懸索橋結構計算理論同濟大學橋梁工程系大跨度橋梁研究室第十四章第十四章懸索橋結構計算理論本章主要內容概述懸索橋的近似分析

懸索橋主塔的計算

懸索橋成橋狀態和施工狀態的精確計算

小結1.概述懸索橋計算理論的發展與懸索橋自身的發展有著密切聯系

早期，結構分析采用線彈性理論(由于橋跨小，索自重較輕，結構剛度主要由加勁梁提供

中期(1877),隨著跨度的增加，梁的剛度相對降低,采用考慮位移影響的“撓度理論”

現代懸索橋分析采用有限位移理論的矩陣位移法

跨度不斷增大的同時，加勁梁相對剛度不斷減小，線性撓度理論引起的誤差已不容忽略應用有限位移理論的矩陣位移法，可綜合考慮體系節點位移影響、軸力效應，把懸索橋結構非線性分析方法統一到一般非線性有限元法中，是目前普遍采用的方法1.概述(續)懸索橋成橋狀態的確定

小跨徑懸索橋：確定橋成狀態采用拋物線法(由于主纜自重輕，成橋態主纜近似呈拋物線形)大跨徑懸索橋：主纜線型呈多段懸鏈線組成的索多邊形，計算主纜線型主要有非線性循環迭代法和基于成橋狀態的反算法1.概述(續)跨徑越來越大，3300m的懸索橋已在規劃中梁高與跨徑之比越來越小，從。主纜安全系數隨跨徑增大而降低,已接近2.0。結構形式多樣化按錨固形式分：地錨（隧道錨和重力式錨）、自錨按主纜形式分：平行主纜、空間主纜、單纜按主塔形式分：單塔、雙塔、多塔（多跨）結構整體剛度變小，使結構非線性問題、靜力穩定問題、抗風抗震問題更加突出，設計、施工難度加大，要精心設計施工。

縱觀懸索橋尤其是現代懸索橋的發展過程，可以看到：1.概述(續)設計懸索橋時,以下幾點是十分重要的：精確合理地確定懸索橋成橋內力狀態與構形；合理確定懸索橋施工階段的受力狀態與構形，以期在成橋時滿足設計要求；精確分析懸索橋在活載及其它附加荷載作用下的靜力響應；。懸索橋的設計計算也要根據不同的結構形式、不同的設計階段、不同的計算內容和要求來選用不同的力學模式和計算理論。

2.懸索橋的近似分析2.1懸索橋的受力特征

懸索橋的組成懸索橋是由主纜、加勁梁、主塔、鞍座、錨碇、吊索等構件構成的柔性懸吊組合體系，其主要構成如下圖所示。成橋時，主要由主纜和主塔承受結構自重，加勁梁受力由施工方法決定。成橋后，結構共同承受外荷作用，受力按剛度分配。2.懸索橋的近似分析(續)主纜是結構體系中的主要承重構件；主塔是懸索橋抵抗豎向荷載的主要承重構件；加勁梁是懸索橋保證車輛行駛、提供結構剛度的二次結構，主要承受彎曲內力；吊索是將加勁梁自重、外荷載傳遞到主纜的傳力構件，是連系加勁梁和主纜的紐帶。錨碇是錨固主纜的結構，它將主纜中的拉力傳遞給地基懸索橋各部分的作用2.懸索橋的近似分析(續)2.2成橋狀態的近似計算法成橋狀態近似計算作如下基本假定：主纜為柔性索，不計其彎曲剛度；加勁梁恒載由主纜承擔；在主纜吊梁段，主纜、索夾、吊桿和加勁梁自重都等效為橋長均布的荷載q，在無梁段，主纜自重沿索長均勻分布。

什么是成橋狀態計算?

