第八章場論電工理論與新技術研究所第八章場論1.場2.數量場的方向導數和梯度3.矢量場的通量及散度4.矢量場的環量及旋度5

幾種重要的矢量場第一節場一、概念如果在某一空間區域內的每一點，都對應著某個物理量的一個確定的值，則稱在此區域內確定了該物理量的一個場。如在教室中溫度的分布確定了一個溫度場，在空間電位的分布確定了一個電位場。如果這物理量是數量,就稱這個場為數量場;如果是矢量,就稱這個場為矢量場。若該物理量與時間無關，則該場稱為穩定場(靜態場)；若該物理量與時間有關，則該場稱為不穩定場(時變場)。二、數量場的等值面、等值線如果數量場確定了,則場中各點處的場點值u就確定了,對于靜態場,它只是空間坐標的函數.例如,在直角坐標系下,如溫度場,電位場,高度場等.等值面數量場中量值相等的點構成的面.

等值線在函數所表示的平面數量場中，具有相同c的點，組成等值線，u=c1u=c2u=c3等值線等值面

線與線之間的高度差相等,等高線密,山勢陡;等高線疏：山勢緩.300m400m200m100m100m100m緩陡等值面、等值線研究的意義:可以直觀的幫助我們了解場中的物理量的分布情況。例如：例1求數量場通過點的等值面方程。解:點M的坐標是,則該點的數量場值為

其等值面方程為:或三、矢量場的矢量線如果矢量場確定了,則場中各點處的矢量就確定了,對于靜態場,只是空間坐標的函數.或例如,在直角坐標系下,如力場,速度場等.矢量線研究的意義:能夠了解矢量場中各點矢量方向以及整個矢量場的分布.矢量線在曲線上每一點處,曲線都和對應該點的矢量相切.

如:靜電場中的電力線、磁場中的磁力線等等。+IBX討論（在M處與矢量線相切的矢量）矢量線的方程設為矢量線上任意一點，其矢徑為則微分與在M處的場矢量共線。因此有：矢量線的微分方程解:矢量場滿足的微分方程為例2求矢量場的矢量線方程。從而有解之即得矢量方程解:矢量場滿足的微分方程為由由例3求矢量場的矢量線方程。通過點M(2,-1,1)所以過點的矢量線方程為:第二節數量場的方向導數和梯度一、問題的提出實例：一塊長方形金屬板，四個頂點的坐標分別為：(1,1),(5,1),(1,3),(5,3),在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱。假定板上任一點處的溫度與該點到原點的距離成反比。在(3,2)處有一只螞蟻，問這只螞蟻沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地方？問題的實質：應沿由熱變冷快的方向（即梯度方向）爬行。討論函數u=u(x,y)在場中每一點M沿每一方向的變化情況。二、方向導數的定義如圖所示：設函數u=u(x,y)在點M(x,y)的某一鄰域u(M)內有定義，當M1

沿著l趨于M時，如果存在，則定義如下：記為定義1

函數的增量兩點間的的距離如果比值的極限存在，則稱此極限為函數在點M沿方向l的方向導數，當M1沿著l趨于M時，定理1

如果函數u=u(x,y)在點M(x,y)是可微的，那么函數在該點沿任意方向的方向導數都存在，且有：其中α,β為l與x,y軸的方向余弦。證明:由于函數可微，則增量可表示為得到兩邊同除以所以：

解：例1求函數u=xe2y在點P(1,0)處沿從點P(1,0)到點Q(2,-1)方向的方向導數。方向l即為方向l的方向余弦為：所以：解：(1)最大值；(2)最小值；(3)等于零？

