第四章綜合指標本章內容第一節總量指標第二節相對指標第三節平均指標第四節標志變異指標第五節是非標志本章重點前四節內容都重要本章難點

幾種指標的綜合運用具體要求1.理解－各種指標的含義2.掌握－相對指標、平均指標和標志變異指標的計算引子什么是綜合指標所謂綜合指標，就是統計指標（回顧統計指標的概念），是將調查得到的資料經過整理計算后，獲得的用于說明和反映社會經濟現象總體數量特征的統計指標。綜合指標主要有總量指標、相對指標、平均指標和標志變異指標幾種。第一節總量指標一、總量指標的含義及表現形式

1.含義：所謂總量指標又稱統計絕對數或絕對指標，它是反映社會經濟現象在一定時間、地點、條件下的總規模、總水平的綜合指標。同時，總量指標還可以表現為總量之間的絕對差數。2.表現形式：從以上內容可以看出，總量指標的表現形式是有計量單位的絕對數，即是個有名數。

例：2003年，我國國內生產總值為116694億元；全年對外貿易順差255億美元，比上年減少49億美元；全年糧食種植面積9941萬公頃，比上年減少448萬公頃；年末全國總人口為129227萬人；年末全部金融機構本外幣各項存款余額220364億元。2006年年末我國人口數為131448萬人，國內生產總值為209407億元，社會商品零售總額為76410億元，進出口總額17607億美元，年某國家外匯儲備10663億美元。年末全國就業人員76400萬人。3、總量指標由總體各單位資料匯總得到。4、只能對有限總體計算總量指標。總量指標的數值隨統計范圍的大小而發生增減變動。二、總量指標的作用總量的作用：它是認識事物的起點；它是決策和管理的依據；它是其他指標的計算基礎；

總量是最明顯的數量特征，在任何情況下都是首先為人們所感受和認識的數量。中國：960萬平方公里國土13億人口山地占國土面積的33%男性占人口比重的51%總量的作用：它是認識事物的起點；它是決策和管理的依據；它是其他指標的計算基礎；

總量是最基本的國情國力指標總量的作用：它是認識事物的起點；它是決策和管理的依據；它是其他指標的計算基礎；

總量指標是基本數據。

總量相比得到相對指標；

總量相除得到平均指標。三、總量指標的種類根據不同的標準，可以對總量指標進行以下幾種劃分：

(一)按其反映總體內容的不同：分為總體單位總量和總體標志總量。前者表示的是所調查的總體內所包含的總體單位總數,即有幾個總體單位；后者指的是總體各單位某種數量標志值的總和在一個特定的總體內，只存在一個單位總量，但可能同時并存多個標志總量，構成一個總量指標體系?？傮w單位總量和總體標志總量的地位和性質并不是固定不變的,二者隨研究目的不同而變化。

例：

某地區工業企業情況調查表廠別工人數（人）年產值（萬元）甲廠1200400乙廠18001000丙廠1000400丁廠1000200合計50002000

當研究企業平均規模時，那么企業就為總體單位，企業總數為單位總量，各企業工人總數為標志總量。

當研究該地區職工勞動效益時，那么工人就為總體單位，各企業工人總數為單位總量，各企業的總產值成為標志總量。工人總數這個指標的地位已經改變了?？傮w單位總量總體標志總量總體單位總量總體標志總量(二)按其反映時間狀況的不同：分為時期指標和時點指標。

1.時期指標（流量指標）：是反映某種社會經濟現象在一段時間發展變化結果的總量指標。(參看前例)

其具體特點如下：（1）指標前一般都帶有“某年”“某月”“某天”等詞。（2）指標的數值具有連續計數的特點。（3）指標的各期數值可以直接加總。（4）指標的數值的大小與時期長短成正比。（5）在應用時期指標時，應明確所屬的時期范圍。

2.時點指標（存量指標）：是反映社會經濟現象在某一時刻(瞬間)狀況上的總量指標。其具體特點如下：（1）指標前一般都帶有“某年末”“某月末”等詞。（2）指標的數值只能間斷計數。（3）指標的數值一般不能直接加總。（4）指標的數值的大小與時期長短無直接關系。（5）在應用時點指標時，應注意它的時刻特性。時期指標時點指標時期指標可以相加，以反映更長時期的總量，時點指標各指標值不能相加，或相加沒有實際意義；時期指標數值大小和時期長短有直接關系，如年GDP肯定要大于月GDP，時點指標指標數值與時間間隔長短沒有直接關系，如年末職工人數不一定大于某一個月的職工人數；時期指標是通過連續計數的方式取得的，以反映社會現象在一定時期內的發展總量，時點指標是通過間斷取值的方法取得的，以反映社會現象在某一瞬間的狀態。(三)按其所采用計量單位的不同：分為實物指標、價值指標和勞動量指標。1.實物指標：是以實物單位計量的統計指標。按實物單位計算的指標最大的特點是它直接反映產品的使用價值或現象的具體內容，能具體表明事物的規模和水平，是計算價值指標的基礎。但指標的綜合性能較差，無法進行匯總。

