第三章微積分學的創始人:德國數學家Leibniz微分學導數描述函數變化快慢微分描述函數變化程度都是描述物質運動的工具(從微觀上研究函數)導數、微分、邊際與彈性英國數學家Newton一、導數產生的背景二、導數的定義三、導數的幾何意義四、函數的可導性與連續性的關系五、單側導數第一節導數的概念1.自由落體運動的瞬時速度問題2.切線問題3.函數的變化率問題一、導數問題舉例1.變速直線運動的速度設描述質點運動位置的函數為則到的平均速度為而在時刻的瞬時速度為自由落體運動2.曲線的切線斜率曲線在M點處的切線割線MN的極限位置MT(當時)割線MN的斜率切線MT的斜率3.函數的變化率三個問題的共性:

所求量為函數增量與自變量增量之比的極限.

瞬時速度切線斜率函數的變化率類似問題還有:加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉角增量與時間增量之比的極限是質量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題二、導數的定義定義1.設函數在點存在,并稱此極限為記作:即則稱函數若的某鄰域內有定義,在點處可導,在點的導數.運動質點的位置函數在時刻的瞬時速度曲線在M點處的切線斜率函數的變化率問題不存在,就說函數在點不可導.若也稱在的導數為無窮大.若極限注意:若函數在開區間I內每點都可導,此時導數值構成的新函數稱為導函數.記作:就稱函數在

I內可導.**用定義求導數的三個步驟例1.求函數(C為常數)的導數.解:即例2.求函數解:說明：對一般冪函數(為常數)例如，(自變量對其本身的導數為1)的導數.解則即例3.求類似可證例4.求函數的導數.解:

即原式是否可按下述方法作:例5.證明函數在x=0不可導.證:不存在,例6.設存在,求極限解:原式三、導數的幾何意義曲線在點的切線斜率為若切線與x軸垂直.曲線在點處的切線方程:法線方程:例*.求曲線y=x2上任意一點處切線的斜率，并求在點(1,1)處的切線方程.解：任意一點x處：在(1,1)點：故所求切線方程為：y–1=2(x–1),即y=2x–1例7.問曲線哪一點處的切線與直線平行?寫出其切線方程.解:令得對應則在點(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即四、函數的可導性與連續性的關系定理1.證:設在點x

處可導,存在,因此必有其中故所以函數在點x連續.注意:函數在點x連續，但在該點未必可導.反例:在x=0處連續,但不可導.即在點的某個右鄰域內五、單側導數若極限則稱此極限值為在處的右導數,記作即(左)(左)例如,在x=0處有定義2

.設函數有定義,存在,定理2.函數在點且存在簡寫為可導的充分必要條件是內容小結1.導數的實質:3.導數的幾何意義:4.可導必連續,但連續不一定可導;5.已學求導公式:6.判斷可導性不連續,一定不可導.直接用導數定義;看左右導數是否存在且相等.2.增量比的極限;切線的斜率;思考與練習1.函數在某點處的導數區別:是函數,是數值;聯系:注意:有什么區別與聯系?？與導函數2.設存在,則3.已知則4.函數在點的連續性與可導性.5.

設,問a取何值時,在都存在,并求出解:顯然該函數在x=0連續.故時此時在都存在,作業P915,8,12(3),15第二節牛頓(1642–1727)偉大的英國數學家,物理學家,天文學家和自然科學家.他在數學上的卓越貢獻是創立了微積分.1665年他提出正流數(微分)術,次年又提出反流數(積分)術,并于1671年完成《流數術與無窮級數》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學的數學原理》和《廣義算術》等.萊布尼茨

(1646–1716)德國數學家,哲學家.他和牛頓同為微積分的創始人,他在《學藝》雜志上發表的幾篇有關微積分學的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號也遠遠優于牛頓.他還設計了作乘法的計算機,系統地闡述二進制計數法,并把它與中國的八卦聯系起來.第二節求導法則與基本初等函數的求導公式一、和、差、積、商的求導法則推論(4)(C為常數)例1解例2解例3解同理可得例4解同理可得例*二、反函數的求導法則定理：設單調函數x=(y)在區間I內可導，(x)0，則它的反函數y=f(x)在相應的某區間J內單調、可導，且例如(1)設則,則(2)設則特別當時,公式排行榜三、復合函數的導數定理：設u=(x)在點x處可導，y=f(u)在對應點u(u=(x))處也可導，復合函數y=f((x))在U(x)內有定義，則y=f((x))在點x處是可導的，且即設y=f(u),u=g(v),v=h(x),則例1.y=sinax,求y'解y=sinu,u=ax模仿例2.y=e5x,求y'解模仿例3.1

y=ln(1+x2),求y'例3.2求下列函數在指定點處的導數例４.1

y=ln[ln(1+x2)],