例2

求函數u(x,y)=x2-xy+y2在點(1,1)沿與x軸方向夾角為α∈[-π,π]的方向射線l的方向導數。并問在怎樣的方向上此方向導數有:推廣可得三元函數方向導數的定義:對于三元函數u=u(x,y,z)，它在空間一點M(x,y,z)沿著方向l的方向導數，可定義為：同理，當函數在此點可微時，函數在該點沿任意方向l的方向導數都存在，且有：解:l的方向余弦為:例3求函數在點M(1,0,1)處沿方向的方向導數.則前面講的是函數u沿直線的方向導數，此外還需要研究函數u沿曲線的方向導數，其定義如下：定義2

若在有向光滑曲線C上取定一點M0作為計算弧長s的起點，并以C之正向作為s增大的方向。如圖所示，M為C上的任意一點，從點M出發沿C之正向取一點M1，記弧長MM1M0lC。若當M1→M時，比式的極限存在，則稱此極限為函數u在點M處沿曲線C(正向)的方向導數，即定理2有向曲線如圖所示。MM1M0lC證明:當曲線C光滑，函數u在點M處可微時，函數u沿l方向的方向導數就等于函數u對s的全導數，即：定理3若曲線C光滑，在點M處函數u可微，則有推論函數u在點M處沿曲線C（正向）的方向導數與函數u在M處沿切線方向(指向C的正向一側)的方向導數相等,即解：例4求函數在點M(2，3)處沿曲線朝x增大一方的方向導數。則三、梯度問題：函數u在點M沿哪一方向增加的速度最快？由此可見，矢量G的方向就是函數u變化率最大的方向，其模也正好是這個最大變化率的數值。G稱作函數u在給定點處的梯度，定義如下：1)梯度的概念定義3

若在數量場u中的一點M處，存在這樣一個矢量G，其方向為函數u在點M處變化率最大的方向，其模也正好是這個最大變化率的數值，則稱矢量G為函數u在點M處的梯度，記作gradu，即2)梯度的性質a.

函數u沿l方向的方向導數等于梯度在該方向上的投影。b.

函數u中每一點M處的梯度，垂直于過該點的等直面，且指向函數u增大的一方。由此可知，在等直面上任一點處的單位法矢量n0，可以用通過該點處的梯度表示如下：梯度運算的基本公式例5

求函數u=x2+2y2+3z2+3x-2y在點(1,1,2)處的梯度，并問在哪些點的梯度為零？故解：在點P0(-3/2，1/2，0)處梯度為0。解:①例6求數量場u=xy2+yz3在點M(2,-1,1)處的梯度及在矢量方向的方向導數.②例7設有位于坐標原點的點電荷q,由電學知道,在其周圍空間的任一點M(x,y,z)處所產生的電位為:其中試求電位的梯度.解:由于電場強度所以結論:電場中的電場強度等于電位的負梯度.第三節矢量場的通量及散度實例：

以不可壓縮流體的穩定流速場為例，認識通量。如圖所示，S為流速場中的任意曲面，在面積元dS內的流速場可以看成均勻流速場。因此，在1秒內通過dS的流體的流量，即體積流量：通過曲面S的體積流量可見，通過任意曲面S的體積數量Q在數值上等于通過曲面S的流線的數量。事實上，這種形式的曲面積分，還存在于其它矢量場中，如電位移矢量D分布的電場中，穿過曲面S的電通量：在磁感應強度矢量B分布的磁場中，穿過曲面S的磁通量為了便于研究，數學上把形如上述的一類曲面積分，概括成為通量的概念，定義如下：(2)封閉曲面上的面元:封閉面的外法線方向。在矢量分析中,將曲面的一個面元用矢量來表示,其方向取為面元的法線方向,其大小為ds,即一、通量

