平行四邊形一.選擇題（共10小題）.如圖，A、B兩地被池塘隔開，小康通過下列方法測出了 AB間的距離：先在AB外選一他點C,然后測出ACBC的中點MN,并測量出MN的長為18m^由此他就知道了A、B間的距離.下列有關他這次探究活動的結論中，錯誤的是（ ）ACD.30°D.ACD.30°D.4個)D.6.5A.AB=36m B.MNAB C.MN=--CB2.平行四邊形兩鄰角的平分線相交所成的角的大小是（ ）A.90° B.60° C.45°.下列不能判定一個四邊形是平行四邊形的是（ ）A.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形B.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形C.一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形D.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.下列說法正確的有（ ）①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；②平行四邊形的對角互補；③平行線間的線段相等；④兩個全等的三角形可以拼成一個平行四邊形；⑤平行四邊形的四內角之比可以是 2:3:2:3.A.1個 B.2個 C.3個.直角三角形中，兩直角邊分別是 12和5,則斜邊上的中線長是（A.34 B.26 C.8.5.如圖，在菱形ABCDK/BAD=120°,點A坐標是（-2,0）,則點B坐標為（ ）分A.(0,2)(0,詹)(0,1)(0,能).下列說法中，錯誤的是（A.平行四邊形的對角線互相平分B.對角線互相垂直的四邊形是菱形C.菱形的對角線互相垂直D.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.如圖，在^ABC^,BBAO分A.(0,2)(0,詹)(0,1)(0,能).下列說法中，錯誤的是（A.平行四邊形的對角線互相平分B.對角線互相垂直的四邊形是菱形C.菱形的對角線互相垂直D.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.如圖，在^ABC^,BBAO90°,AB=8,AC=6,M為BC上的一動點,MELAB于E,MFLAC于F,N為EF的中點，則MN勺最小值為（A.4.8 B,2.4C.2.5D.2.69.如圖，兩把完全一樣的直尺疊放在一起,重合的部分構成一個四邊形， 這個四邊形A.矩形 B.菱形C.正方形 D.無法判斷)紙片ABEF.把一張長方形紙片ABC或如圖方式折一下，就一定可以裁出（A.平行四邊形 B.菱形C.矩形D.正方形.填空題（共8小題）.如圖，在平行四邊形ABCDh/BC4口/ABC勺平分線分別交AD于E、F兩點，AB=6,BC=10,則EF的長度是.金￡F口.如圖，四邊形ABCD勺對角線交于點O,從下列條件：①AD//BC②AB=CD③AO=CQ④ZABC.(填寫一組=/ADC^選出兩個可使四邊形ABC.(填寫一組序號即可)2的紙條重疊在一起，使/ABC=45°,則四邊形ABCD勺面積為.如圖，矩形ABC珅，AB=20cm^BC=4cmi點P從A開始沿折線A-B-C-D以4cMs的速度運動，點Q從C開始沿CD邊以1cm/s的速度移動，如果點PQ分別從A、C同時出發，當其中一點到達D時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t(s),當t=時，四邊形APQD也為矩形.R J—U.如圖，在平行四邊形ABC由，AB=8,/BAD勺平分線與BC的延長線交于點E,與DC^于點F,且點F為邊DC的中點，DGLAE垂足為G,若DG=3,則AE的邊長為.

.在？ABCW,AE平分/BA位邊BC于E,DUAE交邊BC于F,若AD=10,EF=4,則AB=.矩形ABCDgCEFG如圖放置，點RCE共線，點CDG共線，連接AF,取AF的中點H,連接GH若BC=EF=4,COCE=2,則GH=..如圖，正方形OAB@直角坐標系中，點B(-2,2),點D為BC的中點，點E在線段OC±運動，射線ED交AB延長線于點F,設E(0,t),當^AEF是以AE為腰的等腰三角形時，點 E的三.解答題(共7小題).如圖，在^ABC中，已知AB=6,AC=10,AD平分/BACBD￡AD于點D,E為BC中點.求DE的長..在？ABCDK點E在CDi上，點F在AB邊上，連接AECRDEBg/DA昆/BCF(1)如圖1,求證：四邊形DFB既平行四邊形；(2)如圖2,設AE交DF于點G,BE交CF于點H,連接GH若E是CD邊的中點，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中以 GH為邊或對角線的所有平行四邊形.