計量單位實物單位價值單位勞動單位標準實物單位度量衡單位自然單位復合單位和多重單位

計量單位：計量中所用到的標準已知量。

實物單位：根據事物的自然屬性和特點而采用的計量單位。

自然單位：按照被研究對象的自然屬性來度量其數量的計量單位。

度量衡單位：按照統一的度量衡制度的規定來度量客觀事物的一種計量單位。

標準實物單位：是按照統一折算的標準來計量被研究現象數量的一種計量單位。

復合單位和多重單位：兩種或兩種以上的單位結合使用的單位。

價值單位：用貨幣來度量社會財富和勞動成果的計量單位。

勞動單位：是以勞動時間表示的計量單位。公頃人輛單一單位復合單位：人千米噸公里等自然單位：個、臺等度量衡單位：噸等＝拖拉機混合產量＝4臺拖拉機標準實物產量＝5臺STAT表4-1原煤產量及標準實物量原煤品種產量/萬噸每噸原煤折合為標準燃料的折算系數標準實物量/萬噸(1)(2)(3)=(1)*(2)A800.43344B4201.28537.6C4301.43614.9D580.8549.3E670.7147.57F760.6650.16合計11311333.93

2.價值指標：是以貨幣單位計量的統計指標。價值單位計量的最大優點是它具有最廣泛的綜合性和概括能力，能使不能加總的使用價值相加，可以表示現象的總規模和總水平，但它脫離了物質內容，有時不能準確的反映實際情況。在實際工作中常常把實物指標和價值指標結合起來使用。3.勞動量指標：勞動量指標是以勞動單位即工日、工時等勞動時間計量的統計指標。絕對數還有這么多區分啊！四、計算總量指標時需注意的問題

1.必須注意現象的同類性，不同種類的實物指標不能加總。

2.必須明確每項指標的統計含義。

3.必須做到計量單位的一致。計量單位不一致不能加總，必須換算成統一的單位時才能加總。第二節相對指標一、相對指標的概念、表現形式及作用

1.概念：相對指標就是應用對比的方法，來反映社會經濟現象中某些相關事物間數量聯系程度的綜合指標，又稱統計相對數?；竟剑簲抵礎/數值B特點：把兩個對比的具體數值概括化或抽象化，使人們對事物有一個清晰的概念。例：2.表現形式：相對指標的表現形式有兩種，一種是有名數，另一種是無名數。有名數：是將對比的分子指標和分母指標的計量單位結合使用，以表明事物的密度、普遍程度和強度等。主要用于下面將講到的強度相對指標。

無名數：是一種抽象化的數值，不帶計量單位，一般分為系數或倍數、成數（十分數的習慣叫法）、百分數、千分數等。它們分別是將對比的基數抽象化為1、10、100、1000時而得到的相對指標。實際應用時應根據所比較的數值的具體情況和使用習慣來定。

3.作用：

（1）可以使人們對現象之間存在的內在聯系有較為深刻的認識，能夠綜合地表明有關現象之間的聯系程度，反映現象的比率、構成、速度、程度、密度等。

（2）能使一些不能直接對比的事物找到比較的基礎。（3）相對指標是國家進行宏觀調控和考核企業經濟活動效果的重要工具?？側藬?0人男生人數20人女生人數10人男生比重為2/3女生比重為1/3男女比例為2:1總量指標非總量指標相對指標甲企業乙企業利潤總額資金占用資金利潤率500萬元5000萬元3000萬元40000萬元16.7%12.5%當比較兩廠經濟效益時不可比不可比可比身高的差異水平：cm體重的差異水平：kg用變異系數可以相互比較二、相對指標的種類及計算

根據研究的目的和任務不同，對比的基礎不同，相對指標一般可分為結構相對指標、比例相對指標、比較相對指標、強度相對指標和計劃完成程度相對指標等。下面將分別對它們的基本含義、計算方法、作用和相互之間的比較進行詳述。掌握它們的計算和作用。（一）結構相對指標

1.含義：結構相對指標就是利用統計分組法，將總體區分為不同性質的各部分，以部分數值與總體全部數值對比而得出比重或比率，以反映總體內部構成情況的綜合指標。2.計算公式：3.注意要點：（1）結構相對指標一般用百分數表示。（2）結構相對指標的分子分母可以是總體單位數，也可以是總體標志數值。（3）各部分所占比重之和等于100％或1。（4）分子分母屬同一總體且不可逆。4.結構相對指標的作用：

