笫三章氣體分子統計分布率§1、統計方法簡介§2、麥克斯韋分布律§3、玻耳茲曼分布律§4、能量均分定理§1統計方法簡介2、伽爾頓板實驗:1、擲骰子實驗:A伽爾頓板實驗分布曲線統計規(guī)律是自然界中關于大量偶然事件的普遍規(guī)律。一、統計規(guī)律實驗二、概率及統計規(guī)律2、統計規(guī)律性：一定條件下，系列可能發(fā)生的事件中發(fā)生某一事件的可能性。1、概率：N次實驗,出現Ai的次數Ni大量熱運動分子組成的宏觀物體系統，在一定宏觀條件下系統所處的微觀狀態(tài)都是隨機的，但每個隨機事件出現的概率是一定的，與隨機事件一一對應的任何量的統計平均值也是一定的。歸一化條件物理量的宏觀量P是相應微觀量pi

的統計平均值統計分布的最直接應用就是求平均值。3、概率歸一化4、平均值§2麥克斯韋分布律溫度公式：雖然單個分子的速率取值是偶然的,但大量分子的速率滿足一定的統計規(guī)律。例如溫度T一定時,大量分子的方均根速率是確定的.一、氣體分子速率分布函數

設分子可能的速率值:取速率區(qū)間:第i個速率間隔中的分子數占總分子數的百分比或單個分子速率值落在區(qū)間內的概率。平衡態(tài)時

Ni/N是完全確定的,當v0時,

Ni/(Nv)與v無關,僅是v的連續(xù)函數，即速率分布函數。速率分布函數速率在v

附近的單位速率間隔內的分子數占總分子數的百分比,或某分子速率出現在v

附近的單位速率間隔內的概率.滿足歸一化條件物理意義：性質：形式：速率分布函數是概率密度函數，是單位區(qū)間上概率的大小。速率范圍v1～v2內的分子數占總分子數的比率:與氣體熱運動速率有關的物理量F(v)的平均值為:已知f(v)是速率分布函數,說明以下各式的物理意義：二、麥克斯韋速度分布率麥克斯韋速度分布率表達式為平衡態(tài)氣體分子的速率及速度分布規(guī)律是Maxwell在1859年發(fā)表的論文《氣體動力理論的說明》中給出的。麥克斯韋速度分布率及速率分布率的推導：⑴以dNvx表示速度分量vx在vx+dvx之間的粒子數，用分布函數g(vx)表示在單位vx區(qū)間dvx寬度內出現的概率，則同理有⑵假設三個概率是彼此獨立的，則粒子同時出現在vx~

vx+dvx

，vy~

vy+dvy，vz~vz+dvz間的概率為:式中為速度分布率（3）由于粒子在各方向運動的概率相等，所以速度分布與粒子的速度方向無關，即速度分布函數只是速度大小的函數速度分布率可以寫成要滿足這一關系，函數應具有的形式，分布函數應滿足歸一化條件，所以利用數學積分公式，可得麥克斯韋速度分布率：令A=-1/2,則具有無限大速率的粒子的概率極小，故A應為負值。三、麥克斯韋速率分布率將速度分布率中的換成,得粒子在v到v+dv區(qū)間出現的概率1、速度空間在半徑為v，厚度為dv、體積為

的球殼內，粒子的速率v出現在同一速率區(qū)間dv內的概率相同。由上式可得速率平方的平均值2、確定常數α速率平方的平均值壓強微觀公式麥克斯韋速度分布率及速率分布率表達式為：理想氣體狀態(tài)方程四、麥克斯韋分布律的特征1、適用對象：平衡態(tài)的理想氣體f(vp)0vf(v)vpvv+dv面積=dNNA2、分布曲線面積表示速度在該區(qū)間內的分子數占總數的比率b)曲線隨溫度T變化:f(v)f(vp3)vvp3f(vp1)f(vp2)T1T3T2vp2vp1AT1<T2<T3a)有極大值vp，

一邊無限延伸,最小值為0(v=0時)。曲線的特點:當分子質量相同時,T升高，速率大的分子數增多，A點右下移,分布變平坦。c)曲線隨質量m變化:當溫度相同時,粒子質量越大,大速率分子的數量越少，A點左上移,分布變陡峭.f(v)f(vp3)vvp3f(vp1)f(vp2)m1m3m2vp2vp1Am1>m2>m3例氫氣的溫度是300K.求速率在3000～3010ms–1之間的分子數與速率在1500～1510ms–1之間的分子數之比。解：v～v+Δv區(qū)間內的分子數為：Maxwell速率分布率：五、麥克斯韋速率分布的實驗驗證OD蒸汽源檢測器R抽氣抽氣1955年密勒(Miller)和庫什(P.Kusch)的實驗比較精確地驗證了麥克斯韋速率分布定律。密勒-庫什實驗裝置及演示當園柱體R以角速度ω旋轉時，只有速率v滿足速率選擇條件的原子才能通過細槽。改變ω，對不同速率范圍內的原子射線測其強度，就可驗證麥克斯韋速度分布率速率選擇條件：應用麥克斯韋分布律計算有關問題時常用到的一些廣義函數積分的遞推公式積分積分表1、平衡態(tài)下微觀粒子的三種速率六、麥克斯韋分布律的應用c.方均根速率b.平均速率a.最可幾速率