是面元的法線方向單位矢量。(1)開曲面上的面元:右手螺旋法則。如果S是一個封閉面,則定義1矢量沿有向曲面的面積分稱作矢量穿過有向曲面的通量。如果則有此式表明，通量是可以疊加的。1.通量的定義在直角坐標系中，設又則通量可以寫成2.通量在直角坐標系中的表達式負側面正側面3.正、負、零通量的物理意義流體向正側面流過面積元，為正流量流體向負側面流過面積元，為負流量表示正流量多于負流量，表示正流量小于負流量通量即為向S正側面流過的正負流量的代數和SMS正源負源泉源（正源）：產生流體漏洞（負源）：吸收流體統稱通量源至于源的實際意義為何，應視具體的物理場而定。例如對于靜電場而言：＋結論：

的值正比于S面中的凈通量源的值，即S

面中的凈電量。－例1在點電荷q所產生的電場中,任何一點M處的電位移矢量為其中r是點電荷q到點M的距離,是從點電荷q指向點M的單位矢量.設S為以點電荷為中心,R為半徑的球面,求從內穿出S的電通量Φe

.解：二、散度由上述可知，在矢量場A(M)中，對于穿出閉曲面S的通量Φ，我們可以視其為正或負得知S內有產生Φ的正源或負源。但僅此還不能了解源在S內的分布情況以及源的強弱程度等問題。為了研究此問題，我們引入矢量場的散度概念。定義2設有矢量場A(M)，于場中一點M的某個鄰域內作一包含M點在內的任一閉曲面ΔS，設其所包圍的空間區域為ΔΩ，以ΔV表示其體積，以ΔΦ表示從其內穿出S的通量。若當ΔΩ以任意方式縮向點M時，如圖所示1.散度的定義的極限存在，則稱此極限為矢量場A(M)在點M處的散度，記作比式由此定義可見，散度為一數量，表示在場中一點處通量對體積的變化率，也就是在該點處對一個單位體積來說所穿出之通量，稱為該點處源的強度。①矢量的散度是一個標量,是空間坐標點的函數.散度的物理意義:③散度代表矢量場的通量源的分布特性.②

散度體現了閉曲面S內各點通量源分布的密度；在矢量場中,若,稱之為有源場,;若矢量場中處處,稱之為無源場.(無源)(正源)(負源)如果把矢量場A中每一點的散度與場中之點一一對應起來，就得到一個數量場，稱為由此矢量場產生的散度場。2.散度在直角坐標系中的表示式定理在直角坐標系中，矢量場在任一點M(x,y,z)處的散度為證明：例2.半徑為R，帶電量為q(q>0)的均勻帶電球體的球心位于原點，求球內各點電場強度的散度。已知解：說明電場在球內各點是向外發出的，且在球內各點均有源，并且是正源。推論1通量公式可以用散度表示：（散度定理）穿出封閉曲面S的通量，等于S所圍的區域Ω上的散度在Ω上的三重積分。

推論1體現了矢量函數的面積分與體積分的互換。該公式表明了區域

中場與邊界上的場之間的關系。說明：例3球面S上任意點的位置矢量為試利用散度定理計算由散度定理得由于所以解:推論2若在封閉曲面S內處處有則推論3若在矢量場A內某些點(或區域)上有或不存在，而在其它的點上都有，則穿出包圍這些點(或區域)的任意兩張封閉曲面的通量都相等，即為一常數。解：例4

點電荷q在離其r處產生的電位移為求任意點處電位移的散度?？梢?，除點電荷所在源點（r=0）外，空間各點的電位移的散度均為零。因此根據推論3和例1的結果可知，電場穿過包含點電荷q在內的任何封閉曲面S的電通量都等于q，即若有m個點電荷，通過疊加得到：對于在電荷連續分布的的電場中，電位移矢量D的散度為電位移矢量D的散度等于電荷分布的體密度ρ.3.散度運算的基本公式(c為常數)例5

