測量誤差與數據處理基本知識

現代電子測量（二）本節課主要內容

誤差的定義、來源和表示方法誤差分類及其性質和處理方法測量誤差的傳遞、合成與微小誤差準則測量數據的處理概述

測量誤差與數據處理是一切從事測試工作的人員必須掌握的基礎知識。誤差自始至終存在于一切科學實驗的過程之中。誤差是一種估計測量過程或用于測量的儀器、儀表、計量器具精確度的“尺度”研究誤差的目的

正確分析已取得的測量數據，估計它所含的誤差，判定測量數據的可靠程度幫助測試人員選擇已有的測量設備，正確地組織實驗測量誤差的主要來源裝置誤差由于測量所用的儀器、裝置的設計、結構、制造等方面的不完善，以及設備在安裝、調整等方面存在的缺陷及不理想情況，都會在測量中引入誤差。環境誤差由于外界環境，如溫度、濕度、電磁場、振動等影響而產生的誤差。

測量誤差的主要來源人身誤差由于測量人員的個人因素，如感覺器官的反應靈敏程度、判斷能力、操作的熟練程度等引入的誤差。方法誤差由于測量所依據的理論本身不完善、近似或省略、數據處理時的舍入等引入的誤差。誤差的定義

一個物理量的給出值（測得值）x與該量的真值A0之間的代數差，稱為誤差Δx，即：Δx=x-A0

真值是指在一定的時間及空間條件下，某物理量的真實數值。真值是無法實際得到的。誤差的定義作為真值看待的一些人為規定：理論真值。如：三角形內角和為180o；計量學約定真值（指定值）。國際計量大會所規定的單位值稱為約定真值；標準器相對真值（實際值）。上一級的標準器示值對下一級的標準器來說，可以視為相對真值。在多次測量中，也可以用測得值的算術平均值作為相對真值。修正值C絕對值與Δx相等而符號相反的值C=-ΔxA0=x-Δx=x+C誤差的表示方法

絕對誤差Δx=x-A0

絕對誤差數值的大小表示了誤差的大小，符號表示了誤差的方向，但它不能反映測量的精度。誤差的表示方法

相對誤差實際相對誤差：用絕對誤差與被測量實際值之比來表示的相對誤差。rA=(Δx/A)×100%誤差的表示方法

相對誤差示值（或標稱值）相對誤差：用絕對誤差與儀器的示值（或標稱值）之比來表示的相對誤差。Rx=(Δx/x)×100%誤差的表示方法

相對誤差滿度（或稱引用）相對誤差：用絕對誤差與儀器的滿度值xm之比來表示的相對誤差。Rm=(Δx/xm)×100%

誤差的表示方法

相對誤差分貝誤差：用分貝表示的相對誤差。對于電壓、電流等參數：rdB=20log(1+Δx/x)

對于功率等參數：rdB=10log(1+Δx/x)

誤差的表示方法

相對誤差相對誤差是一個比值，與測量的單位無關。相對誤差既反映誤差的大小和方向，也反映測量的精度。

誤差分類及其性質和處理方法

系統誤差在一定條件下誤差的數值（包括大小和符號）保持恒定或按某種已知規律變化的誤差。誤差分類及其性質和處理方法

系統誤差恒定系差：誤差的數值在一定條件下保持恒定不變的誤差；變值系差：誤差的數值按某一確切的規律變化的誤差。誤差分類及其性質和處理方法

系統誤差--變值系差累進性系差：在整個測量過程中，誤差的數值在逐漸地增大或減小。周期性系差：在整個測量過程中周期性地改變誤差的大小及符號的系差。誤差分類及其性質和處理方法

系統誤差--變值系差按復雜規律變化的系差：誤差的變化規律很復雜，但在多次測量時具有重復性，可以通過曲線、表格或經驗公式等來表示的誤差。誤差分類及其性質和處理方法

系統誤差的檢驗

檢驗系統誤差的目的是檢查測量中所包含的系統誤差性質，并采取適當方法消除或修正。誤差分類及其性質和處理方法

恒定系差的檢驗通過與高一級的標準儀器測量所得的結果相比較來發現恒定系差，并引入修正量進行修正；利用多臺同類儀器進行比對測量，觀察各測量結果的差異，從而檢驗彼此之間是否存在恒定系差，但該方法不能給出系差的確切值。誤差分類及其性質和處理方法

變值系差的檢驗阿貝—赫梅特檢驗準則阿貝—赫梅特檢驗準則是適用于檢驗在同一測量條件下多次重復測量，即所謂等精度測量值中是否存在周期性變值系差的準則。

誤差分類及其性質和處理方法

變值系差的檢驗——阿貝—赫梅特檢驗準則設一系列等精度測量結果按測量時間先后順序排列為x1，x2….xn，其相應的殘余誤差為γ1,γ2，…，γn，若：則可認為測量中存在著周期性變值系差。誤差分類及其性質和處理方法