（1）可以反映總體內部的結構情況，從而認清事物和現象的性質和特征。（2）通過不同時期相對數的變動，可以看出事物的變化過程及其發展趨勢。（3）能反映對人力、物力、財力的利用程度及生產經營效果的好壞。哦，恩格爾系數就是結構相對數。（二）比例相對指標

1.含義：比例相對指標是同一總體內不同組成部分指標數值對比的相對指標。它反映的總體內部的比例關系。

2.計算公式：2006年末，全國總人口131448萬人，男性67728萬人，女性63720萬人，男性和女性比例106.29%。3.注意要點：（1）比例相對指標可以用百分數表示，也可以用一比幾或幾比幾的形式表示。（2）分子分母可以是總體單位數，也可以是總體標志數值。（3）分子分母屬同一總體且可逆。

4.作用：

比例相對指標與結構相對數指標作用基本相同，從形式上看，二者只是對比方式不同，側重點各異。利用比例相對指標能幫助我們認識客觀事物按比例發展的狀況，判斷比例關系正常與否以及分析它對社會經濟發展的影響。哦，男女性別比是比例相對數。（三）比較相對指標1.含義：

比較相對指標是同類現象、在同一時間不同空間條件下所進行的靜態對比。表明同類現象同一時間各單位發展的不平衡程度。2.計算公式：比較相對指標=

3.注意要點：（1）比較相對指標一般用百分數或倍數表示。（2）分子和分母的位置一般可以互換。（3）用來對比的兩個指標必須是同性質的，是可以對比的。（4）分子和分母可以是絕對數對比，也可以是相對數或平均數對比，一般用相對數和平均數對比。4.作用主要是對事物發展在不同地區、不同部門、不同單位或不同個人之間進行比較分析，以反映現象之間的差別程度。（四）強度相對指標1.含義：強度相對指標是兩個性質不同但有一定聯系的總量指標之間的對比，用來表明某一現象在另一現象中發展的強度、密度和普遍程度。2.計算公式：例：3.注意要點：（1）強度相對指標不是同類現象指標的對比。只是它和其他相對指標的根本不同點。但比較的兩個指標必須有一定的聯系，沒有聯系的兩個指標之間對比是毫無意義的。（2）一般用復名數表示，少數用百分數或千分數表示。（3）某些指標分子和分母的位置可以互換。（4）正、逆指標的區分。（5）強度相對指標具有“平均”的含義，但它不是“平均數”。（具體區別在第三節講述）

4.作用

（1）說明一個國家、地區、部門的經濟實力或為社會服務的能力。（2）反映和考核社會經濟效益。（3）為編制計劃和長遠規劃提供參考依據。例：下列數值和全國總人口數的比率。2007年末全國各類收養性社會福利單位床位205萬張，收養各類人員163萬人。城鎮建立各種社區服務設施12.8萬個，綜合性社區服務中心10299個。全年銷售社會福利彩票632億元，籌集社會福利資金217億元，直接接收社會捐贈款42億元。（五）動態相對指標1.含義：動態相對指標是將不同時期的同類現象進行對比，表明同類事物在不同時間狀態下的對比關系，說明現象在時間上的運動、發展和變化。2.計算公式：3.注意要點：（1）動態相對指標一般用百分數表示。（2）基期和報告期的含義和基期的確定。（3）有發展速度可以得出增長速度。

4.作用：

動態相對指標應用十分廣泛，具體內容將在后面“動態數列”中講述。（六）計劃完成程度相對指標1.含義：計劃完成程度相對指標是用來檢查、監督計劃執行情況的相對指標。它以現象在某一段時間內的實際完成數與計劃數對比，來觀察計劃完成程度。

2.基本計算公式：

例：某地區2006年計劃造林800畝，實際造林840畝，則計劃完成相對指標=計算結果表明，造林計劃超額5%完成。例：某企業年初計劃規定產品單位成本為1500元，本年內實際單位成本達到1550元，則：產品成本計劃完成相對指標=

計算結果表明,該企業本年度產品單位成本計劃沒有完成,實際比計劃多消耗3.3%。3.注意要點：（1）計劃完成程度指標一般以百分數表示。分子分母的位置不可互換。（2）在評價計劃任務是否完成時，不能一概以大于100%才是超額完成計劃，要根據指標的性質來確定，指標有正指標和逆指標之分，正指標即數值越大越好，對于正指標來說，計劃完成相對指標以大于100%為超額完成計劃；逆指標即數值越小越好，對于逆指標來說，以小于100%為超額完成計劃。（3）計劃指標可以是總量指標、相對指標或平均指標，不論計劃指標是哪一種形式，實際完成指標在時間、空間、口徑等方面必須與計劃指標相一致，這樣才有可比性。分子分母的指標性質及計算等方面應一致。（4）如果計劃任務指標是以提高或降低的幅度來制定，那么，在計算計劃完成相對指標時，應該用實際完成的百分數與計劃規定應達到的百分數進行對比，不能直接用提高率或降低率對比。