vp:出現概率最大的速率三種速率在不同的問題中各有自已的應用v02、氣體分子碰壁數與瀉流碰壁數(Γ):單位時間內速度在v～v+dv范圍內碰撞器壁內表面(y-z面)面元dσ的分子數為：單位時間內碰到單位面積容器壁上的分子數.單位時間內同dσ碰撞的各種速度的總分子數ΔN為：利用積分公式得碰壁數：把面元dσ挖掉成一小孔。當小孔很小，以致跑出的氣體分子對容器內氣體平衡狀態(tài)的影響可以忽略，這樣小孔的漏氣現象稱為瀉流.Γ值就是單位時間內泄漏出單位面積小孔的分子數。§3玻耳茲曼分布律一、氣體分子在重力場中按高度的分布重力場中平衡態(tài)理想氣體，即p0pp+dpz+dzz0z考慮z—z+dz段:兩邊積分：p0是z＝0時的壓強。玻爾茲曼分子數密度分布率在登山運動和航空駕駛中常通過測壓強p來估算高度.由等溫氣壓公式

保守力場中粒子按位置的分布率(玻耳茲曼數密度分布率)：在(x,y,z)～(x+dx,y+dy,z+dz)空間內氣體的分子數為：一個分子在(x,y,z)～(x+dx,y+dy,z+dz)的概率為：玻爾茲曼位置分布函數（位置概率密度函數）保守力場中粒子按位置的分布率(玻耳茲曼分布率)：二、麥克斯韋－玻耳茲曼分布（MB分布）而粒子按速度的分布律（麥克斯韋速度分布率）為：經典力學中位置和動量（或速度）互相獨立，因此，粒子按速度的分布和按位置的分布就是互相獨立事件，由獨立事件的概率乘法法則可知，粒子按速度及位置的分布律為：上式稱為麥克斯韋－玻耳茲曼分布律，適用于保守場中的系統。

玻耳茲曼因子§4、能量均分定理

確定運動物體在空間位置所需要的獨立坐標數目.一、自由度雙原子分子：剛性i=5非剛性i=6多原子分子：剛性:i=6非剛性:i3n

氣體分子運動自由度：單原子分子：3個平動自由度,i=3二、能量按自由度均分定理理想氣體的平均平動能為在平衡狀態(tài)下每個平動自由度上的平均動能都等于kT/2能量均分定理：t：平動自由度數；r：轉動自由度數；s：振動自由度數平衡態(tài)時，各個自由度上運動的機會均等且能量均分，任何一種運動都不比另一種運動更占優(yōu)勢。分子的平均總能量在溫度為T的平衡態(tài)下,物質分子的任何一個自由度上均分配有kT/2

的平均熱運動動能。三、理想氣體的內能與熱容1mol理想氣體的內能：mol理想氣體的內能：理想氣體的內能是溫度的單值函數U=U(T)理想氣體定容摩爾熱容：單原子分子氣體雙原子剛性分子氣體例

求在溫度為30℃時氧氣分子的平均平動動能,平均動能,平均能量以及4.010-3kg的氧氣的內能(常溫下可以認為是剛性分子，不考慮振動能)。解:氧分子是雙原子分子，平動自由度t=3，轉動自由度r=2。平均平動動能平均動能平均能量內能例

星體周圍大氣的穩(wěn)定性。試計算氣體在大氣中的逃逸速率與方均根速率之比。其中大氣溫度T=290K,地球質量Me=6.0×1024kg,地球半徑Re=6.4×106m.解:設無窮遠處引力勢能為零,在地球表面附近大氣層中的分子具有引力勢能為：分子逃逸條件：而對于氣體分子，其方均根速率為分子逃逸速率故兩速率之比:氣體種類氫氣氦氣氮氣氧氣二氧化碳速率之比5.98.322.123.627.7◆氣體的兩速率比值愈小表明分子愈容易逃脫地球引力場作用空間，這是大氣層中氫氣和氦氣成分遠小于氮氣和氧氣的原因之