變值系差的檢驗——阿貝—赫梅特檢驗準則上式中：n為測量次數為n次測量值的算術平均值σ為測量值的標準偏差γi為第i次測量的殘余誤差（殘差）誤差分類及其性質和處理方法

變值系差的檢驗馬利科夫檢驗準則

馬利科夫檢驗準則適用于檢驗測量值序列中是否含有累進性變值系差。

誤差分類及其性質和處理方法

變值系差的檢驗——馬利科夫檢驗準則

設一系列等精度測量結果按測量時間先后順序排列為x1，x2….xn，其相應的殘余誤差為γ1,γ2，…，γn，如將所有殘差分成前后兩個部分，并求出其差值為：上式中：n為偶數，K=n/2，若n為奇數，K=(n+1)/2，則此時：

誤差分類及其性質和處理方法

變值系差的檢驗——馬利科夫檢驗準則

如果M≈0,則可認為測量中不存在累進性變值系差；

如果M值與0相差很大，且

，則存在累進性系差。

誤差分類及其性質和處理方法

系統誤差的削弱和消除引入修正值對測量結果進行修正，以消除系統誤差；在實驗過程中盡量通過分析比較，找出產生系差的原因，并設法消除這些因素；選用適當的測量方法，削弱或消除系統誤差。誤差分類及其性質和處理方法

隨機誤差隨機誤差是指具有隨機特性的誤差，是測量誤差的主要來源之一，包括隨機噪聲和連接附件的不穩定性。誤差分類及其性質和處理方法

隨機誤差的性質

在測試環境相同的條件下，對各種被測參數進行多次等精度測量時，所得隨機誤差都服從一種普遍意義的統計規律，絕大多數服從正態分布（高斯分布）。隨機誤差具有四個特性，即單峰性、對稱性、有界性和抵償性。

誤差分類及其性質和處理方法

隨機誤差的性質

絕對值小的誤差出現的次數比絕對值大的誤差出現的次數多，稱為單峰性；絕對值相等的正誤差與負誤差出現的次數大致相同，稱為對稱性；絕對值很大的誤差出現的機會極小，故在有限次測量中，誤差的絕對值不會超過一定的界限，稱為有界性；誤差分類及其性質和處理方法

隨機誤差的性質

當測量次數n趨于無窮大時，誤差的平均值將趨于零，稱為隨機誤差具有抵償性，即：

ζi——隨機誤差，A0——真值，xi——第i次測量值

誤差分類及其性質和處理方法

隨機誤差的性質

單峰性不一定對所有的隨機誤差都存在，但抵償性卻是隨機誤差最本質的特性。減小隨機誤差的方法是進行多次重復測量，并求出平均值；

隨機誤差的表示方法

正態分布的特征值

大多數隨機誤差都服從正態分布，其概率密度分布曲線稱為正態分布曲線。P(x)(P(ζ))Ex，(0)x，(ζ)隨機誤差的表示方法

數學期望式中：xi為第i次測量值，n為測量次數。在無系差測量中Ex就是真值A0。隨機誤差的表示方法

算術平均值當測量次數有限時，得到的測量值的有限次平均。算術平均值時數學期望的最佳估值。隨機誤差的表示方法

均方根誤差（標準偏差）式中：Ex為測得值的數學期望值。隨機誤差的表示方法

σ的估值

式中：稱為殘余誤差。隨機誤差的表示方法

平均誤差δ平均誤差δ的實用計算公式：隨機誤差的表示方法

或然誤差ρ

在一列等精度測量中，得到的各個誤差，按其絕對值大小順序排列，取其中間位置的誤差作為代表，稱為或然誤差。σ、δ、ρ三者的關系：

隨機誤差的表示方法

粗大誤差（差錯）

粗大誤差是指在錯誤的、不正確的測量值中所包含的誤差，這類誤差大多由儀器誤動作、操作錯誤、記錄數據錯誤等因素造成。

不確定度、置信限、置信概率與置信度

不確定度：

不確定度是指測量結果的可能誤差范圍。不確定度、置信限、置信概率與置信度

置信限、置信概率與置信度

在處理隨機誤差時往往把隨機誤差落在其中的區間稱為置信限（置信區間）；估計的可信賴程度稱為置信概率；在隨機誤差處理中，常把置信區間用±Kσ表示，其中K稱為置信度（置信系數）。不確定度、置信限、置信概率與置信度