根據計劃數表現形式的不同，具體計算時較復雜。例：某企業勞動生產率計劃本月比上月提高10%，而實際提高8%，則勞動生產率計劃完成相對指標

計算結果表明，該企業勞動生產率計劃沒有完成，實際比計劃少完成1.8%。例：某企業單位產品原材料消耗計劃本月比上月降低6%，而實際降低9%，則：單位產品原材料消耗計劃完成相對指標

表明該企業單位產品原材料消耗計劃超額3.2%完成。分子分母位置不可互換；正指標、逆指標；分子分母應有可比性；用提高或降低率來制定計劃任務指標時，要注意計算方式。4、關于中長期計劃執行情況的檢查所謂中長期計劃，是指五年或更長時間的計劃。由于中長期計劃的制定方法有兩種，即水平法和累計法，所以檢查其執行情況的方法也有所不同。1）水平法水平法即只規定計劃期末年應達到的水平。在檢查其執行情況時，要用計劃期末年實際達到的水平與計劃規定的水平對比。計劃完成相對指標=例：某市在第九個五年計劃中規定，糧食總產量到2000年要達到150萬噸，而2000年實際產量達到154萬噸，則糧食總產量計劃完成程度（%）=

計算結果表明，糧食總產量“九五”計劃超額2.7%完成。對于中長期計劃有可能提前完成，可以根據實際完成情況計算提前完成的時間。例：在上例中，若該市在1999年糧食總產量就達到151萬噸，這說明1999年就完成了五年計劃，完成程度為：計算結果表明，該市在1999年就超額0.7%完成五年計劃，提前一年時間完成。注：以上考核方法是對農業而言的，農業生產周期長，因此一般以一個生產周期即以自然年度計算。但對于工業、商業，由于生產周期短，不需要按自然年度來計算，在整個計劃期中，只要有連續12個月實際完成水平達到了計劃任務數，即為完成了長期計劃。例：某工業企業在第十個五年計劃中規定：末年產值應達到8000萬元，各年實際完成產值如下：某工廠“十五”期間各年實際完成產值

單位：萬元月份年份123456789101112合計2001400020025600200362002004460470500540550580600620610650680700696020057007207207407407307407507607607808008940

（2）累計法：即規定整個計劃期內累計完成量應達到的水平。計算公式：計劃完成相對指標=

提前完成計劃時間：時點前移。假定：該地區至2000年6月30日止實際完成投資額正好為1296億元

提前半年完成五年計劃。

[例]某地區五年計劃規定，1996—2000年的五年固定資產投資總額合計為1296億元，實際完成1450億元，則計劃完成程度=1450/1296=111.88%

例：某鎮在第十個五年計劃期間計劃基本建設投資額共計為10000萬元，各年實際投資額如下：某鎮“十五”期間各年基本建設投資額

單位：萬元年份20012002200320042005一季度二季度三季度四季度投資額1900215022502300400600500400從表中資料可以計算出從2001年至2005年第三季度累計投資10100萬元，完成計劃101%，超額1%完成，提前一個季度完成五年計劃。

5.計劃執行進度的測量：如果實際完成數所包含的時期只是計劃期的一部分，這種情況被稱為計劃執行進度．它不是在計劃期末，而是在計劃執行的過程中來進行計算的。一般適用于檢查計劃的執行進度和計劃執行的均衡性。

公式：三、相對指標之間的比較（一）結構相對指標和比例相對指標的比較（二）比例相對指標和比較相對指標的比較（三）強度相對指標與“平均數指標”比較四、計算和正確運用相對指標的原則1.注意兩個對比指標的可比性。2.相對指標和總量指標相結合的原則。3.各種相對指標結合運用的原則。指標之間的區別1、結構相對指標和比例相對指標結構相對指標是以總體總量為比較標準，計算各組總量占總體總量的比重，來反映總體內部組成情況的綜合指標。比例相對指標是總體不同部分數量對比的相對數，用以分析總體范圍內各個局部之間比例關系和協調平衡狀況。2、比例相對指標和比較相對指標區別：⑴子項與母項的內容不同，比例相對指標是同一總體內，不同組成部分的指標數值的對比；比較相對指標是同一時間同類指標在空間上的對比。⑵說明問題不同，比例相對指標說明總體內部的比例關系；比較相對指標說明現象發展的不均衡程度。比較相對指標是不同單位的同類指標對比而確定的相對數，用以說明同類現象在同一時期內各單位發展的不平衡程度。3、強度相對指標與其它各種相對指標主要區別是：⑴其它各種相對指標都屬于同一現象的數量進行對比，而強度相對指標是兩種性質不同的但又有聯系的指標之間的對比。⑵計算結果表現形式不同。其它相對指標用無名數表示，而強度相對指標主要是用有名數表示。⑶當計算強度相對指標的分子、分母的位置互換后，會產生正指標和逆指標，而其它相對指標不存在正、逆指標之分。

