《一次函與幾何圖形合》專題總：數與幾何是初中數學中的重點內,是中考命題重點考查內容之一；函數中的幾何問題，能使代數知識圖形化幾何中的函數問題使圖形性質代數化由于函數與幾何結合的綜合題的式靈活、立意新穎，能更好地考查學生的維水平和數學思想方法，因而成為近幾年各地中考的一類熱門題；函數知識與幾何知識有機結合的合題，根據構成命題的主要要素可分為以下兩類：一類是幾何元素間的函數關系問〔這類問題不妨稱簡稱為“幾函〞問題〕，這類問題的特點：根據幾何圖形間的位置和數量關系〔平行、全等、相似，特別是成比例〕建立自變量與函數所表示幾何元素間的等量關系，求出函數關系式運用函數的性質解決幾何圖形中的問題；另一類是函數圖像中的幾何圖形問如三角形四邊形別是圓這類問題不妨簡稱“函〞問題〕，這類問題的特點是：根函數圖像中的幾何圖形的位置特征，運用數形結合方法解決有函數、幾何問題。一函與何合是年學初接一用幾合決問的法這方和力九年解中壓題必具的代數〔1〕表達什么函數〔包括其系的代數意義、幾何意義、物理意義〕〔2〕顯現怎樣的圖形〔自身、坐軸、與其他圖形〕〕既是一個方程，也是一個坐標4〕藏有那些數據，含有什么些系5〕要建立某種代數關系缺少那些數據幾何〔1〕根本圖象有幾個〔2〕圖象間有怎樣關系〕圖象與所要證明〔求解〕的結論怎樣的關聯〔4〕要建立圖象與圖象之間的系缺少那些數據代數幾〔1〕代數〔幾何〕在那些地方幾何〔代數〕提供了怎樣的數據〔2〕幾何〔代數〕通過什么方為幾何〔代數〕提供關系式〔3〕怎樣設數據〔坐標或線段〕函與何合的題想法“函幾問題〞與“幾函問題〞涉的知識面廣、知識跨度大、綜合性強，應用數學方法多、縱聯系較復雜結構新穎靈活、注重根底力、探索創新和數學思想方法要求學生有良好的心理素質和硬的數學根本功能從所提供的信息中煉出數學問題而靈活地運用所學知識和掌握的根本技能創造的解決問題，正因如此，解決這類問題，要注意解決問題的策略，常用的解題策略一般有以下幾種：綜合使分法綜法就是從件與結論出發進展聯想、推理，“由得可知〞，“從要求到需〞，通過對問題的“兩邊夾擊〞，使們在中間的某個環節上產生聯系，從而使問題得以解決。2.運方的想就是找要解決的問題中量與量之間的等量關系建立量與未知量間方程通解方程從而使問題得到解決在運用種思想時要注意充分挖掘問題的的隱藏條件尋找等量關系立方程或方程組；意用類論思〔數法〕函方法就是用運動、變化的觀點來分析題中的數量關系，抽/

②22象、升華為函數的模型進而解有關問題的方法．函數的實質是研究兩個變量之間的對應關系靈活運用函數方法可以解決許多數學問題數與幾何結合的綜合題中往往注意考查學生的分類討論的數學想此在解決這類問題時一定要多個心眼兒多側面進展縝密地思考用分類討論的思想探討出結論的一切可能性，從而使問題②22數結的想數形結合法是指將數與形結合，析、研究、解決問題的一種思想方法，數形結合法在解決與函數有關的問題時，起到事半功倍的作用．在中學數學中數〞與“形〞不是孤的，它們的辯證統一表現在“數〞可以確地澄清“形〞的模糊，而“形〞能直觀地啟迪“數〞的計算使用數形結合的思想來解5.運轉的想轉化的數學思想是解決數學問題的核心思想由于函與幾何結合的問題都具有較強的綜合性因此在解決這類問題時要善于“知識〞轉化“知識〞“未知〞化“〞“抽象〞的問題轉化為“具體〞的問題，“復雜〞的問題轉化為“簡單〞的問題，可以大膽地說，不掌轉化的數學思想，就很難正確而全面地解函數與幾何結合的綜合問題。知規小：〔1〕常數，b對直線y=kx+b(k≠0位置的影響．①當b時，直線與y軸的正軸相交；當b=0時，直線經過原點；當b時，直線與y軸的負半相交．②當k異號時，即-

