第二章量子力學初步

關于經典理論的“危機”和它的維護者所持的態度，有一個事例，被人們作為典型經常引證，這就是開爾文的“兩朵烏云”。開爾文在19世紀后半葉，對經典物理學作過許多貢獻。1900年，這時他已76歲了，是一位德高望重的物理學界老前輩。這一年4月27日，他在英國皇家研究所（RoyalInstitution）發表了一篇講演①，題為：《在熱和光動力理論上空的19世紀烏云》，開頭的一段話是這樣說的：

“動力學理論斷言熱和光都是運動的方式，現在這一理論的優美性和明晰性被兩朵烏云遮蔽得黯然失色了。第一朵烏云是隨著光的波動論而開始出現的。菲涅耳和托馬斯·楊研究過這個理論，它包括這樣一個問題：為什么地球能夠穿過本質上是光以太這樣的彈性固體而運動呢？”

開爾文回顧了以太的各種學說，并闡述了自己的看法。他認為菲涅耳和托馬斯·楊的學說不能完滿解釋與以太有關的各種現象，物體在以太中，必然跟以太有相互作用。“如果把以太看成是可伸可縮的固體，就不難回答這一問題。我們只要假設原子對以太會產生力，靠這個力的作用，在原子占據的空間（以太）被濃縮和稀釋。”他肯定了費茲杰惹和洛侖茲的收縮假說，認為已經擺脫了困境，邁克耳遜莫雷實驗的“結果不能否定以太通過地球所占空間的自由運動。”

不過，開爾文并不因此而表示樂觀，他宣稱：“恐怕我們還必須把第一朵烏云，看成是很稠密的。”第二章量子力學初步

接著，開爾文以大量篇幅討論第二朵烏云，這是指的能量均分原理遇到了麻煩。他認為這朵烏云應該驅散，二十多年來，麥克斯韋、玻爾茲曼、瑞利等人總希望維護能量均分原理，“避免破壞普遍結論的簡單性。”但是實際上不可能有這種簡單性。開爾文提到他自己就在十年前向能量均分原理提出過質疑。經過一番論證之后，開爾文宣稱：“要達到所需結果，最簡單的途徑就是否定這一結論，這樣就可以在20世紀開始之際，使這朵烏云消失。”

有人說，開爾文關于兩朵烏云的演講預見到物理學正醞釀著一場偉大的革命。這種說法恐怕不大符合事實，但是他這篇演講確實反映了當時物理學家的普遍情緒，認為物理學正處于危機之中。

其實，物理學面臨的不是危機，而是一場偉大的革命。實驗上一系列新發現，跟經典物理學的理論體系產生了尖銳的矛盾，暴露了經典物理理論中的隱患，指出了經典物理學的局限性。物理學只有從觀念上、從基本假設上、以及從理論體系上來一番徹底的變革，才能適應新的形勢。

由于這些變革，物理學面臨大發展的局面，請看：(1)電子的發現，打破了原子不可分的傳統觀念，開辟了原子物理學的嶄新領域；(2)放射性的發現，導致了放射學的研究，為原子核物理學作好必要的準備；(3)以太漂移的探索，使以太理論處于重重矛盾之中，為從根本上拋開以太存在的假設、創立狹義相對論提供了重要依據；(4)黑體輻射的研究導致了普朗克黑體輻射定律，由此提出了量子假說，為量子理論的建立打響了第一炮。

總之，在世紀之交的年代里，物理學處于新舊交替的階段。所謂新舊交替，并不是指舊的經典物理學完全被新的物理學取代，而是指物理學在原有的基礎上擴展，從低速宏觀的領域擴展到高速和微觀的領域。對于低速宏觀的領域，經典物理學仍然是有效的。第二章量子力學初步

2.1量子力學的基本原理(PrinciplesofQuantumMechanics)

能量量子化原理波粒二相性原理不確定原理

2.1量子力學的基本原理能量量子化(EnergyQuanta)經典物理學只要光的強度足夠大，電子就可以克服材料的功函數從表面發射出去，而該過程與照射光的頻率無關；光電效應實驗在恒定光強的照射下，光電子的最大動能隨著光頻率呈線性變化；低于某極限頻率將不會產生光電子。2.1量子力學的基本原理能量量子化(EnergyQuanta)1900年Planck提出了加熱物體表面發出的熱輻射是不連續的假設，即量子；E=hn1905年Einstein提出了光波也是由分立的粒子組成的假設；這種粒子化的能量叫光子，E=hn光電子的最大動能Tmax=1/2*mu2=hn–hn0(n>n0)2.1量子力學的基本原理波粒二相性(Wave-ParticleDuality)1924年deBroglie提出了存在物質波的假設；光子的動量:P=h/l德布羅意波長:l=h/p1927年DavissonandGermer實驗2.1量子力學的基本原理不確定原理(TheUncertaintyPrinciple)1927年Heisenberg不確定原理;共軛變量:粒子的坐標與動量、能量與時間；不確定關系式：既然不確定原理的一個結論是無法確定一個電子的準確坐標，我們就將其替代為確定某個坐標位置可能發現電子的概率；概率密度函數ΔpΔx≥h/2π