根據懸索橋布置的縱斷面線形和控制主纜幾何線型基本點的位置，分析主纜及其它構件成橋時的構形、受力狀態，求出主纜、吊索的無應力索長和施工階段鞍座的偏移量

2.懸索橋的近似分析(續)2.2成橋狀態的近似計算法計算步驟：導出主纜成橋態的索形、張力以及幾何長度的計算公式；扣除加勁梁恒載作用下主纜產生的彈性伸長量，得到主纜自由懸掛態的纜長；在索鞍兩邊無應力索長不變的情況下，用主纜在空掛狀態塔頂左、右水平力相等的條件求索鞍的預偏量；由自由懸掛狀態下的纜長扣除主纜自重產生的彈性伸長，得到主纜無應力長度。以中跨為例，說明成橋狀態的計算。

2.懸索橋的近似分析(續)2.3加勁梁在豎向荷載作用下的近似分析懸索橋加勁梁先鉸接后固結的施工特點，決定加勁梁在一期恒載作用下沒有整體彎矩加勁梁豎向荷載主要指二期恒載和活載等.如圖14.5所示懸索橋假定:忽略梁體剪切變形、吊桿的伸縮和傾斜變形對結構受力的影響，將離散的吊桿簡化為一連續膜。微小索段的平衡方程為：(14-18)

2.懸索橋的近似分析(續)(14-19)

圖14-5懸索橋計算模型

在成橋后豎向荷載p(x)作用下，荷載集度由q變為qp，外力作用下主纜和加勁梁產生撓度，主纜撓度由y變為(y+)，主纜水平拉力Hq變為(Hp+Hq)，根據式(14-18)有：

(14-20)

將(14-18)、(14-19)兩式相減得：2.懸索橋的近似分析(續)(14-22)

以加勁梁為研究對象，在p(x)作用下加勁梁上的豎向荷載為：(14-23)

加勁梁的彈性方程為：設EI為常數，將(14-22)代入(14-21)整理得：式(14-23)就是撓度理論的基本微分方程。q(x)=p(x)+q－qp

(14-21)

2.懸索橋的近似分析(續)(14-24)

討論：(14-25)

由于Hp是p(x)的函數，因此這一微分方程是非線性的。此外，方程中Hq、Hp和均為未知，求解時還需要一個補充方程。利用全橋主纜長度變化的水平投影為零這一邊界條件：式中：L－兩錨碇間的水平距離式(14-25)中第三項進行分部積分，并利用x=0和x=L時=0的邊界條件，有：或

2.懸索橋的近似分析(續)(14-28)

代入式(14-25)整理后得：式中：為線脹系數；t為溫度變化；ECAC為主纜軸向剛度。(14-27)

(14-26)

2.懸索橋的近似分析(續)最后，非線性微分方程要通過(14-23)和(14-27)兩式迭代才能求解，尚達不到實用計算的要求。針對大跨徑懸索橋活載遠比恒載為小的特點，Godard提出了在式(14-23)中只考慮恒載索力對豎向荷載的抗力，形成了線性撓度理論。此時線性疊加原理和影響線加載均可應用，使計算得到了簡化。李國豪教授在此基礎上于1941年提出了等代梁法和奇異影響線的概念，揭示了懸索橋受力的本質，使撓度理論變為實用計算成為可能。下面對等代梁法作一簡要介紹。應該指出：線性撓度理論忽略了豎向荷載本身引起的主纜水平力對加勁梁受力的影響，這將使計算結果絕對值增大。因而，用于設計加勁梁是偏安全的2.懸索橋的近似分析(續)2.4水平靜風荷載作用下的實用計算一般假定風荷載為沿橋跨方向均布的已知荷載作用在懸索橋上的風載將分別通過主纜和加勁梁傳到基礎風荷載主纜與加勁梁之間的傳遞是由吊索完成的，其受力根據剛度分配。可見研究靜風荷載的計算問題，首先必須研究風載在主纜和加勁梁上的分配問題。簡單的計算方法有均等分配法。圖14-7水平靜風荷載作用下的懸索橋

2.懸索橋的近似分析(續)假定橫向風荷在加勁梁和主纜間產生的重分配力(實質上就是吊桿沿梁長每延米的水平分力)為沿梁長的均布荷載q，索面和梁體在位移時保持剛性轉動，圖14.7所示。于是，加勁梁和主纜跨中的水平位移d和c可寫成：式中：c，d分別為索、梁橫向風荷集度；l，EI分別為懸索橋跨徑和梁橫向抗彎剛度；H為主索水平拉力。(14-33)