bk

＞0時，直線與x軸正半軸相交當b=0時，即

bk

=0時，直線經過原點；當k同號時，即-

bk

時，直線與x軸負半軸相交③當k，b時，圖象經過一、二、三象限；當k＞0，b=0時，圖象經過第一、三象限；當b＞O，b＜O時，圖象經過第、三、四象限；當k﹤O，b＞0時，圖象經過第、二、四象限；當k﹤O，b=0時，圖象經過第二、四象限；當b＜O，b＜O時，圖象經過第、三、四象限．〔2〕直線y=kx+b≠0〕與直y=kx(k≠0)位置關系．直線≠0)平行于直線y=kx(k≠0)當b時，把直線y=kx向上平個單位，可得直線y=kx+b；當b時，把直線y=kx向下平|b|單位，可得直線y=kx+b．〔3〕直線=kx+b與直線yx+b〔k≠0，k≠0的位置關系．①k≠ky與y相交；b

y與y相交于y軸上同一點〔0，b或〔，b〕；,③y與y平；④bb2

y與y重合/

CDEFwordCDEF例精：如圖，在平面直角坐標系內，點A的標為〕，經過原點的直線l與經過點A直線相交于點B，點坐標為18，6〕．〕求直線l，的表達式；〔2點為線段OB上一動點〔點C不與，B重合作CD軸交直線l點過點D分別向y軸垂線垂分別為得矩形CDEF①設點C的縱坐為，求點的坐標〔用含a的數式表示〕；②假如矩形的面積為108求出點C的坐標．l

2

l

2

yA

B

l

1

D

l

1O

F

O

C

x解：〔1〕設直線l表達式為y=∵點〔18，6〕在直線l上∴6=18∴k=

11∴=設直線l的表式為y=k+b33∵點A〔0，24〕，B〔18，6〕在l上定系數法可得直線l解析式為y=-+24〔2①∵點C在直線l上，且點C的坐標為∴=3a，∴點C坐標為3a，〕∵CD∥軸∴點D的橫標為3∵點D在直線l上，∴=-3+24∴〔3，-3a+24〕②∵〔3，〕〔3，-3+24∴CF=3，CD=-3+24-=-4∵矩形的面積為108S=CF=3a×a+24〕=108，解得=3當a=3時3a=9∴點標為，3〕2．如圖①所示，直線L：

y

與

軸負半軸、

軸正半軸分別交于A、B兩點。〕當OA=OB時，試確定直線L的析式；〕在(的條件下，如圖②所，設為AB延線上一點，作直線OQ，過A兩點分別作AM⊥OQ于M，BN于N，假如AM=4，BN=3求MN的長(3)當取不同的值時，點B在軸正半軸上運動，分以OB、AB為，點為角頂點在第一、二象限內作等腰直角△和等腰直角ABE，連EF交

軸于P點，如圖③。問：當點B在y軸半軸上運動時，試猜測PB的長是否為定值，假是，請求出其值，假如不是，說明理由。第2題圖①第2題圖②/

第2題圖③

考點一次函數綜合題；直角三角形全等的判定．專題代數幾何綜合題．分析〔1是求直線解析式的運用，會把點的坐標轉化為線段的度〕由得到啟發，證明eq\o\ac(△,∴)eq\o\ac(△,)AMO≌eq\o\ac(△,，)ONB用對應線段相等求度；〕通過兩次全等，尋找相等線段，并進展轉化，求PB的長．解答解：〔1∵直線：y=mx+5m，∴A〔-5，0〕，B，5m，由OA=OB得5m=5，m=1∴直線解析式為：y=x+5．〕在△AMO和△中OA=OB，∠AMO=∠BNO，eq\o\ac(△,∴)≌eq\o\ac(△,．)∴AM=ON=4∴BN=OM=3．〕如圖，作EK⊥y于點．證ABOeq\o\ac(△,，)BEK∴OA=BK，EK=OB．再證PBF≌PKE∴PK=PB．∴PB=