[課堂練習題1]

某廠計劃今年的消耗比上年降5%，產值增8%。實際完成情況是：消耗降6%，產值升7%，試分別計算其計劃完成程度。

分析：消耗計劃完成程度=1－6％1－5％計算：產值計劃完成程度=計算：1+7％1+8％計算公式：、[課堂練習二]某油田按五年計劃規定最后一年的石油產量應達到50萬噸的水平，實際執行情況如下：

提前完成計劃時間的計算：只要有連續一年的實際完成數達到了計劃期末年規定的水平，就視作計劃完成。余下的時間即為提前完成長期計劃的時間。第五年第1季至第四年第2季：50。

提前三個季度完成五年計劃。計劃完成程度=第三節平均指標一、平均指標概念、特點和作用

1.概念：平均指標又稱統計平均數，用以反映社會經濟現象總體各單位某一數量標志在一定時間、地點條件下所達到的一般水平的綜合指標。

2.特點：（1）數量差異抽象化；（2）反映總體變量值的集中趨勢；（3）掩蓋了現象的內部差異。（4）只能就同類現象計算。

3.作用：評價、比較、推算、分析4、算術平均數和強度相對指標的區別：（１）指標的含義不同。強度相對指標說明的是某一現象在另一現象中發展的強度、密度或普遍程度；而平均指標說明的是現象發展的一般水平。（２）計算方法不同。強度相對指標與平均指標，雖然都是兩個有聯系的總量指標之比，但是，強度相對指標分子與分母的聯系，只表現為一種經濟關系，而平均指標是在一個同質總體內標志總量和單位總量的比例關系。分子與分母的聯系是一種內在的聯系，即分子是分母（總體單位）所具有的標志，對比結果是對總體各單位某一標志值的平均。怎么計算？二、平均指標的種類及計算

※平均指標的分類怎么計算？※平均指標的計算（一）算術平均數

1.算術平均數的概念：算術平均數是總體標志總量除以總體單位數的結果，它是計算社會經濟現象平均指標最常用方法和基本形式。

其基本計算公式為：

例：某小組6位同學的數學考試成績分別為：70分、78分、82分、85分、90分、98分，則該組6位同學的平均成績為：（分）

注意要點：

（1）計算公式中，標志總量和總體單位數必須同屬于一個總體。（2）在具備總體標志總量及總體單位總數時，可直接利用上述公式計算平均數。（3）在實際當中，上述公式中的兩個數值往往不能直接掌握，而必須要根據所掌握的資料來計算，根據掌握的資料不同和計算上的復雜程度不同，可將算術平均數分為簡單算術平均數和加權算術平均數。

2.簡單算術平均數如果掌握的資料是總體各單位的標志值，而且沒有經過分組，則可先將各單位的標志值相加得出標志總量，然后再除以總體單位數，通過此種方法計算得到的平均數稱為簡單算術平均數。

『例』某生產小組有5名工人，生產某種零件，日產量（件）分別為12、13、14、15、14，則平均每個工人日產零件件數為：將上式用符號表示即可得到簡單算術平均數的計算公式如下：

式中：簡單算術平均數的計算公式:3.加權算術平均數

如果掌握的資料是經過分組整理編成了單項數列或組距數列，并且每組次數不同時，就應采用加權算術平均數的方法計算算術平均數。

（1）單項式數列的加權算術平均數基本的具體方法是：將各組標志值分別乘以相應的各組單位數（絕對權數）求出各組標志總量，并加總得到總體標志總量，同時把各組單位數相加求出總體單位總數，然后用總體標志總量除以總體單位總數，即得算術平均數。

日平均產量＝

＝/=2654/40=66.35件/人

上例中若以x代表各組標志值，f代表各組單位數（絕對權數），則可得加權算術平均數的公式的如下一種表現形式：按日產量分組（件）xi工人數（人）fi日產量×工人數xifi50（x1）60（x2）65（x3）72（x4）85（x5）4（f1）3（f2）22（f3）7（f4）4（f5）200（x1f1）180（x2f2）1430（x3f3）504（x4f4）340（x5f5）合計＝40＝265450×4＋60×3＋65×22＋72×7＋85×44＋3＋22＋7＋4

