2x2lim x2xx2x22x2x22x2x2

2

,易見當|x|3時，|x23||x 7|x23 |x2x2x22x2x2于是，只要 ,即|x 時，

2成立。取Mmax |x 7故對0,Mmax .對|x|M,

2x2x22x2x2

2x2

11

xx20(02

2arc 2

arc

(x11

11成立，解得1x .取 2

2220, tg()

0,x(1,1),有arc 1

x2x2

x21)0x2x2

x2x2

x22 x21x2x22 x22x2xx2xx2xx2x2x2 x20，取N11，xx2x2x2

lim

x2 x2x2(1)lim(sin1 1cos)

2 cos)x cos)2]2lim(1 sin12sin x]x

sin1cos1x x 1

sin1

11 lim1 xx x x sin lim x2x2x e

1lim(1sinx)2x sin解：lim(1sinx)2xlim[(1sinx)sinx]2x ln(x2xlim xln(x10x ln[x2(111)] 2lnxln(111)limln(xx1)lim lim xln(x10x xln[x10(1

1

10ln

11 ln(1112 2 ln 1

10

ln(1

1 x2lim

ln xx11x21

t1

lim xx21 tt1

t1tlim122t t1 x2xx2x

axb0a與bx2x2x

axb)[x[x2x1axb][x2x1axx2x1axx2x2x1ax成立，從而1a2

12ab0.解得a1,b1.a1,b1時，極限x2x2x

x1a1b1 1 x xx1 0111 lim11=lim11;當x1（限定x0）時，有111,故 lim x1x1 111理得 1,從而有lim 0.即lim lim ,所以 lim11x1

x1

x x1

x x1

x設a1,k0利用

0,

n

x ([x] ([x]0 a a[ a[注意到

0,故 定理知lim

kn xkx證明 在[0,)上一致連續x12x'2x'2x'12x'2x'2x'x'

2

x'xx從而 在[1,)上一致連續。又 在[0,1]連續，從而在[0,1]上一致連續。xxx 在[0,)上一致連續x證明sinx2在[0)

1,0,x1

,xnn2

n,其中正整n充分大使得|

| sinx2sinx210,所以sinx2在[0)上不一致 試舉出定義在Rffx0,1,2f解：令f(x)x(x1)(x2)D(x)，其中D(x)為雷函數，在點x0附近，易(x1)(x2)D(x

limf(x)0

f(0)fx=0點連續。類似fx=1，2點連 xx(n), limf(xn)x0(x01)(x02)(取無理點列{x'

x'xn), limf(x') x3pxq0(p0)證明：考慮f(xx3pxq0.因為

f(x,b0,使得f(b0.

f(x所以a0f(a0c(abf(c0x2即c3pcq0.由p0，對x2x1,因為x1x2 2，2 x2f(x2)f(x1)x2x1p(x2x1)(x2x1)(x2x2x1x1p)(x2x1)(2

1p)1212f(x在[ab上連續，對x[ab]y[a使得至少存在一點[abf()

f(y)

f(x)所以f

0

) 即存在點[ab|f(|min|f(x|0.由題設條件知，在[ab]內存在 a1212y[ab]

f(y) f()f().這與f()是最小 ，所以函數f(x)[a,b]上至少有一個零點12直接法：取x[a,b],f(x)0，根據題中條件，存在x[a,b]，使得f(x) f(x12 12（假設f(x1)0類似地，存在x2[a,b]，使得f(x2) f(x1)（假設f(x2)012 121依次下去，存在{xn}[a,b]，滿足存f(xn) f(xn1) f(x0)（121 nf(xn0limf(x)0n k n在f(f(limnk

)limf k

limf(x0 8． f(x)C[a, 且有界， f sup{f( ，f(a sup{f(x)}a,，使得f1 證明：使得fa fx，取

supfx 2x[

b1 fb fx fxf(a) fxC[a,b]，根據介值定理可知aba,，使f設f(x),g(x)C[0, lim(f(x)g(x))0.證明：函數f(x)在[0,)上一致g(x在[0上一致連續。證明：先設g(x)在[0,)一致連續。0,limf(xg(x0,N0xN|f(x)g(x)|3因為g(x)在[0)一致連續

|xt|

|g(x)g(t)|3f(x在[0N1]20x,t[0,N |xt|

|f(x)f(t)|3令min(121xt，若tx,1）tN1,xN1,因為tx2,|f(xf(t

2）tN1,xN,|f(xg(x因為tx1,所以|g(x)g(t) 3|f(x)f(t)

,|f(t)g(t) (f(x)g(x)|f(t)g(t)||g(x)g(t) f(x在[0,再設f 在[0, —致連續。因為lim(f(x)g(x))0,所limg(xf(x0.g(x在[0,{ylim(xy0時，有limf(xfy0f(xexR 即0,0xyI:|xy|有f(xfy)lim(xy0 述0,N,nN 有|xnyn| 從而 f(xn)f(yn) lim[f(x)f(y)]0 f(xI上非一致連續，即00,0,xyI:|xy|f(x)f(y)取1,x1y1I,|x1y1|1f(x1fy1取

,x2,y2I,|x2y2

有f(x2fy2) 取

,xn,ynI,|xnyn

有f(xnfyn) 從而在區間I上構造出兩個數列{xn}與{yn}.顯然lim(xy0 lim[f(x)f(y)]0,與已知條件.故函數f(x)在區間I上一致連續 f(xII上存在某兩個數列{xn與{ynlim(xnyn0時，有limf(xnfyn0 f(xexRnxnln(n1ynlnn這樣在上構造出兩個數列{xn與{yn1lim(xnynlim[ln(n1)lnnlim 0,但是limf(xnfyn10 f(xexRf(x在區間(a連續并有界。證明：對于任意的數T，可以找到序列{xn滿足limxn，且lim(f(xnT