1BK=OA=．22點評此重點考查了直角坐標系里的全等關系，充分運用坐標里的

垂直關系證明全等，此題也涉與一次數圖象的實際應用問題．3.如圖，直線l與x軸、y軸分別交于、B兩點，直l與直線l關于x軸1對稱，直線l的解析式為x〔1求直線l的解析式分〕1過A點在△的外部作一直線l過點B作BEl于E,過點C作CF33⊥l于F分別請畫出圖形并求證BE＋CF＝EF3〕沿y軸向下平移，AB邊x軸點，過的直線與AC邊的延長線相交于點Q，y軸相交與點M，且BP＝CQ，在△平的過程中，①OM定值；②MC為定值。在這兩個結論中，有且只有個是正確的，請找出正確的結論，并

y求出其值。分〕

BB

y

l

B

y

P

0

xAA0x

A

0

x

MC

l

C

C考點軸對稱的性質；全等三角形的判定與性質．

Q分析〔1根據題意先求直線與x軸、y軸的交點A的坐，再根據軸對稱的性質求直線l的上坐標，用待定系數法求直線l的解析式〔2〕根據題意合軸對稱的性質，先證明BEA≌eq\o\ac(△,2)，再根據全等三角的性質，結合圖形證明BE+CF=EF〔3〕首先過Q點作QH⊥y軸于H，證明△QCH≌eq\o\ac(△,，)然后根據全等三角形的性質eq\o\ac(△,和)QHM≌eq\o\ac(△,，)從而得HM=OM，根線段的和差進展計算OM的值．解答解：〔1∵直線l與x軸、軸分別交于A、B兩點，〔-3，0〔0，3，∵直線l與直線l關于x軸對稱，〔0，-3〕直線l的解析式為y=-x-3；〔2〕如圖1．答：．∵線與直線l關于x軸對稱，，∠EBA=，∵BE⊥l⊥lAFC=90°∴eq\o\ac(△,≌)BEA△AFC∴BE=AF∴BE+CF=AF+EA=EF〔3〕①，過Q點作軸于H線與線關于軸稱∵∠POB=∠QHC=90°BP=CQ，又AB=AC，∴∠ACB=∠HCQ如此≌△PBO〔AAS，∴QH=PO=OB=CH∴eq\o\ac(△,≌)QHM△POM∴HM=OM∴OM=BC-〔OB+CM〕=BC-/

〔CH+CM〕=BC-OM

1∴OM=BC=3．24.如圖，在平面直角坐標系中，(，0)，(0)，且滿a2)

2

b

.(1)求直線的解析式；(2)假如點為直線y=上一點，eq\o\ac(△,且)是以AB底的等腰直角三角形，求m值；(3)過A點的線

ykxk

交軸負半軸于，點的橫坐標為-1，過點直線

y

kx22

交AP于點M試證明

PMPNAM

的值為定值．考點次函數綜合題二次根式的性質與化簡一次函數圖象上點的坐標特征待定系數法求正比例函數解析式；全等三角形的判定與性；等腰直角三角形．分析〔1求出a、b值得到A、B的坐標，設直線AB的解析y=kx+b代入得到方程組，求出即可；〕當BM⊥BA，且BM=BA時，作MN軸于N證△BMN△ABO〔AAS〕，求出M的坐標即；②當AM⊥BA，且AM=BA時，過M作MN⊥X于，同法求出M坐標；③當AM⊥BM，且AM=BM時，過M作⊥X軸于N，MH軸于H，證△BHM≌eq\o\ac(△,，)AMN求M坐標即可．〔3〕設NM與x軸的交點為H，分過、H作x軸的垂線垂足為G，HD交MP于，求出H、G的坐標，eq\o\ac(△,證)≌eq\o\ac(△,，)eq\o\ac(△,≌)eq\o\ac(△,≌)eq\o\ac(△,≌)DPC△NPC，推出PN=PD=AD=AM代入即求出答案．解答解〔1要

2

有意義，必須a-2，b=0，，b=4〔2〕，B〔0，4〕，設直線AB的解析式y=kx+b代入得，4=b，解得：k=-2，b=4，∴函數解式為：y=-2x+4，答：直線AB的解析式是y=-2x+4．〕如圖，分三種情況：/