按日產量分組（件）xi工人數（人）fi各組工人的比重50606572854322740.10.0750.550.1750.154.535.7512.68.5合計40166.35下面將上例簡單變換，看看相對權數的情況：

日平均產量=66.35件/人由此例可得到加權算術平均數的另一種表現形式：＝4×0.1＋3×0.075＋22×0.55＋7×0.175＋4×0.1顯然：※由以上公式理解權數：（1）權數：對算術平均數值高低具有權衡輕重作用的數次數（f）或頻率(f/f)。（2）權數的種類A、絕對權數f；B、相對權數f/f。（3）同一總體資料，用這兩種權數計算的加權算術平均數相同（可能會有微小誤差，但是是計算誤差）。

另外，當變量數列中各組的次數相等，即各組的權數相等時，采用簡單算術平均數和加權算術平均數計算的結果一樣。從公式推導看：結論：權數相等用簡單式；權數不等用加權式。（2）組距式數列的加權算術平均數組距式數列加權算術平均數的計算方法與上述單項式數列的計算方法基本相同，所不同的只是以各組的組中值(組中值的計算)作為各組的代表值，然后加權計算。如此計算有一定的假定性，只能是近似值。參看課本69頁例4-6。

例：某鎮所屬18個村的小麥平均畝產量資料統計如下：某鎮18個村小麥平均畝產量分組資料平均畝產（公斤）村數種植面積（畝）200以下200—250250—300300—350350—400400以上1345324000100001500022000140009000合計1874000根據表中統計資料計算該鎮18個村小麥總體平均畝產量。分析：要計算18個村的總體平均畝產量應該用18個村的小麥總產量除以18個村總種植面積，因此，權數應該是種植面積，而不是村數。

某鎮18個村小麥平均畝產量計算表

平均畝產（公斤）村數面積（畝）f組中值（公斤）各組總產量（公斤）200以下200—250250—300300—350350—400400以上134532400010000150002200014000900017522527532537542570000022500004125000715000052500003825000合計1874000——23300000所以，18個村小麥平均畝產量（公斤）4.算術平均數的數學性質各變量值與算術平均數的離差綜合為零。各變量值與算術平均數的離差平方和最小。兩個獨立的同性質變量代數和的平均數等于各變量平均數的代數和。兩個獨立的同性質變量乘積的平均數等于各變量平均數的乘積。4.算術平均數的幾點說明（1）應用廣泛。（2）容易受極端值影響，特別是極大值。（3）由組距數列計算算術平均數有一定的假定性，是個近似值，特別是開口組的組距假定，近似性更大。復習：

[引例]某種蔬菜價格：早上0.4元/斤（x1），中午0.25元/斤（x2），晚上0.20元/斤（x3），某人早、中、晚各買1斤（f），求平均價格。[公式]

平均價格=總金額/總數量

分母資料已知

[思考]在上例中，早中晚價格不變，某人早、中、晚各買1元，怎樣計算平均價格？[公式]平均價格=總金額/總數量

分子資料已知簡單算術平均數簡單調和平均數（二）調和平均數1.調和平均數

調和平均數又稱“倒數平均數”，從形式上看它是各個變量值倒數的算術平均數的倒數，實際上它是算術平均數的變形。根據掌握資料的不同和計算的復雜程度不同，調和平均數也分為簡單調和平均數和加權調和平均數。

1）簡單調和平均數計算公式：式中：H:調和平均數xi:各標志值n:標志值項數?=+×××++=+×××++==niinnxnxxxnnxxxH1212111111111？這種計算方式還是不是總體標志總量除以總體單位總量？2）加權調和平均數[思考]上例中蔬菜價格不變，若某人早、中、晚分別購買的金額是1元（m1）、2元（m2）、3元（m3），求平均價格。[原型公式]

平均價格=總金額/總數量

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以上為加權調和平均數的算法式中：HH:加權調和平均數xi:各標志值n:標志值項數mi:為特定的權數，它不是各組標志值出現的次數，而是各組標志總量。※得加權調和平均數計算公式：練習1：下表為我國某年獨立核算工業企業按規模分組的分布數列，試計算我國全部工業企業的平均資金利稅率。按企業規模分組企業數（個）平均資金利稅率（%）利稅總額（億元）大型企業425713.721119.34中型企業1068711.25423.47小型企業40392510.03690.48合計4188692233.292、調和平均數和算術平均數聯系區別每斤價格（x）元購買數量（f）斤購買金額（m=xf）元早：0.40中：0.25晚：0.202.5（f1）8.0（f2）15（f3）1（m1）2（m2）3（m3）合計＝25.5＝6