N在邊AD上，且N在邊AD上，且AM=DN求證:BN=CM.如圖，在正方形ABCDK點M是對角線BD上的一點，過點M作ME/CD交BC于點E,彳MF//BC交CN點F.求證：AM=EF.23.已知，如圖，/ABC=ZADC=23.已知，如圖，/ABC=ZADC=90°,點E、F分別是ACBD的中點,AC=10,BD=6.(1)求證：EF±BD(2)求EF的長..如圖，在^ABC中，/ACB=90°,CD為AB邊上的中線，過點D作DELBC于E,過點C作AB的平行線與DE的延長線交于點F,連接BF,AE(1)求證：四邊形BDC叨菱形；2(2)若四邊形BDC附面積為24,tan/EAC=r,求CF的長.

.如圖，在平行四邊形 ABCDK過點D作DaBC交BC于點E,且DEAQ F為DC上一點，且AD=FD,連接AF與DE交于點G(1)若/C=60°,AB=2,求GF的長;(2)過點A作AHLAQ且AH=CE求證：AB=DGAH第《18章平行四邊形》單元測試題參考答案與試題解析一.選擇題（共10小題）.【分析】根據三角形的中位線定理即可判斷；【解答】解：=CM=MACNB?.MN/ABMN=1-AB￡???MN=18rmAB=36m,故A、RD正確，故選：C.【點評】本題考查的是三角形的中位線定理在實際生活中的運用，鍛煉了學生利用幾何知識解答實際問題的能力..【分析】根據平行四邊形的性質得到/DAB/ABC=180。，由角平分線可得/BAO/ABO90。，根據三角形的內角和定理得/AOB=90。，即可得到所選選項.【解答】解：？ABCD勺/DAB勺平分線和/ABC勺平分線交于O,??/DAB/ABC=180,DDAO=/BAO==/DAB/ABO=/CBO=—ZABC?BA。/ABO=90,AOB=180°-90°=90°.故選：A.B C【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質，角平分線的定義，三角形的內角和定理等知識點，能綜合利用性質進行證明是解此題的關鍵..【分析】根據平行四邊形的判定：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑤一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可選出答案.【解答】解：根據平行四邊形的判定定理， A、B、D均符合是平行四邊形的條件， C則不能判定是平行四邊形.故選：C.【點評】此題主要考查學生對平行四邊形的判定的掌握情況.對于判定定理：“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.”應用時要注意必須是“一組”，而“一組對邊平行且另一組對邊相等”的四邊形不一定是平行四邊形..【分析】根據平行四邊形的判定定理以及性質定理即可判斷.【解答】解：①正確；②平行四邊形的對角相等，命題錯誤；③平行線間的平行線段相等，命題錯誤；④正確；⑤正確.故選：C.【點評】本題考查了平行四邊形的判定定理以及性質定理，正確理解定理的內容是關鍵..【分析】利用勾股定理列式求出斜邊，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答.【解答】解：由勾股定理得，斜邊= 好=13,所以，斜邊上的中線長=yx13=6.5.故選：D.【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，勾股定理，熟記性質是解題的關鍵..【分析】根據菱形的性質可得/OA屋亍/BAD=60。，/AO990。，解直角△AOB求出OB即可得到點B坐標.【解答】解：二.在菱形ABCDK/BAD=120°,點A坐標是（-2,0）,.ZOAB=yZBAD=60,ZAOB=90,在直角^AOE^,.OA=2,:.OB=OAtan/OA庠2乂近=2/5,.??點B坐標為（0,2-/3）.故選：D.【點評】本題考查了菱形的性質，掌握菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組

