平面問題的直角坐標解答第一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日§3-5相容方程應力解法

§3-6應力函數應力函數解法

§3-7多項式逆解法解平面問題

§3-8懸臂梁的彎曲

§3-9簡支梁的彎曲

§3-10楔形體受重力和液體壓力

§3-11受橫向荷載的三角級數形式解答

第二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日§3-1平面問題分類1.平面應變問題定義：如果三個位移分量中，稱為平面位移問題第三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日將位移代入幾何方程,得:非零的應變分量僅發生在x-y平面內，故又稱為平面應變問題。且為

x,y的函數，與z無關。

第四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日代入廣義Hooke定律

獨立的應力分量也僅是x、y坐標的函數，與z無關。

第五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日（1）無限長的等直柱體；（2）在柱體側面受到與軸線垂直，且沿軸向均布的面力作用；（3）體力也垂直于軸線，并沿軸線均布。工程上遇到的擋土墻、隧道、管道、炮筒等結構構件。特點：第六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日第七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日2.平面應力問題定義：如果在六個獨立的應力分量中稱為平面應力問題。因為所有不為零的應力分量都平行于x-y面。第八頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日特點：

（1）等厚度的薄板；（2）面力和體力都平行于板面，且面力沿厚度均勻地作用在板的周邊上；（3）在板面上無外力作用。第九頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日第十頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日應力在板面的邊界值：一般地，應力沿厚度是變化的，但因為板較薄，且應力連續可微，則注意到板的上述幾何和受力特征，應力與z無關：第十一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日在平面應力問題中的應變分量：第十二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日注意：在平面應力問題中從上面分析可以看出，對于兩類平面問題，獨立分量的個數都只有8個，它們是u,v；且僅為x,y的函數與z無關。、第十三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日§3-2平面問題的基本方程與邊界條件1.平衡方程

在兩類平面問題中都有剪應力分量平面應力問題：平面應變問題：第十四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日平面問題的平衡微分方程：

此方程也可由平面問題的未元體得以證明。

第十五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日其它三個方程自動滿足。

2.幾何方程

平面應變問題：第十六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日但這兩個剪應變為零本身就是近似的，這組方程難以滿足，由于這種變化的數量級一般較面內的應變數量級小可認為其近似滿足。平面應力問題，除需滿足以上三個方程外，尚需滿足以下條件：第十七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日于是兩類平面問題具有相同幾何方程：此方程也可直接由變形關系圖導得。第十八頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日3.應力-應變關系平面應力問題：第十九頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日第二十頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日于是平面問題的應力-應變關系可統一寫為：

第二十一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日此即平面問題用應變表示應力的本構方程。第二十二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

4.邊界條件

（1）力的邊界條件邊界條件（2-8）的第3式成為恒等式，從而：由于第二十三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日（2）位移邊界條件第二十四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日1.坐標面上的分布力§3-3應力邊界條件在特殊情況下具體化

第二十五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日2.坐標面上的集中力

合力的符號仍以指向坐標的正方向為正，反之為負。第二十六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日面力是以合力矩的形式給出時第二十七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日例1寫出圖3-6所示懸臂梁上邊界和右端面的邊界條件。第二十八頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日方向余弦l=0,m=-1解:(1)上邊界面力

(2)下邊界方向余弦l=0,m=1第二十九頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日(3)右邊界第三十頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日§3-4位移解法