K可根據隨機誤差服從的概率分布情況和測量要求的置信概率Pc[]查相應的數表求得。反之，當已知K時亦可查得相應的Pc值。

KK0.50.38292.50.98761.00.68273.00.99731.50.86643.50.99952.00.95454.00.9999測量誤差的傳遞、合成與微小誤差準則測量誤差的傳遞間接測量中，研究各被測量的誤差，即局部誤差（或稱分項誤差）與最后結果的總誤差之間的相互關系問題稱之為誤差傳遞。

誤差傳遞的一般公式

設各直接測量的參數為x1、x2、…、xm，且彼此獨立，間接測量的參數與上述各參數之間的函數關系為：y=f(x1,x2,…,xm)測量誤差的傳遞、合成與微小誤差準則絕對誤差傳遞公式為:

測量誤差的傳遞、合成與微小誤差準則式中：Δxi為各xi的測量誤差

Δy為y的測量誤差為誤差傳遞系數

相對誤差傳遞公式為：測量誤差的傳遞、合成與微小誤差準則式中：Δxi為各xi的測量誤差

Δy為y的測量誤差為誤差傳遞系數

間接測量中標準偏差的一般傳遞公式測量誤差的傳遞、合成與微小誤差準則設y=f(x1,x2,…,xm)且式中

x1，x2，…，xm為直接測量量且相互獨立，則：式中：σ1，σ2，…，σm分別為x1，x2，…，xm的標準偏差。

σy為y的標準偏差。間接測量值y的最佳估值測量誤差的傳遞、合成與微小誤差準則設y=f(x1,x2,…,xm)則：式中：，，…，為各分量的算術平均值為間接測量值的算術平均值（即最佳估值）誤差傳遞公式在基本運算（加、減、乘、除）中的應用測量誤差的傳遞、合成與微小誤差準則若y=x1·x2則：Δy=x2Δx1+x1Δx2

寫成相對誤差形式，則：誤差傳遞的基本性質測量誤差的傳遞、合成與微小誤差準則誤差的傳遞不能按原函數形式進行簡單的代數運算，必須按傳遞公式計算；對于加法與減法運算，傳遞時采用絕對誤差較為方便，對于乘法與除法運算，采用相對誤差比較方便；誤差傳遞基本性質測量誤差的傳遞、合成與微小誤差準則函數關系中的乘法運算相當于相對誤差的加法運算，函數關系中的除法運算相當于相對誤差的減法運算；不論是加、減、乘、除哪一種運算，均方根誤差（加減時為絕對均方根誤差，乘除時為相對均方根誤差）都以幾何和的法則傳遞。誤差的合成測量誤差的傳遞、合成與微小誤差準則在分析測量誤差時，有時測量結果受由許多因素引入的若干項誤差組成，因此必須將所有的誤差按一定的原則進行合成。在合成誤差時通常假設各項誤差是彼此獨立的。誤差的合成——代數和法

測量誤差的傳遞、合成與微小誤差準則如果各局部誤差的大小、符號已知，則可將所有的誤差取代數和合成：式中：e為合成誤差，ei為分項誤差，m為誤差的項數。該方法適用于恒定系統誤差的合成。誤差的合成——絕對值和法

測量誤差的傳遞、合成與微小誤差準則當局部誤差項數較少時（一般小于3項），且只知道誤差的大小而不知其符號時，將所有的誤差按絕對值取和，即：該方法完全沒有考慮誤差間的可能抵償，是最保守的，但也是最穩妥的。該方法適合于局部誤差項數較少時系統不確定度的合成。誤差的合成——方和根法測量誤差的傳遞、合成與微小誤差準則當局部誤差項數較多時，可按方和根法進行合成，即：此方法對合成隨機誤差比較合適，此時式中ei=σi；當誤差項數較少時，此方法合成的誤差往往偏低，工程計算中常在合成后乘以1.1～1.3倍加以擴大。誤差的合成——廣義方和根法

測量誤差的傳遞、合成與微小誤差準則如果各局部隨機誤差的分布不同，為了使合成的總不確定度e更符合實際情況，將所有分項不確定度ei(ei=Kiσi)分別除以相應的置信系數Ki再取方和根，并乘以總置信系數K，即：微小誤差準則測量誤差的傳遞、合成與微小誤差準則在測量中常會遇到由多個分項誤差合成總誤差的問題，如果某一項或幾項誤差的作用只影響到總誤差的第二位數字或第二位以后的數字時，就可以把這些誤差忽略而不會使總誤差發生顯著的改變。這些可以忽略的誤差就稱為“微小誤差”。微小誤差準則——恒定系差的微小準則