對角是解題的關鍵.也考查了銳角三角函數定義，坐標與圖形性質..【分析】根據平行四邊形和菱形的性質對各個選項進行分析從而得到最后答案.【解答】解：根據平行四邊形和菱形的性質得到 ACD勻正確，而B不正確，因為對角線互相垂直的四邊形也可能是梯形.故選：B.【點評】主要考查了平行四邊形和特殊平行四邊形的特性，并利用性質解題.平行四邊形基本性質：①平行四邊形兩組對邊分別平行；②平行四邊形的兩組對邊分別相等；③平行四邊形的兩組對角分別相等；④平行四邊形的對角線互相平分.菱形的特性是：四邊相等，對角線互相垂直平分..【分析】過點A作AMLBC于點M,根據勾股定理求出BC的長，再由三角形的面積公式求出AM的長.根據題意得出四邊形AEM尾矩形，故可得出AM=EF,MN=‘AM當MNt小時，AMM短,此日M與M重合，據此可得出結論.【解答】解：過點A作AMLBC于點M,?.在△ABC^,/BA住90,AB=8,AO6,，AM8X6，AM8X6消一下.MELAB于E,MFLAC于F,，四邊形AEMF1矩形,11，AM=EF,MN=AMz，當mnK小時，AMM短，此時點吊與吊7重合,MN=—AM/I=￥=2.4.故選：B.故選：B.【點評】本題考查了矩形的性質的運用，勾股定理的運用，三角形的面積公式的運用，垂線段最短的性質的運用，解答時求出AM的最小值是關鍵..【分析】由條件可知AB//CDAD//BC再再證明AB=BC即可解決問題.【解答】解：過點D作DHAB于E,DF，BC于F.???兩張長方形紙條的寬度相等,DE=DF又?.?平行四邊形ABCD［勺面積=AB?DE=BC?DFAB=BC，平行四邊形ABCD；菱形.故選：B.【點評】本題考查了菱形的判定，解題的關鍵是學會添加常用輔助線， 構造全等三角形解決問題,屬于中考常考題型..【分析】根據折疊定理得：所得的四邊形有三個直角，且一組鄰邊相等，所以可以裁出正方形紙片.【解答】解：由已知，根據折疊原理，對折后可得：/ FAB=/B=/AFE=90。，AB=AF,???四邊形ABEF＞正方形，故選：D.【點評】此題考查了正方形的判定和折疊的性質，關鍵是由折疊原理得到四邊形有三個直角，且一組鄰邊相等.二.填空題（共8小題）11.【分析】根據平行四邊形的性質可知/DEC=/ECB又因為CE平分/BCD所以/DCE=/ECB則/DEC=/DCE則DE=DC同理可證AF=AB那么EF就可表示為AF+ED-BC=2AB-BC繼而可得出答案.【解答】解：二.平行四邊形ABCD./DEC=/ECB又CE平分/BCD./DCE=/ECB??.ZDEC=/DCE.DE=DC同理可證：AF=AB2AB-BC=AF+EDD-BC=EF=2.故答案為2.【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質，在平行四邊形中，當出現角平分線時，一般可構造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質解題，難度不大，關鍵是解題技巧的掌握..【分析】根據AD/BC可得/DAO=/OCB/ADO=/CBQ再證明^AO屋△COBU*彳導B0=DO然后再根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得答案.【解答】解：可選條件①③，.AD//BC/DAO=/OCB/ADO=/CBO在△AO麗△COBKrZAD0=Z0BCZDAOZOCB,IA0=C0?.△AOD^ACOB(AAS,DO=BO.??四邊形ABCD1平行四邊形.故答案為：①③.【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定， 關鍵是掌握對角線互相平分的四邊形是平行四邊形..【分析】根據折疊的性質易知，重合部分為菱形，然后根據菱形的面積公式計算即可.【解答】解：如圖，過點A作AE!BC于點E,AF±。廿點F.則AE=AF=2..?紙條的對邊平行，即AB//CDAD//BC??四邊形ABCD1平行四邊形，??兩張紙條的寬度都是2,S四邊形abcd=BCX2=CD<2,BC=CD??平行四邊形ABCDI菱形，即四邊形ABCD1菱形.??四邊形ABCD勺面積為2T32亞乂烏=&亞.【點評】本題主要考查菱形的性質和特殊角的三角函數值，通過折疊變換考查學生的邏輯思維能力，解決此類問題，應結合題意，最好實際操作圖形的折疊，易于找到圖形間的關系..【分析】四邊形APQE矩形，也就是AP=DQ分別用含t的代數式表示，解即可.【解答】解：根據題意，當AP=DQ寸，四邊形APQM矩形.