①如圖〔1〕當BM⊥BA，且BM=BA時，過M作⊥Y軸于，BMN△ABO〕，MN=OB=4，BN=OA=2∴ON=2+4=6，的坐標為〔4，6〕，代入y=mx：

32

，②如圖〔2〕當AM，且AM=BA時過作MN⊥X軸于N，eq\o\ac(△,≌)△ANM〔AAS〕，同理求出M的坐為〔，2〕

13

，③當AM⊥BM，且AM=BM時，過M作MN軸于N，MH⊥Y軸，如此BHMeq\o\ac(△,，)AMN∴MN=MH，設M，x〕代入y=mx得x=mx〕∴m=1，答：的值是

3或或2

1．〔3〕解：如圖3，結論2是確的且定值為2，設NM與軸的

交點為，分別過M作x軸垂線垂足為G，HD交MP于D點，

由y=

kkx-與x軸交于H點，∴H2

kkx-與y=kx-2k2

交于M點，∴M〔3，K〕，而A〔20∴A為HG的中點∴△AMG

≌△ADH〔ASA〕，又因為N點的坐標為-1，且在y=

kkx-上，2∴可得N的縱坐標為-K同理且N、D的橫坐標分別為-、1

P的縱坐標為，平行于軸∴N與D關于y軸對稱，∵eq\o\ac(△,≌)AMGeq\o\ac(△,≌)eq\o\ac(△,≌)DPCeq\o\ac(△,，)NPC∴PN=PD=AD=AM∴

PM-PNAM

=2．點評題主要考查對一次函數圖象上點的坐標特征等腰直角角形性質用待定系數法求正比例函數的解析式全等三角形的性質和判二次根式的性質等知識點的理解和掌握綜合運用這些性質展推理和計算是解此題的關鍵．5.如圖，直線AB交X軸負半軸B〔m，0，交Y負半軸于A〔0，m〕，OC⊥AB于C〔-2，-2。(1求m的值；直線AD交OC于，交于，過作BF⊥AD于F,假如OD=OE，求

的值；(3如圖P為x軸上B點左側任一點，以AP為邊等腰直角APM，其中PA=PM，直線MB交y軸，當P在x軸上運動時，線段OQ長是發生變化？假如不變，求其值；假如變化，說明理由。解答：〕設直線AB的方程為y=kx+m，將點〔〕代入方程得k=-1，如此方程可寫為y=再將點C(-2,2)代入方程得2＝(-1)×(-2)+m,m=-4/

word過作OB的垂線，垂足GOA等腰直角三角形45CGO,都是等腰直角三形CG〔2〕直線AD交OC于D，交軸于E，過B作BF⊥AD于F,假如OD=OE，求的值；FAH（同角的余角相等）OEODE，ODE對頂角相等ADC在AFB和中（公共邊）BAF已證)AFB（ASA）BF全等三角形對應邊相等)在和中，EAO（已證）（已知）90BOHAOE（ASA）（全等三角形對應邊相等）BHBFBH

BFBF1AEBH2〔3〕如圖，P為x軸上B點左側任一點，以為邊作等腰直角△APM，其中，直線MB交y軸于Q，當P在x軸上運動時，線OQ長是否發生變化？假如不變，求其值；假如變化，說明理由。/

word線段OQ的長度不變如圖，過P作x軸的垂線交的延長線為N，PM=PA,PB=PN,∠NPA=∠BPM,△NPA≌△BPM〔邊角邊〕，如此有∠=∠PAN=∠PAB，由題意可知∠OAB=，∠OAP+∠APO=∠OAB+∠PAB+∠APB=90°＝∠，在△PMB中∠PMB+∠MBP+∠=∠PMB+∠MBP+∠MPA+∠APB=180°∠PMB+∠MBP+∠MPA=90°∠MBP=90°-∠PMB-∠PAB-∠APB=90°-(90°-∠OAB)＝45°所以∠MBA=180°-∠ABO-故直線MB與直線AB互相垂直，所以線段值不變〔直線AB固定〕。向左轉|向右轉/