如果已知購買數量則應用加權算術平均數計算；如果已知購買金額則應用加權調和平均數計算。二者計算出來的平均價格是一致的。從而可以看出調和平均數是算數平均數的變形，只是所掌握的資料不同而采取不同的計算形式來計算平均指標。已知令m=xf，則f=m/x,將其代入1式，得：

另外：

當m1=m2==mn時，簡單調和平均數與加權調和平均數計算的結果是相等的。令m1=m2==mn＝A3.調和平均數應用上的特點1.應用范圍小。2.若標志值中有零值，則不能計算。3.也易受極端值影響，特別是極小數值。4.若是組距數列，同樣存在假定性和近似性。練習2：某集團15家企業的利潤計劃完成程度和實際利潤額如下表所示：利潤計劃完成程度（%）企業數（個）實際利潤額（萬元）80-90242590-10051520100-1108840合計152785引例：某機械廠有毛坯車間、粗加工車間、精加工車間、裝配車間四個流水連續作業的車間，某月份第一車間制品合格率為95%，第二車間合格率為92%，第三車間合格率為90%，第四車間合格率為85%，計算四個車間平均產品合格率。因為產品總合格率為95%×92%×90%×85%，所以計算平均合格率應該開方求其平均數。平均合格率（三）幾何平均數1.幾何平均數的概念：幾何平均數又稱“對數平均數”，它是若干項變量值連乘積開其項數次方得算術根。

主要適用于當各項變量值的連乘積等于總比率或總速度時計算平均比率或平均速度。幾何平均數可分為簡單幾何平均數和加權幾何平均數。一般常用的是簡單幾何平均數，在此主要了解簡單幾何平均數的公式即可。2.簡單幾何平均數的計算公式：例：某工廠生產羊毛衫的產量，及其逐年發展速度資料如下所表示，則可以用幾何平均數平計算年平均發展速度。年份產量（萬件）逐年的發展速度X199419951996199719981999381480449505538585—1.0761.0951.1241.0651.087由下面的計算說明該廠5年間羊毛衫產量平均發展速度為109%,即每年平均遞增9%.4、加權幾何平均數:注意:(1)只有當標志值表現為各個標志值的連乘積時,才適合采用幾何平均數方法來計算平均標志值.(2)如果數列中有一個標志值等于零或負值,無法計算幾何平均數.例：假如銀行存款是按復利計算，若定期存款25年的年利率分別是：分析：要計算平均年利率，首先要計算平均年本利率，用平均年本利率減1（或100%）即可得到平均年利率。年份第1年第2—5年第6—13年第14—23年第24—25年年利率（%）2.12.53.84.66.9(五）、眾數：指總體單位中，標志值出現次數最多的那個數值。如下圖：

1單項式數列的眾數確定：統計分組以后找出出現次數最多的標志值即可。某村農民按家庭兒童人數分組家庭按兒童數分組（個/戶）家庭數（戶）0123420601459045合計360在這個例子中，眾數就是兩個兒童。身高人數（CM）（人）152115421552156415711582159216012161716281634身高人數（CM）（人）1643165816651673168716911705171217231741總計83152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174STAT單項式數列和組距式數列的眾數計算方法不同。83名女生的身高資料

2組距式數列眾數的確定：先確定眾數所在的組（標志值出現最多的組），然后計算以求得近似的眾數值。

式中符號含義：（A）L為Mo組的下限，U為上限；（B）i=U–L即眾數組的組距；（C）1=fm–fm-1即眾數組次數與前一組次數之差；2=fm–

fm+1即眾數組次數與后一組次數之差。例：分別用兩個公式計算得：

3.眾數的應用特點：

（1）同中位數一樣是位置平均數，不受極端值和開口組數列得影響。（2）眾數不易確定，當分布數列沒有明顯的集中趨勢而趨均勻分布時，則無眾數可言。（四）中位數1.中位數的概念：將總體中某一數量標志的各個數值按大小順序排列，處于中間位置的標志值就是中位數（用Me表示）。

[例]某科室9人年齡：24,25,25,26,26,27,28,29,552.中位數的計算方法：

（1）由未分組資料確定中位數（較簡單）※首先對標志值從小到大排序；※然后用下列公式確定中位數的位置；中位數的計算當n為奇數當n為偶數(4.3)設一組數據為，按從小到大排序后為,則中位數為

※注意：如：某班組９個工人生產的某種零件，按日產量順序排列如下：16，17，18，20，20，22，23，23，25則中位數是第5項對應的數據，為20件。若假定第10個工人的日產量為26件，則總項數成為偶數，中位數為（20+22）/2=21（件）