2.懸索橋的近似分析(續)根據索面剛性轉動的假定，有：式中：f，h分別為主纜的矢高，加勁梁形心到吊點距離。由式(14-33)、(14-34)得：將式(14-35)得到的q值代回式(14-33)，就可算出加勁梁和主纜的橫向靜風響應。(14-35)

(14-34)

2.懸索橋的近似分析(續)實際上風的重分配力q并不會沿梁長均勻分布，而是梁長座標x的函數，記為q(x)，索面和梁的位移也不滿足剛性轉動假定。因此，均等分配法的計算精度較差。相比之下，彈性分配法就有較高的計算精度。按照彈性分配法，懸索橋在橫向風荷及重分配力q(x)的作用下，主纜和加勁梁的平衡微分方程為：

q(x)是一個未知荷載，可以根據梁、塔的位移協調條件，通過迭代計算求解。(14-36)

3.主塔的計算3.1受力特點懸索橋主塔承受的主要荷載有:直接作用于塔身的自重、風荷、地震荷載、溫變荷載；由主纜傳來的荷載,它一方面改變加勁梁和主纜傳至塔上的豎向荷載，另一方面將在塔頂產生順橋向和橫橋向的水平位移，當兩根主索受力不一致時，主塔還會受扭。

工程中橋塔的設計流程如圖14-8所示，下面結合設計流程逐一介紹主塔在縱向和橫向荷載作用下的靜力計算和穩定計算。

3.主塔的計算(續)3.2主塔在縱向荷載作用下的實用計算縱向荷載是指順橋向的風荷載、地震荷載、加勁梁和主纜傳到主塔的活載等。在活載作用下，橋塔將發生水平位移，由于主塔縱向抗推剛度相對較小，塔頂水平位移的大小，主要是由主纜重力剛度的水平分量決定，而與塔的抗彎剛度關系不大。活載計算中常忽略塔的彎曲剛度，先求出主塔水平位移，再將它作為已知條件計算主塔內力。在計算中，必須考慮兩種加載狀態：最大豎向荷載與相應塔頂位移狀態；最大塔頂位移與相應豎向荷載狀態。一般來說，后一種狀態可能更為不利。

3.主塔的計算(續)圖14.9為縱向荷載作用下橋塔的計算模式。塔頂作用著主纜豎向分力p，活載或其它荷載引起的塔頂水平位移、加勁梁傳來的集中力R，塔身受有塔自重、順橋向風載或其它廣義縱向縱向荷載，用帶有幾何非線性的平面桿系程序，可以直接對塔進行分析。為了定性分析，將塔自重集中于塔頂，討論等截面塔在活載作用下的受力情況。x處的彎矩為：式中：F使塔頂位移達到時的水平力。對于給定的懸索橋，通過纜梁體系分析可以求得p和，這里假定為一已知常量。圖14-9縱向載作用下橋塔的計算模式

(14-37)

3.主塔的計算(續)由塔的彎曲平衡微分方程：邊界條件：得：

得：

由

(14-43)

(14-42)

(14-38)

(14-44)

3.主塔的計算(續)由式(14-43)可知，塔內彎矩主要與分母有關，當EI增大時，h減小，彎矩就急劇增大，為了經濟地設計塔與塔基，h一定要比/2大。才能將塔內彎矩控制在較小的范圍內。當然，確定h時也應考慮塔的縱向穩定性。對于變截面的主塔在各種荷載作用下的計算，也可按圖14.9所示力學模型，用幾何非線性有限元方法進行計算。3.主塔的計算(續)3.3主塔在橫橋向荷載作用下的計算在橫橋向荷載作用下，橋塔的計算模式如圖14.10所示：塔頂作用著主纜的豎向分力，主纜傳來的橫向水平力Hc，下橫梁上作用著加勁梁傳來的豎向力Rs和橫向水平力Hs，塔上還受有橫向風載w、地震等廣義荷載(y)和主塔自重。其中風引起的主纜、加勁梁橫向水平力可根據14.2.4中介紹的方法算得。由于主塔受到主纜傳來的巨大豎向分力P，因此分析時仍需用帶有幾何非線性的桿系程序。圖14.10的分析模式中忽略了主纜對塔的水平約束(非保向力)作用，因此，其結果是偏安全的。