6.在平面直角坐標系中，一次函的圖像過點〔-1

52

〕，與x軸于點A〔4,0〕，與y軸交于點C，與直線y=kx交于點P，且）求a+b的值；〔2〕求k的值）〔3〕為上一點DF⊥于點F，交OP于點E，假如DE=，求D點坐標考點一次函數與二元一次方程〔組〕．專題計算題；數形結合；待定系數法．分析〔1根據題意知，一次函數y=ax+b的圖象過點B〔-1，52

〕和點〔4〕，把A代入值即可〔2設〔x，y〕，1根據PO=PA，列出方程，并與y=kx成方程組，解方程組；〔3〕設點D〔x，-x+2〕，因為E在直2y=

1x上，所以E，x〕，F〔x，0，再根據等量關系DE=2EF列方程求解．2解答解：〔1根據題意得：52

=-a+b0=4a+b解方程組得a=

1，b=2+2=，即a+b=；〕設〔x，y，如此點P即在一次函22數y=ax+b上，又在直線y=kx上由〕得：一次函數y=ax+b的解析式是y=-x+y=(4-x)+yy=kx

12

x+2，又∵PO=PA，∴y=

11x+2，解方程組得：x=2，y=1，k=∴k值是；〕設點D〔x，-x+2〕，如此E，x〕，222113F〔x，0〕，∵DE=2EF，∴-x+2-x=2×，解得x=1如此x+2=-×1+2=，〔1〕222點評此題要求利用圖象求解各問題，要認真體會點的坐標，一函數與一元一次方程組之間的內在聯系．/

7.

word在直角坐標系中，B、A分別在x，y上，B的坐標為〔3，0〕，∠ABO=30°，AC平分∠OAB交x軸于C；(1)求C的坐標(2假如D為AB中點，，證明：CE+CF=OC(3)假如D為AB上一點，以作△DEC，使DC=DE，∠EDC=120°，連BE，試問∠的度數是否發生變化；假如不變，請求值。.在直角坐標系中B、A分別在x軸上B的坐標為3，0〕，∠ABO=30°，AC平分∠OABx軸于C；解：

∵

∠AOB=90°∠ABO=30°∴

∠OAB=30°又

∵

AC是∠OAB的角平分線∴∵

∠OAC=∠CAB=30°OB=3∴

OA=

OC=1即C(1，0)（1）假如D為AB中點∠EDF=60°明CE+CF=OC證明：取CB中點H，連CD,DH∵∴

AO=AC=2

3

CO=1又

∵

D,H分別是AB,CD中點∴

DH=

12

AB=2∵∴∵∴∵

1DB=AB=BC=2∠ABC=30°2BC=2CD=2∠CDB=60°CD=1=DH∠EOF=∠EDC+∠CDF=60°∠CDB=∠CDF+∠FDH=60°∠EDC=∠FDHAC=BC=2∴⊥AB°∵∠°∴∠°∵∴

HD=HB=1∠DHF=60°在△DCE和△DHF中∠EDC=∠∠DCE=∠/

wordDC=DH∴eq\o\ac(△,≌)△DHF(AAS)∴CE=HF∴CH=CF+FH=CF+CE=1OC=1∴CH=OC∴OC=CE+CF（2）假如D為AB上一點，以作△DEC，使DC=DE∠EDC=120°，連試問∠的度數是否發生變化；假如不變，請求值。解：不變∠EBC=60°設DB與CE交與點GDC=DE∠EDC=120°∴