ΔEΔt≥h/2π

2.2薛定諤波動方程(Schrodinger’sWaveEquation)一維非相對論的薛定諤波動方程為波函數，V(x)為與時間無關的勢函數，m是粒子的質量

＝

2.2薛定諤波動方程左邊只是坐標x的函數，右邊只是時間t的函數；引入分離變量常數其中E=hn=h/22.2薛定諤波動方程與時間無關的項

分離常量是粒子的總能量E，m為粒子的質量，V（x）為粒子所在的勢場。2.2薛定諤波動方程1926年MaxBorn假設是某一時刻在x與x+dx之間發現粒子的概率；為概率密度函數；2.2.2波函數的物理意義

波函數用來描述晶體中的電子狀態，整個波函數是與坐標有關的函數和與時間有關的函數的乘積。與時間無關的概率密度函數2.2薛定諤波動方程2.2.3邊界條件

由于代表概率密度函數，因此，對單個粒子來說必須滿足：

如果粒子的能量E和勢函數V(x)在任何位置均為有限值，則要求波函數及其導數符合以下條件：條件1必須有限、單值和連續；條件2必須有限、單值和連續；

2.3薛定諤波動方程的應用如果沒有任何外力作用于粒子，則勢函數V(x)為常量，且E>V(x)；假定V(x)＝02.3.1自由空間中的電子（ElectroninFreeSpace）微分方程的解：

2.3薛定諤波動方程的應用2.3.1自由空間中的電子整個波動方程的解是：該解是一個行波，即自由空間中的粒子運動表現為行波。其中系數為A的第一項是方向為+x的波，而系數為B的第二項是方向為-x的波。系數的值可由邊界條件確定。2.3薛定諤波動方程的應用2.3.1自由空間中的電子假設某一時刻，有一個沿+x方向運動的粒子，可以描述為+x方向的行波，而系數B=0。該行波的表達式可寫為：其中k為波數，即：k=2π/λ其中在一定區域的自由粒子可以用一個波包表示，波包由若干不同動量或不同k值的波函數疊加而成。2.3.2無限深勢阱（TheInfinitePotentialWell）無限深勢阱中的粒子問題是束縛態粒子的典型例子.假設粒子存在于區域Ⅱ中，則粒子被局限在有限的區域內。如果E有限，則在區域Ⅰ和區域Ⅲ中波函數必須為零或

因為粒子不可能穿越無限深勢壘，所以在區域Ⅰ和區域Ⅲ中發現粒子的概率為零。2.3.2無限深勢阱在區域Ⅱ中，V=0,與時間無關的薛定諤波動方程為：方程的解可以寫出：2.3.2無限深勢阱由連續性邊界條件在x=0處，有A1=0。在x=a處該方程式當Ka=np時成立，其中參數n為正整數，即n=1，2，3，…。參數n稱為量子數。

K=np/a由歸一化邊界條件n=1，2，3，…2.3.3階躍勢函數假設有粒子流射入到階躍勢壘上，粒子流的運動方向為+x，起始點在x=-∞處。在區域Ⅰ,V=0,(x≤0)2.3.3階躍勢函數在區域Ⅱ中，V=V0。假設E﹤V0

(x≥0)2.3.3階躍勢函數邊界條件為波函數必須保持有限，即系數B2=0(x≥0)A1+B1=A2波函數一階導數連續2.3.3階躍勢函數反射的概率密度函數為定義一個反射系數R作為反射流相對于入射流的比率在區域Ⅰ,R=1表明E﹤V0的粒子流入射到勢壘上將全部被反射回來，粒子不會被吸收或穿過勢壘。在區域Ⅱ中，在E﹤V0的情況下，系數A2不為零，因此，在區域Ⅱ中發現粒子的概率密度函數也不等于零。表明入射粒子有一定的概率會穿過勢壘到達區域Ⅱ中。2.3.4矩形勢壘2.3.4矩