此時，4t=20-t,解得t=4(s).故答案是：4.【點評】本題考查了矩形的判定與性質.此題利用了矩形的對邊相等的性質進行解題的..【分析】由平行四邊形的性質和角平分線證出 AD=DF,由F為DC中點，AB=CD求出AD與DF的長，得出三角形ADF為等腰三角形，根據三線合一得到 G為AF中點，在直角三角形ADG3^,由AD與DG的長，利用勾月^定理求出AG的長，進而求出AF的長，再由AAS證明AD售△ECF全等，得出AF=EF,即可求出AE的長.【解答】解：:AE為/DAB勺平分線，/DAE=/BAE.DC/AB???/BAE=/DFA/DAE=/DFA.AD=FQ又F為DC的中點，DF=CF：1|AD=DF=4-DG=4-AB=4,z2在Rt△AD曲，根據勾股定理得：AG= ，則AF=2AG=2\/7,???平行四邊形ABCDK.AD//BC/DAF=/E,/ADF=/ECFrZDAF=ZE在AAD時AECF中，ZAJDF=ZECF,t師二CF?.△ADBAECF(AAS,?.AF=EF,則AE=2AF=2X2/7=4/7,故答案為：4.；【點評】此題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，等腰三角形的判定與性質；熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證明三角形全等是解本題的關鍵.16.【分析】根據平行線的性質得到/ADF=/DFC根據角平分線白^定義得到/BAE=/DAE推出

AB=BE根據已知條件推出/ADF=3~/ADC得到/DFC=/CDF推出CF=CD于是得到結論.【解答】解：①如圖1,在？ABCW, BC=AD=10,BC/ADC氏ABCD/AB/DAE=/AEB/ADF=/DFC?AE平分/BA汝BC于點E,/BAE=/DAE/BAE=/AEBAB=BE??DF!AE?/DAE■/ADF=90,/BAD■/ADC=180,./ADF=yZADC./ADF=/CDF./ADF=/DFC./DFC=/CDFCF=CD.AB=BE=CF=CD.EF=4,BC=BRCF-EF=2AB-EF=2AB-4=10,AB=7;②如圖2,在？ABCDK BC=AD=10,BC//ADCD=ABCD//AB

???/DAE=/AEB/AD已/DFC.AE平分/BA或BC于點E,/BAE=/DAE/BAE=/AEBAB=BE??DF!AE?/DAE■/ADF=90,/BAD■/ADC=180,./ADF=yZADC./ADF=/CDFADF=/DFC/DFC=/CDFCF=CDAB=BE=CF=CDEF=4,BC=BEn+EF+CF=2A9EF=2ABM=10,AB=3;綜上所述：AB的長為7或3.故答案為：7或3. Q5FEC都,【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質，平行線的性質，平行四邊形的性質，解答本題的關鍵是判斷出AB=BE=CF=CD.【分析】延長G股AD于點P,先證^AP由AFGH導A鼻GF=2,GhkP+—P(G再利用勾股定

理求得PG=26，從而得出答案.【解答】解：如圖，延長G陵AD于點P,???四邊形ABC加四邊形CEF雨是矩形，?./ADG=/ADG=ZCGF=90,AD=BC=4、G曰CE=2,.AD//GF/GFH=/PAH又H是AF的中點，AH=FH在△APHF口△FGH43,rZPAH=ZGFK:NFHG.△APHPAFGIH(ASA,.AP=GF=2,PH=HG=-1lPG.PD=AD-AP=2,GD=GOCD=4-2=2gp=7gd2^pd?=2V2g^-gp=-：故答案為：'■：【點評】本題主要考查矩形的性質，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定與性質、矩形的性質、勾股定理等知識點..【分析】由ASAffi明△DB降^DCE得出BF=CE=2-t,得出AF=AB^BF=4-t,即可得出點F的坐標；分兩種情況：①當 AE=AF時，根據勾股定理得出AE^OA+OE,得出方程22+t2=(42"-t)：解萬程即可求出t的值；②當AE=EF時，點E在AF的垂直平分線上，得出OE=;tAF,IPt=—(4-t),解方程即可求出t的值，從而求解.

