變溫粘彈性的一般理論前言

研究對象

主要研究對象主要內容

:

1.變溫松弛曲線的概念(relaxationcurveundernon-constanttemperaturestate)2.確定沿任一變溫歷史的變溫松弛曲線的方法

3.終態溫度等效松弛曲線的概念(equivalentrelaxationcurveattheterminaltemperature)

4.采用上述曲線建立三維變溫粘彈性本構關系(thegeneralconstitutiveequationsofvisco-elasticmaterialsundernon-constanttemperaturestates)5.證明熱流變簡單材料理論是本文理論的一個特例,由此說明本文理論是實用的!二.變溫松弛曲線

意義:

正如恒溫粘彈性理論基于材料在恒溫下的松弛曲線,變溫粘彈性理論則應基于材料在變溫下的松弛曲線.

特點:

恒溫下,應力沿時間軸松弛變溫下,應力沿變溫歷史曲線T=T(t)松弛

圖1中的曲線C是變溫歷史T=T(t)曲線,σ0是初始溫度T0時的初始應力;曲線S則是沿變溫歷史T=T(t)的變溫松弛曲線,它是T-t-σ坐標內的空間曲線.

圖二為一族變溫松弛曲線,始發溫度不同,但后繼溫度歷史相似.

初始溫度:Ti=T(ti)

溫度歷史:T=T(ti+t)

曲線族Si

i=0,1,2,…,k,…n

結論反映了在溫度歷史T=T(t)(0<t<tn)中的不同時刻施加單位應變所對應的不同的松弛規律.

溫度歷史雖然都是由同一函數T=T(t)給出,但是具體溫度歷史不同,因而彼此松弛曲線不同.

思考如何得到變溫松弛曲線?

實驗?

對設備要求較高,且溫度歷史數不勝數,不可窮盡!

由此,我們想:

既然恒溫松弛曲線容易得到,能否由一組恒溫松弛曲線確定出沿任一變溫歷史的變溫松弛曲線?三.如何確定變溫松弛曲線方法:

由一組恒溫松弛曲線確定材料沿任一溫度歷史的變溫松弛曲線考慮兩種情況:

一溫度突變時松弛應力按某一規律突變;

二溫度突變時,松弛曲線有一過渡段

步驟如圖3,用階梯折線來近似溫度歷史曲線T=T(t).

當ΔTk=tk+1-tk→0時,階梯折線逼近曲線T=T(t).

由此,沿階梯折線水平段的松弛是在一系列不同溫度下的恒溫松弛;階梯豎段突變值隨ΔTk→0而逐漸減少.2.記Tk=T(tk),k=0,1,2,….,材料在T0,T1,….下的一組恒溫松弛曲線見圖4,其對應的松弛函數分別記為

HT0(t),HT1(t),……

如圖,用階梯折線來近似某一變溫松弛過程:

初始應力HT0(0)→HT1(t1),溫度發生突變T0→T1,則如何確定HT1(t1),即圖中C點的松弛應力?松弛應力的計算1.Maxwell模型,見Figure.5

突變前溫度為T0,有:

突變后為T1,有:

溫度突變時,粘壺不能產生瞬時應變,有:

故有:

得

把Maxwell模型的參數改寫成圖4中恒溫松弛曲線的值,得

(4)

標準線性固化模型突變前溫度為T0,突變后溫度為T1,

溫度突變時Voigt模型不能產生瞬時應變,

故有

得

即有

(5)一般的松弛模型

“任意粘彈性模型”是指彈簧和粘壺的任意組合.

溫度突變時,凡與粘彈性并聯的部分都不會產生瞬時應變,仍由彈簧部分決定溫度突變后的松弛剩余應力,仍有(5)式結果.在式子中,

因為

所以必有故在松弛曲線上一定存在一個與等值的點,記做C,見圖4,其值為由于粘性元件需要響應時間，所以在瞬時沒有應變！接著應力從C點沿松弛(t2-t1)長時間,到達D點,溫度再次發生突變,到達E點.E點是變溫松弛曲線S(T,t)上的又一個點S(T2,t2),其值為如此繼續下去,便可得到變溫松弛曲線S(T,t)上的一系列近似點A、C、E、G、…..、P?？梢宰C明,當Δtk→0時,點A、C、E、G、…..、P

作為變溫松弛曲線上的一系列近似點誤差→0

結論

目前,恒溫松弛曲線的實驗已成熟,利用一組材料的恒溫松弛曲線,按以上算法,編寫小程序,對任一溫度歷史,計算機可迅速確定出A、C、E、G、…..、P各點,由此可擬合出一條過這些點的近似變溫松弛曲線.考慮溫度的過度過程四終態溫度等效松弛曲線

問題的提出非恒定非均勻溫度場物體上的一個質點X,它從0時刻起至tn時刻,經歷叻溫度歷史T(t)和應變歷史ε(t)(0<t<tn),現在求該質點在終了時刻tn、終態溫度Tn=T(tn)時的松弛剩余應力.解決思路如圖:為一族變溫松弛曲線,在區間[0,tn]內的某一時刻tk(溫度為Tk)施加應變增量Δε(tk),其應力將沿Sk曲線松弛.到了終了時刻tn,它松弛了tn-tk

長時間,松弛剩余應力為:

由線性疊加原理,從0時刻到tn期間所施加的應變,在tn時刻的松弛剩余應力為:(7)

式中的是一族變溫松弛函數Sk(t)在終態溫度Tn的函數值.

定義一個函數G(t),令

則G(t)是終態溫度平面T=Tn內的一條平面曲線,見上圖..采用函數G(t),上式可以寫成:(9)

上式表明,沿溫度歷史T=T(t),在應變歷史ε(t)的作用下,沿一族變溫松弛曲線Si(i=0,1,2,….)松弛到tn時刻,等價于在應變歷史ε(t)的作用下,沿恒溫Tn下的一條曲線G(t)松弛到tn時刻.由此,我們稱G(t)是沿溫度歷史T=T(t)在終態溫度為Tn時的等效松弛曲線.五三維變溫粘彈性本構方程

采用終態溫度等效松弛曲線G(t),對于三維情況,上式成為:(10)(11)設在時刻,溫度為T()時,線膨脹系數為,在微小時間間隔內,溫度改變為,引起的線應變為:(12)

由線性疊加原理,從0時刻到tn時刻,經歷了溫度歷史T(t),應變歷史ε(t)及線膨脹,在tn時刻的松弛剩余應力為:

對各項同性材料,類似恒溫粘彈性力學的推導,用t代替tn表示終態時刻,得其中,六熱流變簡單材料理論的推導

熱簡單材料的概念:

是指這樣一種材料,它們在溫度T時的恒溫松弛函數HT(t)和某一基溫T0下的恒溫松弛函數g(t)=HT0(t)有以下關系:

其中稱為移位函數,且由以上定義,對任意溫度T有即熱簡單材料彈性模量不隨溫度變化,在任意溫度下其恒溫松弛曲線的初始應力都相同.變溫松弛曲線的確定劃分時間為n段由于溫度突變時熱簡單材料的松弛剩余應力不變,故圖11中,B與C.D與E.F與G各點的應力值相等.

故有:從A點經B.C.D…P點相當于沿g(ξ)從g(0)連續松弛了:

長時間.

當時,

由此便得:

變溫松弛函數S(T,t)在t時的精確解:

就是沿溫度歷史的變溫松弛曲線:物理意義終態溫度等效松弛曲線的確定由終態溫度等效松弛曲線的定義可