以位移作為基本未知量，將基本方程化為用位移表示的控制方程，邊界條件也化為用位移表示；在給定的邊界條件下求解控制方程，從而求得位移解，然后將位移代入幾何方程求導得到應變，再將應變代入本構方程得到應力解。第三十一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日（1）將幾何方程（3-11）代入應變表示應力的本構方程（3-15），得第三十二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日（2）將（3-18）式代入平衡微分方程（3-10）得用位移表示的平衡方程：此稱為拉梅（Lam）方程，即位移法求解的控制方程。第三十三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日位移邊界條件：用位移表示的應力邊界條件：第三十四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日例2如圖3-7所示單位厚度平板，兩端受均布壓力p作用，上、下邊界剛性約束，不考慮摩擦，不計體力，用位移法求解板的應力和位移。第三十五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日解：由對稱性及上、下邊界的剛性約束條件可設 代入拉梅方程（3-19），第2式成為恒等式，第1式成為解之得第三十六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日位移邊界條件：自動滿足由對稱性， 則于是待定系數a可由位移表示的應力邊界條件確定，為此將(e)代入邊界條件（3-20）得第三十七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日右邊界：左邊界結果相同。第三十八頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日位移分量：將其代入本構關系，得應力分量：為了確定待定系數a，也可以直接采用應力形式的應力邊界條件。第三十九頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日§3-5相容方程應力解法

以應力為基本未知量，將基本方程化為用應力表示的控制方程，邊界條件也用應力表示，在給定的邊界條件下求解控制方程得到應力解，將應力解代入本構方程得到應變解，再運用幾何方程積分可以求得位移解。第四十頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日當采用應力法求解時，具有三個應力基本未知量，而在基本方程中，平衡微分方程已用應力表示，保留不變。另外還需要將幾何關系用應力來表示。1.應變相容方程

平面問題的幾何方程為第四十一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

將（3-11）式的第1式對y求兩階偏導，第2式對x求兩階偏導第四十二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日兩式相加，并改變求導順序后有將（3-11）式第3式代入（2）式得這就是平面問題的變形協調方程，又稱應變相容方程。第四十三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日從推導過程來看，滿足幾何方程肯定能滿足相容方程；反過來，滿足相容方程未見得就一定能保證幾何方程可積，因為方程（3-21）是比原方程（3-11）更高階的方程。后面（§6-2）將要證明，對于單連體，相容方程是幾何方程可積的充要條件；而對于多連體，相容方程只是必要條件，加上位移單值附加條件以后才能保證幾何方程可積。第四十四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

2.用應力表示的相容方程

將用應力表示應變的本構方程（3-14）代入相容方程（3-21）得而平衡微分方程（3-10）可改寫為第四十五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日將上式的第1、2式分別對x、y求偏導，然后相加得第四十六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日代入（3）式，化簡后有或者寫成：在常體力情況下：這個方程稱為列維（Lévy）方程。第四十七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日如果體力為有勢力，即存在勢函數V，使

3.應力法的控制方程

相容方程為：第四十八頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日（1）平衡方程：（2）相容方程：第四十九頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日4.應力法邊界條件在上在上上述提法對兩類平面問題都成立，即如果邊界條件相同，則兩類平面問題具有相同的應力解答。第五十頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

例3用應力法求解例2給出問題的應力和位移。解：根據邊界上的受力情況，我們試取（１）顯然上式滿足了平衡方程和相容方程。（２）檢驗邊界條件第五十一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日本題為混合邊值問題：已滿足左右兩側的邊界條件及上、下兩側無摩擦的已知條件；（ⅰ）應力邊界條件（ⅱ）位移邊界條件

將應力分量代入本構方程得第五十二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日由幾何方程的第1、2式積分將其代入幾何方程的第3式第五十三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

其解為： 于是第五十四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日利用對稱性：可得再利用邊界條件(b)可解得應力和位移解：第五十五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

由于控制方程的復雜性，應力法求解時，一般也采用半逆解法。假定的應力分量可以通過以下幾個方面來判斷：（1）問題的邊界條件，如例3；（2）類似問題的已有解答，如材料力學解；（3）問題的物理直觀性。第五十六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

§3-6應力函數應力函數解法

1.平衡方程的解

平衡微分方程（3-10）為一非齊次方程。根據微分方程理論，非齊次方程的解等于對應齊次方程的通解加特解。滿足非齊次方程的特解有多個，通過觀察可取第五十七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日容易驗證，它們均滿足平衡方程（3-10）。對應的齊次方程為第五十八頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日如果我們引入一個函數，使得＝＞則式（3-27）的第1式得到滿足。再引入函數，使得第五十九頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日＞＝由剪應力互等關系可知函數A、B應滿足：由此，必然存在一個函數，使得第六十頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日于是有這就是齊次方程（3-27）的通解。第六十一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日平衡方程的非齊次解=齊次方程通解+特解稱為平面問題的應力函數，也稱艾里（Ariy）應力函數。第六十二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