∠DEC=∠DCE=30°eq\o\ac(△,在)DGC和△DCB中∠CDG=∠BDC∠DCG=∠DBC=30∴△DGC∽△DCB∴

DB=DGDCDC=DE∴

DEDB=DG在EDG和BDE中DE=DG∠EDG=∠BDE∴△EDG∽△BDE∴

∠

DEG=∠DBE=30°∴

∠

EBD=∠

∠DBC=60°8.如圖，直線AB交x正半軸于點〔，0，交y軸正軸于點B〔0，b，且a、b滿足4

+－|=0〕求AB點的坐標；〕為OA的點，連接，過點作⊥BD于F，交于E，求證∠=∠EDA；/

yB

MEF

P

xD

A〕如圖，為x軸上A點右任意一點，以BP為邊作等

腰Rt△，其中=PM，直線交軸點，當點在x軸上運動時，線段OQ的長是否發生變化？如不變，求其值；假如變化，求段OQ的取值X圍解答解：①∵a

+|4-b|=0∴a=4，∴A，0，B〔0，4；〕作AOB的角平分線，交BD于G，∴∠BOG=∠OAE=45°，OB=OA∠OBG=∠AOE=90°-∠BOF∴△OAE，．∵∠GOD=∠A=45°，OD=AD∴GODeq\o\ac(△,．)∴∠ADE〔3〕過作軸，垂足為N．∵∠BPM=90°，MPN=90°∵∠AOB=∴∠BPO=∠PMN∵∴eq\o\ac(△,≌)△MPN，PN=AO=BO，OP=OA+AP=PN+AP=AN∴MN=AN，MAN=45°∵∠BAO=45°∴∴△BAQ是腰直角形．∴OB=OQ=4．∴無論P點怎么動OQ的不變．點評〔1考查的是根式和絕對值的性質．〔2〕考查的是全等判定和性質．〕此題靈活考的是全等三角形的判定與性質，還三角形的性質．9.如圖，平面直角坐標系中，點、分別、軸上，點1)，∠=30°）求的長度；〕以為邊作等ABE作的垂直平分線交點D．求證：=OE．〕在〔〕的條件下，連結DE交AB于．求證：為DE

eq\o\ac(△,≌)BOG∠GDO=∠BP=MP，∠三角角形的有特殊B的坐標為0，的垂線于的中點．/

wordyB

F

x

D考點全等三角形的判定與性質；線段垂直平分線的性質；等邊角形的性質；含30度角直角三角形．專題計算題；證明題．分析〔1直接運用直角三角形30°角的性質即可．〕連接，易證△ADO為邊三角形，再證ABD≌△AEO即可．〕作EH⊥AB于H先證ABO≌△AEH得AO=EH，再證△≌即可．解答〔1解：∵在Rt△ABO中，∠BAO=30°，∴AB=2BO=2；〔2證接OD，∵△ABE為等邊三角形，，∠EAB=60°∵∠BAO=30°，的垂直平分線MN交AB的垂線AD于D∠DAO=60°∠EAO=∠NABDO=DA∴△ADO為等邊三角形在△與△中∵AB=AE，EAO=∠NAB，DA=AO∴eq\o\ac(△,≌)eq\o\ac(△,．)∴BD=OE．〔3證明：作EH⊥AB于H．∵AE=BE，∴

明作OA又∵∠AH=

11AB，AB，，在Rt△AEHRt△BAO中AH=BO，22

AE=AB∴Rt△AEH≌Rteq\o\ac(△,，)∴EH=AO=AD又∵∠EHF=∠DAF=90°在△HFEAFD中∠EHF=∠DAF∠EFH=∠DFAEH=AD∴HFEeq\o\ac(△,，)AFD∴EF=DF∴DE的中點．點評題主要考查全等三角形與等邊三角形的巧妙結合，段相等．

與△F為來證明角相等和線10.如圖直線y=

x+1分別與坐標軸交于A、B兩點在y

軸的負半軸上截取OC=OB.(1)求直線AC的解析式；(2)在x軸上取一點D〔-1〕過點做AB的線，垂F，交y軸于點G，求F點的坐；

足為E交AC于點/

(3過點B作的平行線BM，過O作直線y=kx〔k〕，分別交直線AC、BM于點H、I，試求的值。

AHAB解：(1)∵直線y=

x+1分別與坐標軸交于A、B兩∴可得點A坐標為〔-3〕，標為0，1∵OC=OB∴可得點坐標為〔0，-1〕設直線AC的解析式為將A，0〕〔0，-1〕代解析式且b=-1

-3k+b=0可得k=-

，

b=-1∴直線

AC的解析式

為

y=

x-1(2)在x點D過點D線足解：∵GE⊥AB

軸上取一〔-1，做AB的垂為E，交AC于點F，交軸于，求點的標；∴∴

kk

EGGE

設直線GE的解析式為

將點D坐標〔，0〕代入，得

∴

'

∴直線GE的解析式為y=-3x-3聯立y=

與y=-3x-3，可求出，將其代入方程可得y=

4

，∴F點的坐標為〔

4

，

4

〕(3)過點B作AC的平行線BM，過直線＞0，分別交直線AC于點H