向反，所以船受到的凈推力為

模型假設：記帆的迎風面積為，船的迎風面積為。1、風通過帆對船的推力與成正比，風對船體的阻力

與成正比，比例系數相同（記作），且遠大于。2、的分力與帆面平行，可以忽略。3、分力與垂直于船身，可以被船舵抵消，不予考慮。4、航速與凈推力成正比，比例系數記作。模型建立：根據模型假設和力的分解圖，容易得到以下關系記船在正東方向的速度分量為，則AB

α按照流體力學的知識，在航行速度不大的情況下，航速與凈推力成正比。于是航向θ和帆的朝向α的確定，應該使船在正東方向的速度，即凈推力在正東方向的分力達到最大。本題就是要確定θ和α，使船在正東方向的速度達到最大。模型求解：這本來是一個二元函數的極值問題，但是由、知，與無關，首先只需在固定時使最大，解出，然后再求，使最大。用初等數學的辦法即可求解。固定時：積化和差公式所以當時，最大將、代入得由、記、則顯然，時最大。由且遠大于可知結果分析：航向角應該在和之間（具體數值取決于和的比值），帆的朝向角為的一半，這是從A點出發時的航向及帆的

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