2.用應力函數表示的相容方程

引入了應力函數以后，平衡方程已自動滿足。這時，問題的控制方程就只剩下相容方程。由于基本未知量的變化，相容方程應改用應力函數表示.問題化為求:第六十三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日常體力情況下的相容方程為注意到體力與坐標無關，得或第六十四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日展開后即為此方程稱為雙調和方程，滿足雙調和方程的函數，稱為雙調和函數，故在常體力情況下，應力函數為雙調和函數。彈性力學平面問題的求解可歸結為尋求一個雙調和函數，使由它求出的應力分量滿足問題的邊界條件。第六十五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日§3-7多項式逆解法解平面問題以下不計體力，考察幾個典型的多項式，看看它們能解決什么問題。1.一次式第六十六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日由應力分量反推邊界面力

線性應力函數對應于無外力作用的零應力狀態。2.二次式(1)第六十七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

由邊界條件反推對應的邊界面力，為了具體起見，考察圖3-10所示的矩形板。

表明矩形板左、右端面受均勻拉伸（b>0）或均勻壓縮（b<0）（圖3-10（a））。第六十八頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日第六十九頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日（2）

應力函數（7）對應于矩形板上、下端面受均勻拉伸（c>0）或均勻壓縮（c<0）（圖3-10（b））。（3）第七十頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

為純剪切狀態（圖3-10（c））。第七十一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日3.三次式

由邊界條件可得邊界面力：第七十二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

矩形板條的左、右端面受線性分布面力作用，面力的合力為：而上、下邊界面上面力為零，板條為純彎曲（圖3-11）。第七十三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

第七十四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日例4對例2所述彈性力學問題，用應力函數法進行求解。解：我們注意到矩形板左、右兩側沿x方向受均勻壓縮，物體將沿y方向膨脹，但由于剛性邊界的約束而受到均勻壓力，故為雙向受壓問題，將（4）和（7）疊加作為本問題的應力函數，即取第七十五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

相應的應力分量為：可解得第七十六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

§3-8懸臂梁的彎曲

懸臂梁（圖3-16）端部受分布切向力作用，合力為P，梁的自重不計，取梁寬為1，按平面應力問題分析梁的應力、應變和位移。圖3-16第七十七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日1.應力函數的確定

由材料力學解已知，梁彎曲時彎曲應力與截面彎矩（M）成正比，且沿梁高度（y）呈線性分布，在本問題中有可設由于第七十八頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日積分兩次，得應力函數則再將上式代入相容方程第七十九頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日積分上式得將上式代入于是有第八十頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

2.應力分量將（6）式代入（3-28）式，得應力分量：第八十一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

3.由邊界條件確定待定系數

上、下邊界是主要邊界，邊界條件必須精確滿足。邊界條件為：將應力分量代入上式得第八十二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日作為關于x的恒等式，兩邊對應項系數相等，有解之得由此，應力公式可改寫為第八十三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日將上式代入邊界條件得

左、右端邊界為次要邊界，由于其面力分布不清楚，可用圣維南原理放松邊界條件。右端面邊界條件為：第八十四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日將D代入剪應力表達式，再代入邊界條件，則解得式中為截面慣性矩。將A、D代入（9）式得應力解：第八十五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

顯見，左端邊界條件已自然滿足。如果不能滿足，仍可用圣維南原理放松，與之等效的主矢和主矩分別為第八十六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

應力解（13）與材料力學結果完全相同。4.位移

下面按平面應力問題求解。將應力（13）式代入本構方程（3-14），再運用幾何方程（3-11）得第八十七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日對（15（a）（b））式積分：第八十八頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日代入（15（c）），整理后有第八十九頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

上式為恒等式,要保證上式在全域內任何一點都成立，則必有對以上兩式積分得第九十頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