圖14-10橋塔橫橋向荷載作用下的計算模式3.主塔的計算(續)3.4主塔在橫橋向荷載作用下的組合主塔是在縱橫橋向荷載共同作用下工作的,其響應可以用直接用空間有限元計算,也可以用上面兩個平面問題來計算采用后者計算,內力(應力)組合時必須注意,豎向荷載引起的軸向力不能重復迭加3.5主塔的穩定計算塔在掛索前和成橋后作用縱向荷載時都有失穩的可能，必須對這兩種狀態進行穩定驗算。掛索前主塔可看成是一單端固定受自重作用的變截面柱。可將變截面柱問題等效成等截面柱問題來計算。令等效荷載集度為q，等效剛度為EI，根據Eular穩定理論，易得：

3.主塔的計算(續)在成橋狀態下，必須考慮主纜對塔順橋向失穩的約束作用。在計算中偏安全地將塔自重荷載移到塔頂作為集中荷載，與主纜豎向分力共同作用下，令其合力為P，根據14-3.1的推導，主塔撓度由式(14-43)表示，當主塔失穩時，v(x)，因此有

此式與一端簡支，一端固定的壓桿臨界荷載相一致。對塔穩定問題更精確的計算，可按有限元方法并考慮砼徐變、收縮及塔施工初始缺陷的不利因素影響進行求解。否則應在安全系數取值時加以考慮。

(14-47)

(14-46)

(14-45)

h為主塔高度解得：

4.懸索橋成橋狀態和施工狀態的精確計算計算思路：確定懸索橋成橋和施工狀態的關鍵是確定主纜在成橋時的線型，也就是計算主纜與吊索交點位置及主纜與鞍座的切點座標。將懸索橋簡化成圖14.11所示的力學模型。

圖14-11懸索橋索形力學模型簡化圖4.懸索橋成橋狀態和施工狀態

的精確計算(續)第一步：分析吊索恒載軸力；第二步：計算主纜平衡位置；第三步：確定主纜與鞍座切點的位置。

通過研究纜、吊索、梁、塔等構件的受力特性，精確計算懸索橋成橋狀態和施工狀態用三步分析方法比較合適:4.懸索橋成橋狀態和施工狀態

的精確計算(續)4.1成橋狀態的近似計算法吊索是連系加勁梁與主纜的紐帶，吊索力可決定加勁梁的內力分配，反過來，加勁梁的受力狀態也可確定吊索內力。給定加勁梁恒載受力狀態，就可求出吊索軸力。大部分懸索橋的加勁梁是按先鉸接后固結的方法施工的，其吊索的恒載軸力可分為吊裝時塊件自重引起的軸力N1和橋面固結后二期恒載作用下根據剛度分配到各吊索上的軸力N2兩部分。N1是確定的，只要計算N2。假定主纜為二次拋物線，以一期恒載內力為初內力，對結構進行二期恒載的非線性分析，就能得到N2。（同樣矢跨比的懸索橋而言，索形誤差對結構豎向剛度的影響較小，大量數值計算也證明了這一點），可也可用類似的方法確定其它方法施工的懸索橋吊索內力。

4.2真實索形的迭代計算為了尋找主纜變形后在吊索力作用下的平衡索形，將鉸支座設置在主、轉索鞍的理論交點處，主纜被分割成獨立的五部分。它們靠支座的左、右邊豎向力和水平力的平衡條件取得聯系。彎曲剛度忽略不計，吊索力、索夾自重力都以等效集中力Pi方式作用在其相應位置。并注意到計算的是主纜有應力平衡位置，其變形已經完成，因此主纜在計算過程中不伸長。圖14-11懸索橋索形力學模型簡化圖已知：主纜恒載集度q，中跨吊桿間距和矢高f，鞍座上IP點坐標，求主纜索形。

