關于線性代數向量的定義及運算第一頁，共十八頁，2022年，8月28日平面上的向量的全體：任意規定加法和數乘為：易見向量的加法和數乘滿足矩陣的8條運算規律.于是就是平面上全體向量的集合，具有兩個封閉的運算（加法和數乘），這兩個運算適合8條規律.§4.1向量的定義及運算第二頁，共十八頁，2022年，8月28日同樣，（歐式）空間中的向量視為即實數域上所有三維向量的全體.類似地規定向量加法和數乘，加法和數乘運算也適合8條規律.第三頁，共十八頁，2022年，8月28日n維行向量和n維列向量都稱為n維向量(vector)，n維向量常用小寫黑體字母表示.將2、3維向量推廣到n維向量.定義4.1.1由n個數構成的有序數組，記作稱為n維行向量；若記作則稱為n維列向量.稱數為的第i個分量.第四頁，共十八頁，2022年，8月28日例：n維實向量n維復向量第1個分量第n個分量第2個分量例：n-1次代數多項式系數向量n維向量的實際意義：第五頁，共十八頁，2022年，8月28日

時，維向量沒有直觀的幾何形象．例：確定飛機的狀態，需要以下6個參數：飛機重心在空間的位置參數P(x,y,z)機身的水平轉角機身的仰角機翼的轉角所以，確定飛機的狀態，需用6維向量第六頁，共十八頁，2022年，8月28日定義4.1.2設兩個向量則稱向量α與β相等，記作α=β.（1）如果它們對應的分量分別相等，即（3）數量乘法：k為實數，稱向量（2）加法：稱向量為α與β的和，記作為k與α的數乘，記作第七頁，共十八頁，2022年，8月28日（5）稱為α的負向量，記作-α.因而可以定義向量的減法運算：（4）分量全為0的向量稱為零向量，記作0（注意區別數零和零向量）.第八頁，共十八頁，2022年，8月28日對任意的n維向量α,β,γ及任意的數k,l，向量的線性運算滿足下面八條基本的運算規律：

向量的加法以及數與向量的數乘統稱為向量的線性運算，這些運算可歸結為數（分量）的加法與乘法.顯然，向量的線性運算是矩陣的線性運算的特殊情形.第九頁，共十八頁，2022年，8月28日定義4.1.3全體n維實行向量構成的集合，對于上面定義的向量加法、實數與向量的數乘運算，構成n維（實）行向量空間；類似地，定義n維（實）列向量空間；用符號表示或，稱為n維（實）向量空間.第十頁，共十八頁，2022年，8月28日例4.1.1設求解：第十一頁，共十八頁，2022年，8月28日得到的向量稱為向量組的線性組合，或稱可由線性表出.定義4.1.4給定中的向量實數經線性運算兩個向量的線性組合的幾何示意圖第十二頁，共十八頁，2022年，8月28日證明：由向量的線性運算，得即例4.1.2向量和的幾個線性組合：例4.1.4證明：任意n維向量是向量組的線性組合.第十三頁，共十八頁，2022年，8月28日例4.1.5令，能否寫成和的線性組合？解：根據定義，問題即判斷向量方程是否有解.即第十四頁，共十八頁，2022年，8月28日利用初等行變換將增廣矩陣化成行最簡形：解是因此可以寫成和的線性組合：第十五頁，共十八頁，2022年，8月28日其增廣矩陣為當是行向量空間時，上式兩端轉置，得當是列向量空間時，其增廣矩陣為有無解.一般地，判斷能否由向量組線性表出，即判斷向量方程線性方程組的向量表示形式第十六頁，共十八頁，2022年，8月28日定義4.1.5設由的所有可能的線性組合構成的集合稱為由

張成（生成）的的子集，記為即

若和是非零向量，且不共線，則表示由向量和確