于是得位移：式中C、C1、C2為待定常數，由位移邊界條件確定，考慮梁左端在原點O是固定的，且梁軸不能繞O點轉動（圖3-17（a）），即有位移約束條件：第九十一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

將位移代入上式可得：故位移解為：第九十二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

第九十三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

圖3-17（a）所示情況相當于梁嵌入左端較深的情況。如果梁的左端粘結在一個剛性平面上，則位移約束條件為第九十四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日此時，取得梁的撓曲線方程

取橫截面發生變形以后的方程為第九十五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

這表示橫截面變形后不再保持為平面，而是變為以三次拋物線為母線的柱形曲面。在應力函數方法中，確定應力函數是彈性力學問題求解的關鍵。前面是通過彎曲應力來推斷的。也可以通過擠壓應力或剪應力來推斷。擠壓應力主要是由接觸荷載引起的，本題的接觸荷載為零，故可設擠壓應力第九十六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日§3-9簡支梁的彎曲

矩形截面簡支梁受均布載荷q作用（圖3-18），取梁的寬度為1，不計體力，求梁的應力分量。第九十七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日1.應力函數的確定由于擠壓應力主要由接觸荷載引起。我們注意到，梁的上表面擠壓荷載是均布的，下表面自由，可以視為均布擠壓荷載的特殊情況，故擠壓應力與x無關；又注意到，上、下表面的面力不等（上表面為q，而下表面為零），即與y有關，因此可設第九十八頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

對上式積分兩次，得將其式代入相容方程得第九十九頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

對域內的任意x上式成立，故有方程：由上式的前兩個方程解得第一百頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

將（4）式代入（3）式的第3個方程得在（5）、（6）式中已略去與應力無關的各項。將（4）～（6）代回（2）式得第一百零一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日2.應力分量由應力分量與應力函數的關系（3-28）可得第一百零二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日3.利用對稱性和應力邊界條件確定待定系數按彈性力學應力的正負號規定，顯然，各分量滿足：第一百零三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日第一百零四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日為x的偶函數，而為x的奇函數從而有上、下邊界條件：第一百零五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日將（10）代入（8）式，再代入邊界條件（11），聯立求解后得

將各系數代回（8）式得應力：第一百零六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日右端邊界條件：上式第三式自然滿足。由1、2式解得第一百零七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日將K、H值代回（13）式得應力解：第一百零八頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日從應力解（16）可見，彎曲應力的主項與材料力學相同，而第2項為彈性力學修正項，對于細長梁，修正項很小可以忽略不計。為擠壓應力，由材料力學得不到這一結果。剪應力與材料力學相同。第一百零九頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日§3-10楔形體受重力和液體壓力楔形體受體力和側壓力作用,試求應力.1.應力函數的確定這里采用量綱分析方法。楔形體內任一點的應力分量決定于、、x、y和

等物理和幾何參量，因而應力表達式中的各項只可能由這幾個參量第一百一十頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日第一百一十一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日組成，且其量綱與應力量綱相同。各參量量綱列表如下：參量應力重力坐標(x、y)楔角()量綱[長度]無量綱為了保證量綱的和諧，應力分量可用及其線性組合來表達，即有可能把應力分量表達為x、y的一次函數。第一百一十二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日應力分量與應力函數具有如下關系：由量綱的和諧性，上式中各導數項應具有應力量綱。于是，應力函數在坐標的冪次上比應力高兩次。也就是說，應力函數應用坐標的三次函數來表達，即可設（1）第一百一十三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日式中，系數a、b、c、d由邊界條件確定。應力函數（1）恒滿足相容方程。2.應力分量

將（1）式代入（3-29）式，則得：3.由邊界條件確定待定系數

（2）第一百一十四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

左側面：

斜面：（3）第一百一十五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日代入邊界條件（3-16）得：將（2）式應力分量代入（3）和（4）式，解得（4）第一百一十六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日將這些系數代回（2）式得應力解：第一百一十七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日§3-11簡支梁受任意橫向荷載的三角級數形式