公式準備1：取主纜吊桿間任一段無伸長自由懸索，其豎坐標為ｙ，向下為正，單位纜長重為ｑ，任一點處的Lagrange坐標為ｓ，相應的迪卡爾坐標為(ｘ,ｙ)，則任意索自由索段端點力與座標之間的函數關系為:

(14-48)

(14-49)

4.2真實索形的迭代計算(續)公式準備2：吊桿間任一索段都必須滿足式(14－48)、(14－49)，令Vi=V，Hi=H，于是：

(14-51)

(14-52)

式中：

li為i號梁段吊桿間距；hi為i號梁段主纜吊點高差對僅有垂直吊桿的情況

(14-50)

4.2真實索形的迭代計算(續)索形計算思路：

(14-53)

1）先根據拋物線假定預估一個IP點處的H和V，通過式(14-61)由計算出，通過式(14-62)由計算。最后，應滿足如下幾何邊界條件:2)如果預估的H，V能使(14－53)式成立，則H、V、和為所求。式中：m,n分別為左鞍座到跨中的吊桿數和吊索總數，為兩個主鞍座IP點的y坐標之差。4.2真實索形的迭代計算(續)(14-54)

根據IP點處實際的Ｈ和Ｖ，可計算邊跨主纜的成橋索形；根據主索鞍、轉索鞍的設計半徑，可計算主纜與鞍座的切點座標；根據吊桿在主纜和橋面上的y座標，可計算吊索在成橋態的長度。至此，整個懸吊部分的受力與幾何形態都被唯一確定。實際的H，V可通過影響矩陣法迭代計算按如下步驟迭代求解：

否則設誤差向量為：4.2真實索形的迭代計算(續)4.懸索橋成橋狀態和施工狀態

的精確計算(續)4.3懸索橋施工狀態的計算主纜各索段無應力索長掛索初始狀態吊梁階段的結構狀態

懸索橋施工狀態是指從掛主纜開始到成橋各階段懸索橋的構形和受力狀態。確定施工狀態主要解決三方面問題：4.懸索橋成橋狀態和施工狀態

的精確計算(續)1)主纜各索段無應力索長的計算

y=cosh(cx+c1)+c2

其中：

無應力索長的計算必須從成橋合理狀態的有應力索長反算而得。對固定于A(0，0)，B(l，h)兩點的自由索，其方程為：

(14-60)

(14-59)

(14-58)

(14-61)

＜＜１時當

索長

4.懸索橋成橋狀態和施工狀態

的精確計算(續)根據公式(14-71)和(14-72)可以完成以下計算：

a）從錨碇到轉索鞍索段的索長，根據懸鏈線索長計算公式可計算有應力索長，扣除成橋索力引起的伸長量便是無應力索長；這一區段內主纜的長度計算比較復雜。因為主纜每一層離開轉索鞍的離開點都是不一樣的。在計算中先計算出該索段的中心索長，再根據不同層和離開點位置對每一層索長進行修正。b）包裹轉索鞍索段的索長。根據左、右切點及中心索轉索鞍半徑，可計算索段的有應力索長。根據成橋態索段左、右段索的軸力，以及鞍座的實際摩阻系數，可以計算沿鞍座張角變化的索段應力，從而可計算出該索段的伸長量，有應力索長與伸長量之差便得該索段無應力索長。

4.懸索橋成橋狀態和施工狀態

的精確計算(續)根據橋面標高，鞍座壓力等參數，就可以確定塔高、吊索無應力索長等重要構件尺寸。從而完全得到了掛索初態所必須的基本參數。

c）轉索鞍到主鞍切點索段索長該索段索長應根據橋跨布置來進行計算。對于單聯吊橋，該段索長可用懸鏈線索長計算公式。根據轉、主索鞍切點座標直接計算而得，扣除應力伸長量便得無應力索長。對于三聯懸索橋，主纜與各吊桿的理論交點均已知，可分段將各吊索間的索段作為懸鏈線，計算出各段的有應力索長和無應力索長，累加得到該索段的總索長和無應力索長。d）包裹主鞍座索段的索長，可仿b）進行計算；e）中跨主鞍座兩切點間索長計算，可參照c）中三聯懸索橋的索長計算方法計算。4.懸索橋成橋狀態和施工狀態