測量誤差的傳遞、合成與微小誤差準則準則一：用代數和法合成總誤差時，當小誤差與總誤差之比小于或等于1／20時，則該小誤差即為微小誤差，計算時可以忽略不計。1／20的要求往往太嚴，就是在計量工作中要達到1／20的比值也是困難的，因此通常放寬到1／10。微小誤差準則——標準偏差微小準則測量誤差的傳遞、合成與微小誤差準則準則二：利用方和根法合成的誤差，當小誤差的σx不大于總誤差的σy的1／3時，則該小誤差為微小誤差。對于比較精密的測量，如果某項微小誤差大約比總誤差小一個數量級，則該項誤差便可忽略不計。

不確定度微小準則測量誤差的傳遞、合成與微小誤差準則設各分項不確定度為e1、e2，則總不確定度為：

當時，e1即為微小不確定度，可以忽略不計。

不確定度微小準則測量誤差的傳遞、合成與微小誤差準則準則三：用廣義方和根法合成不確定度時，當小不確定度約為總不確定度的1/3～l/9時，則這個小不確定度為微小不確定度，可以略去。

不確定度微小準則測量誤差的傳遞、合成與微小誤差準則準則三近似地概括了以下三種情況：當分項不確定度是隨機誤差時，可選用1/3的限制；當分項不確定度是恒定系差時，可選用1/9的限制；通常不仔細區分是哪種性質的誤差，可以籠統地選用；壞值剔除

在遇到測量數據中有差異較大的值時，應作如下處理：仔細檢查、核對測量中是否有差錯，儀器工作是否穩定，外界因素在測量時有無突然的變化，及時發現，及時剔除。在同樣測量條件下，增加測量次數，取得更多的數據，觀察這些差異較大的值是否會被抵償掉。設法根據某種較為令人信服的統計判據來剔除這些可疑的數據

測量數據的處理壞值剔除

統計檢驗法的基本思想是：在給定的置信概率下（例如，Pc=0.99），確定一個置信限，凡是超過這個限的誤差，就認為不屬于隨機誤差，而是粗大誤差，應予以剔除。測量數據的處理壞值剔除——萊依特準則（又稱3σ準則）

設對某量進行n次等精度測量，得到x1，x2，…，xn，計算出算術平均值及殘差，由貝塞爾公式求得測量值的標準偏差如果某個測量值xd的殘差νd滿足下式：|νd|>3σ則認為xd是含有粗差的壞值，應剔除。測量數據的處理壞值剔除——萊依特準則（又稱3σ準則）

萊依特準則實質上是建立在n∞的前提下的。當n有限時，特別當n較小時它不十分可靠，當n≤10時該準則不能剔除任何壞值，因而n≤10時，不能使用該準則判別。測量數據的處理壞值剔除——格茹布斯準則一列n次等精度測量中，在置信水平為α時，如果某一數據xd所對應的殘差νd滿足：|νd|≥λ(α,n)σ則認為在置信水平為α時xd為壞值，應剔除不用。式中：λ(α,n)為格茹布斯數值，可由格茹布斯數值表查得。測量數據的處理壞值剔除——格茹布斯準則格茹布斯數值表

測量數據的處理nαnαnα0.010.050.010.050.010.0531.151.15122.552.29212.912.5841.491.46132.612.33222.942.6051.751.67142.662.37232.962.6261.941.82152.702.41242.992.6472.101.94162.742.44253.012.6682.222.03172.782.47303.102.7492.322.11182.822.50353.182.81102.412.18192.852.53403.242.87112.482.24202.882.56503.342.96等精度測量數據的處理步驟(1)把測量數據按測量先后順序列成表格測量數據的處理測量序號i123…測量值xi…………等精度測量數據的處理步驟(2)求出測量數據的算術平均值測量數據的處理等精度測量數據的處理步驟(3)計算各測量值的殘余誤差νi

測量數據的處理等精度測量數據的處理步驟(4)按貝塞爾公式計算標準偏差σ測量數據的處理等精度測量數據的處理步驟(5)選用一種合適的壞值判別準則，判斷測量列中是否有壞值。如有，則應將壞值剔除。從第二步開始重新計算。測量數據的處理等精度測量數據的處理步驟(6)求出算術平均值的標準誤差S測量數據的處理等精度測量數據的處理步驟(7)根據測量次數n及要求的置信概率Pc，查t分布表求得Kt。(8)寫出最終的測量結果

當等精度測量中含有系統誤差時，必須應用前述檢驗系統誤差的方法判明之，并設法消除它，而后重新進行測量，再進行數據處理。

測量數據的處理非等精度測量數據的處理在實際測量中，有時由于客觀條件的限制，不可能保證都在同一條件下進