（2）由單項數列確定中位數（較簡單）

①按計算中位數所在的位置，該位置對應的標志值即為中位數。②計算各組的累計次數（向上累計或向下累計）③根據中位數位置找出中位數

單項式分組：首先確定中位數所在的組，即累計頻數達到f+1/2，然后確定中位數的具體值。f/2=360/2=180和f/2+1=360/2+1=181中位數的位置是在第180和181家庭之間。從第一組家庭戶數開始向后累加至180~181戶，即中位數是兩個兒童。（3）由組距數列確定中位數（比較復雜）

①用公式求出中位數所在組的位置。②用比例插值法確定中位數的值

以下兩個公式是重點：※下限公式（向上累計時用）※上限公式（向下累計時用）兩個公式中：

L、U－分別表示中位數所在組的下限和上限fm－表示中位數所在組的次數Sm-1－表示中位數所在組以下的累計次數Sm＋1－表示中位數所在組以上的累計次數∑f－表示總次數i－表示中位數所在組的組距

3.中位數的應用特點（1）是一種位置平均數，不受極端值及開口組的影響，具有穩健性。

（2）不能進行代數運算。

3）中位數主要用于測度順序數據的集中趨勢.中位數當然也適用于數值型數據，但不適用于分類數據.

（五）位置平均數與算術平均數的關系XfXfXf(對稱分布)正偏態分布（右）負偏態分布(左）在偏斜不大時1212例：根據某城市住戶家庭月收入的抽樣調查資料計算得到眾數為1040元，中位數為1128.57元，用皮爾遜公司計算算數平均數？并分析其分布屬于什么形態？練習：100頁23題。(五)眾數、中位數和均值的關系和應用1.眾數是一組數據出現次數最多的數值，不受極端值的影響，但可能沒有眾數，也可能有兩個或兩個以上眾數。眾數主要適用于分類數據的集中趨勢測度值.2.中位值是一組數據處于中間位置上的數值，不受極端值的影響，主要適用于順序數據的集中趨勢測度值.3.均值具有優良的統計性質，是實際應用最廣泛的集中趨勢測度值.主要適用于數值型數據的集中趨勢測度值．表4-4數據的類型和所適用的集中趨勢測度值數據類型分類數據順序數據數值型數據*眾數*中位數*均值－四分位數調和平均數－眾數幾何平均數－－中位數－－四分位數－－眾數適用的測度值*為該數據類型最適用的測度值第四節標志變異指標一、標志變異指標的含義和作用

（一）標志變異指標的含義：

標志變異指標又稱標志變動度，它是一系列用來綜合反映總體各個單位標志值的差異程度或離散程度的綜合指標。常常與平均指標結合使用，綜合反映事物發展在數量方面的共性和特殊性。

（二）標志變異指標的作用：1.標志變異指標是衡量平均數代表性的尺度。2.標志變異指標是反映社會經濟活動過程均衡性和穩定性的一個重要指標。

二、標志變異指標的種類及計算

標志變異指標包括以下幾種：全距、異眾比率、平均差、標準差和標志變異系數。

（一）全距全距又稱極差，是總體各單位標志中的最大值和最小值之差。

計算公式:全距=標志值的最大值－標志值的最小值（R）(Xmax)(Xmin)

其優點是：計算方便，意義明確，是測定標志變動程度的簡便方法。

其缺點是：全距指標只表示總體變動的范圍，且數值的大小受極端值的影響。因此，是最一般的研究標志的變動情況的指標。（二）異眾比率(variationratio)異眾比率是非眾數組的頻數所占的比例，即異眾比率用于衡量眾數的代表程度：(1)異眾比率大，說明眾數的代表性差(2)異眾比率小，說明眾數的代表性好(4.16)例根據下表數據，計算異眾比率.表不同品牌飲料的頻數分布飲料品牌頻數頻率(%)可口可樂1530旭日升冰茶1122百事可樂918匯源果汁612露露918合計50100解：根據公式，得異眾比率在所調查的50人當中，購買其他品牌飲料的人數占70%.由于異眾比率比較大，因此用“可口可樂”代表消費者購買飲料品牌的狀況，其代表性不是很好.（二）平均差

平均差是各單位標志值對其算術平均數的離差絕對值的算術平均數，反映的是各標志值對其平均數的平均差異程度。其計算方法有簡單和加權兩種形式。

1.簡單平均差的計算：它是在資料未分組的情況下采用的計算方法。計算公式如下：Md==2.加權平均差的計算：它是在資料已分組的情況下采用的計算方法。計算公式如下：Md==

3.平均差的特點：

（1）平均差是根據全部變量計算出來的，受極端值影響較小，對整個變量值的離散趨勢有較充分的代表性。（2）平均差計算采用取離差絕對值的方法來消除正負離差，因而不適合于代數方法的推算，使其應用受到限制。

例：例：計算下表電腦銷售量的平