的精確計算(續)2)鞍座基準回退量及空索合理狀態

鞍座基準回退量是指以滿足成橋合理狀態的各跨主纜無應力索長空掛于索鞍上，使左、右邊空索水平拉力相等時索鞍的移動量。空索合理狀態是指在鞍座具有基本回退量時主纜的真實形狀與受力狀態。計算采用數值迭代法，通過圖14.12所示流程由電算完成。

在實際施工時，有時塔頂尺寸不允許鞍座有基準回退量那么大的偏移，柔性塔往往使塔在施工時預拉一水平位移來實現。掛索時，只要能將各跨算準的無應力索長安裝到位，并保證主纜在鞍座上不滑動，基準回退量并不影響最終成橋時達到合理狀態。

4.懸索橋成橋狀態和施工狀態

的精確計算(續)3)加勁梁安裝階段合理狀態的確定加勁梁的安裝步驟是由施工設計確定的。要確定梁體上各塊件在每次施工中的確切位置，從幾何上講仍是困難的，為此，可以從成橋合理狀態開始，逆施工過程進行非線性倒退分析，計算每一施工階段剩余結構的狀態。根據前面討論可知，只要結構材料參數、幾何參數是合理的、施工過程中不出現人為誤差，從空索合理狀態開始吊梁，則全橋加勁梁安裝完畢，各塊件將相互獨立，固結后作用以二期恒載，就可以達到成橋的合理狀態。首先介紹了懸索橋及其計算理論的發展過程，用框圖形式給出了懸索橋靜力設計計算流程用解析法介紹了懸索橋成橋狀態以及在面內和面外荷載作用下的近似計算方法以及主塔在縱向和橫向荷載作用下的近似計算方法根據幾何非線性理論，用先分析吊索恒載軸力，再求主纜平衡位置，最后確定主纜與鞍座切點位置的三步分析方法導出了計算懸索橋成橋真實索形的疊代計算方法

5.小結以中跨為例，說明成橋狀態的計算1)中跨主纜索形與張力計算圖14.3所示，中跨主纜微小單元dx與主纜豎向分力的平衡條件為：(14-2)

(14-3)

(14-1)

所以有：

1)中跨主纜索形與張力計算(續)若座標系如圖14-3(b)選取，式(14-3)的解為：(14-5)

(14-4)

式中：f為索端連線在跨中到主纜的豎向距離，即矢高；l為跨徑；Hq為主纜水平力式(14-4)是一拋物線方程，用這種方法計算主纜也稱拋物線法。將式(14-4)代入式(14-3)，得：對于不吊梁的主纜段，不難導出其索形為懸鏈線，請讀者作為習題完成。用拋物線法確定的索形是近似的，誤差來自基本假定3。

2)中跨主纜成橋態和自由懸掛態的中心索長計算根據中跨索形方程積分，可得成橋態主纜中心線有應力索長為：(14-13)

(14-11)

將其展開為級數形式，則：S=l(1+8/3n2－32/5n4+......)其中:n=f/l，為矢跨比；S為索長。加勁梁自重作用下主纜產生的彈性伸長量為：

式中：H=ql2/8f，為一、二期恒載引起的主纜近似水平拉力；Ec為主纜彈性模量；Ac為主纜面積。

成橋態纜長扣除加勁梁自重引起的主纜彈性伸長量，可得自由懸掛態的纜長為：

S1=S－△S1

(14-12)

(14-14)

主纜自由懸掛狀態下，索形為懸鏈線。取中跨曲線最低點為坐標原點，則對稱懸鏈線方程為：(1