【解答】解：（1）.??四邊形OABO正方形，OAAB=BC=OC2,/AO仔/ABG=/BCO=90?./FBD=90,?.D是BC的中點，BD=CD在△DBF^△DC計，「NDEF二NDCE二90"4BD二CD ,[NBDF二NCDE.△DBF^△DCE（ASA,BF=CE=2-t,AF=A&BF=4-t,?.D的坐標為（-2,4-t）,當AAEF是以AE為腰的等腰三角形時，分兩種情況:①當AE=AF時，??aE=oA+oE,.??22+t2=（4-t）之,解得：t=1.5;②當AE=EF時，點E在AF的垂直平分線上,??OE=-AF,即t=七（4一t）,4解得：t=y.綜上所述：當^AEF是以AE為腰的等腰三角形時，點綜上所述：當^AEF是以AE為腰的等腰三角形時，點4E的坐標是（0,1.5）或（0,不）故答案為:0,1.5）或（0,【點評】考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、等腰三角形的性質等知識;本題綜合性強，有一定難度，需要進行分類討論才能得出結果.三.解答題（共7小題）19.【分析】延長BD與AC相交于點F,根據等腰三角形的性質可得 BD=DF,再利用三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得 DE=-CF然后求解即可.【解答】解：如圖，延長BgAC相交于點F,.ADW/BACBCLAD/DAB=/DAFADD=AQ/ADB=/ADF. AD望AADF.AF=ABBD=DFAB=6,AC=10,，CF=AC-AF=AC-AB=10-6=4,?.E為BC中點,??口￡是^BCF的中位線，DE=—CF=—X4=2.2 2【點評】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，等腰三角形的判定與性質，作輔助線構造出以DE為中位線的三角形是解題的關鍵.20.【分析】（1）由平行四邊形的性質得出AB//CD/ADE=/CBFAD=BC由ASAffi明△AD電△CBF得出DE=BF,即可得出四邊形DFB既平行四邊形；（2）由中點的定義得出DE=CE由平行四邊形的判定方法即可得出平行四邊形.【解答】（1）證明：二?四邊形ABCD1平行四邊形，AB//CD/ADE=/CBFAD=BC在△ADE^△CBF中，rZADE=Z€BF，AD二BC ,、ZDAE=ZBCF?.△ADE^ACBI3（ASA,DE=BF,又..DE//BF,???四邊形DFB國平行四邊形;(2)解：E是CD的中點,DE=CE???以GH為邊的平行四邊形有平行四邊形 GHFA平行四邊形GHBF平行四邊形GHED平行四邊形GHCE以GH為對角線的平彳T四邊形有GFHE【點評】本題考查了平行四邊形的性質與判定、全等三角形的判定與性質；熟練掌握平行四邊形的性質，證明三角形全等得出DE=BF是解決問題(1)的關鍵..【分析】由矩形的性質可得出BA=CD/A=/D,由AM=DN可得出AN=DM進而即可證出△AB隼△DCMSAS,根據全等三角形的性質可證出 BN=CM【解答】證明：.「四邊形ABC時矩形，BA=CD/A=/D..AM=DN?.AN=DM‘但DC在△ABN^△DCh^,ZA=ZD,,AN二DM?.△ABN^ADCIM(SAS,BN=CM【點評】本題考查了矩形的性質以及全等三角形的判定與性質，利用全等三角形的判定定理 SAS證出△AB降△DCM!解題的關鍵..【分析】延長EgAD^點P,延長FM交AB于點Q根據正方形的性質可得出：四邊形PMFDBEMQ正方形，四邊形AQMPMEC的矩形，進而可得出AQ=FMQM=ME結合/AQM=ZFME=90°即可證出^AQMJAFMECSAS,再利用全等三角形的性質可證出 AM=EF.【解答】證明：延長EM交AD于點P,延長FM交AB于點Q如圖所示.???四邊形ABC時正方形，點M為對角線BD上一點，???四邊形PMFDBEMQ；正方形，四邊形AQMPMECFJ矩形，AOPM=FMQM=ME[域二FM在^AQM口△FME343,*/AQM=/FME二90",[QME??.△AQ陣AFME(SAS,，AM=EF.【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、正方形的性質以及矩形的性質，利用全等三角形的判定定值SAS證出△AQ腓△FME是解題的關鍵..【分析】（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可求 BE=DE,根據等腰三角形的性質，可得結論；（2）根據題意可得BE=5,BF=3,根據勾股定理可求EF的長【解答】證明：（1）連接BEDE??./ABG=/ADG=90°,點E是AC的中點,BE=，-ACDE=--ACzzBE=DE???點F是BD的中點，BE=DEEF±BDBE=%CBE=5???點F是BD的中點?.BF=DF=3在Rt^BEF中，EF=Jh￡Z-bfJ后可=4【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的性質，勾股定理,熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是本題的關鍵..【分析】（1）求出四邊形ADFO平行四邊形，推出CF^AD=BQ根據平行四邊形的判定得出四邊形BDCF1平行四邊形，求CD=BD根據菱形的判定得出即可；（2）設CE2x,AC=3x,求出BC=4x,DF=AC=3x,根據菱形的面積公式求出x,求出EF和CE根據勾股定理求出CF即可.【解答】（1）證明：DELBC/ACB=90°,./BED=/ACBDF//ACCF//AB，四邊形ADFC1平行四邊形，.AD=CF?.D為AB的中點，.AD=BDBD=CF.BD//CF??四邊形BDC匿平行四邊形，?./ACB=90°,D為AB的中點，DC=BD，四邊形BDCF1菱形；(2)解:..設CE=2x,AC=3x,.?.四邊形BDCF1菱形,BE=CE=2