第四節正態總體的置信區間一.單正態總體N(,2)的情況二.小結單正態總體均值(方差已知)的置信區間;單正態總體均值(方差未知)的置信區間;單正態總體方差的置信區間;下面介紹正態總體的置信區間，分為下列情形:單正態總體均值(方差已知)的置信區間;單正態總體均值(方差未知)的置信區間;單正態總體方差的置信區間;雙正態總體均值差(方差已知)的置信區間;(1)(2)(3)(4)雙正態總體均值差(方差未知但相等)的置信區間.雙正態總體方差比的置信區間.(5)(6)而本節主要介紹前三種正態總體的置信區間.明確問題,是求什么參數的置信區間?置信水平是多少？~N(0,1)選的點估計為

尋找未知參數的一個良好估計.解：

尋找一個包含待估參數和樣本的函數，要求其分布為已知.有了分布，就可以求出U取值于任意區間的概率.1.單正態總體均值的置信區間（1）設總體X~N(,2),2已知，未知，設X1,X2,…,Xn是來自X的樣本，求的置信度為1-的置信區間。一、單正態總體N(,2)的情況對給定的置信水平查標準正態分布表得對于給定的置信水平(大概率),根據U的分布，確定一個區間,使得U取值于該區間的概率為置信水平.使從中解得則的一個置信度為1-的置信區間為說明：標準正態分布具有對稱性，利用雙側分位數來計算未知參數的置信度為的置信區間，間長度在所有這類區間中是最短的.其區

當然希望區間長度越短越好，但區間長度短，n必須大，即需耗費代價高，故在實際問題中，要具體分析，適當掌握，不能走極端。注意(1)

區間長度當給定時，置信區間的長度與n有關.(2)

置信度為1-的置信區間并不唯一。若概率密度函數的圖形是單峰且對稱,當n固定時，取兩端對稱的區間，其長度為最短。結論例1某旅行社為調查當地旅游者的平均消費額,機訪問了100名旅游者,得知平均消費額元.根據經驗,已知旅游者消費服從正態分布,且標準為95%置信區間.解對于給定的置信度查標準正態分布表將數據隨元,差求該旅游者平均消費額的置信度代入計算得的置信度為95%的置信區間為即在已知情形下,可77.6元至82.4元之間.以95%的置信度認為每個旅游者的平均消費額在自己動手已知幼兒身高服從正態分布，現從5~6歲的幼兒中隨機地抽查了9人，其高度分別為：115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;注意如果X服從任意分布,只要n充分大,仍可用作為總體均值的置信區間這是因為由中心極限定理可知,無論X服從什么分布,當n充分大時,隨機變量近似服從標準正態分布。給定置信度1-,X1,X2,…,Xn是來自N(,2)的樣本,分別是樣本均值和樣本方差2.單正態總體均值的置信區間（2）2為未知用樣本方差來代替2統計量則的置信度為1-的置信區間為例2某旅行社隨機訪問了25名旅游者,得知平均消費額元,樣本標準差元,已知旅游者消費額服從正態分布,的置信區間.解對于給定的置信度將代入計算得的置信度為95%的置信區間為求旅游者平均消費的95%即在未知情況下,均消費額在75.05元至84.95元之間,這個估計的可靠度是95%.估計每個旅游者的平均值的置信區間(1)2為已知,的置信度為1-的置信區間為(2)2未知,的置信度為1-的置信區間為若未知,利用樣本方差構造統計量給定,先查2分布的臨界表求得12,22使得3.單正態總體方差的置信區間給定置信度1-,X1,X2,…,Xn是來自N(,2)的樣本,是樣本方差,從而方差2的置信度為1-的置信區間為標準差的置信度為1-的置信區間為方差的置信區間例3.有一大批糖果，從中隨機地取16袋，稱得重量(以克計)如下：

508499503504510497512505493496506502509496

設袋裝糖果得重量近似地服從正態分布，求(1)正態總體均值的置信度為0.95的置信區間。(2)總體標準差的置信度為0.95的置信區間。解(1)1-=0.95/2=0.025n-1=15t0.025(15)=2.1315s=6.2022則的置信度為0.95的置信區間為(500.4,507.1).2未知,的置信度為1-的置信區間為則方差2的置信度為1-的置信區間為(2)1-＝0.95/2=0.025n-1=15s=6.2022總體標準差的置信區間為(4.58,9.60)假定出生嬰兒(男孩)的體重服從正態分布，隨機地抽取12名新生嬰兒，測其體重為

310025203000300036003160356033202880260034002540(1)以0.95的置信度估計新生男嬰兒的平均體重。

(2)以0.95的置信度對新生男嬰兒體重的方差進行區間估計。思考解(1)1-＝0.95/2=0.025n-1=11t0.025(11)=2.201s=375.3則的置信度為0.95的置信區間為(2818,3295).(2)1-＝0.95/2=0.025n-1=11(n-1)S2=1549467查表得總體方差2的置信區間為(70752,405620)。

這里，我們主要討論總體分布為正態的情形.若樣本容量很大，即使總體分布未知，應用中心極限定理，可得總體的近似分布，于是也可以近似求得參數的區間估計.說明課堂練習

隨機地取炮彈10發做試驗，得炮口速度的標準差,炮口速度服從正態分布.求這種炮彈的炮口速度的標準差的置信水平為0.95的置信區間.由解

隨機地取炮彈10發做試驗，得炮口速度的標準差,炮口速度服從正態分布.求這種炮彈的炮口速度的標準差的置信水平為0.95的置信區間.于是