已知求。因為由于則解：第四節矢量場的環量及旋度實例：旋度最早是通過研究水流的漩渦建立起來的概念。河水流動時，由于水有內摩擦力，因而靠兩岸速度較小，河中間速度較大，故漂在水面上的救生圈一邊順流而下，一邊還會旋轉，這說明水中有漩渦，如圖所示：在平面流速場中，作有向封閉曲線L，如圖所示，則沿L的環流，環流:=在勻速場中，V1=V2，則環流不等于0，說明區域ΔS有渦漩;環流等于0，說明沒有渦漩。在變速場中，V1≠V2，則水流沿平行于水管軸線方向流動=0，無渦旋運動流體做渦旋運動0，有產生渦旋的源流速場如下圖所示：這種形式的曲線積分，在其它矢量場中，也常常具有一定的物理意義。如安培環路定律：數學上把形如上述的一類曲線積分概括成為環量的概念，定義如下：

表示沿與積分路線成右手螺旋法則的方向通過l上所張曲面S的各電流的代數和。一、環量

環量表示繞線旋轉趨勢的大小。定義1

矢量

沿某封閉有向曲線l的線積分稱為矢量場按積分所取方向沿該曲線的環量(或旋渦量),記為1.環量定義2.環量在直角坐標系中的表示定理在直角坐標系中，設矢量場又則環量可以寫成解：

yxOLRR-R-R例1設有平面矢量場A=-yi+xj，L為場中的星形線，求此矢量場沿L方向的環量。二、旋度存在,則稱此極限為矢量場在點M處沿方向的環量面密度.這個極限的意義就是環量的面密度,或稱環量強度。當ΔS沿著自身縮向M點時,若極限定義2設M為矢量場中一點，且Δl與符合右手螺旋關系,Δl

包圍的曲面為ΔS,如圖所示：1.環量面密度2.環量面密度的計算公式則環量面密度為：為ΔS在點M處的法矢量，證明：例2求矢量場在點M(1,-2,1)處沿適量方向的環量面密度。解：由于面元是有方向的,它與封閉曲線Δl的繞行方向成右手螺旋關系,因此在給定點處,上述極限值對于不同的面元是不同的。為此,引入如下定義,稱為旋度(curl或rotation):

可見,在給定點處，R在任一方向上的投影，就給出該方向上的環量面密度。因此R的方向為環量面密度最大的方向,其模就是最大環量面密度的數值，它描述矢量在該點處的旋渦源強度。這個矢量R稱為矢量的旋度，并定義如下：3.旋度令則定義3若在矢量場中的一點M處存在這樣的一個矢量,矢量場在點M處沿其方向的環量面密度為最大，這個最大的數值，正好就是|R|,則稱矢量為矢量場在點M處的旋度，記作旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標點的函數。某點的旋度的大小是該點環量面密度的最大值。某點的旋度的方向是該點最大環量面密度面元的方向。在矢量場中，若,稱之為旋度場(或渦旋場)，稱為旋度源(或渦旋源)；若矢量場處處，稱之為無旋場。通常把矢量場中的每一點的旋度與場中之點一一對應起來而得到的一個矢量場，叫做由矢量場所產生的旋度場。例3

求矢量場的旋度.解:例4自由空間中的點電荷q所產生的電場強度為求任意點處()電場強度的旋度。解:可見,向分量為零;同樣,向和向分量也都為零。故這說明點電荷產生的電場是無旋場。因旋度運算的基本公式:梯度的旋度恒等于零旋度的散度恒等于零c為常數u為數性函數證明:例5證明矢量場是無旋場.

00則:所以:為無旋場.證明:例6證明(即標量函數梯度的旋度等于零).

其中因為所以證:因為例7證明(即矢量函數旋度的散度等于零).

其中所以因為旋度代表單位面積的環量,因此矢量場在閉曲線l上的環量就等于l所包圍的曲面S上的旋度之總和,即此式稱為斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式。它可將矢量旋度的面積分變換為該矢量的線積分,或反之。三、斯托克斯定理曲面的法向量為

第五節幾種重要的矢量場兩個概念

1.線單連通域對V內任何一條簡單閉合曲線l，都可以作出一個以l為邊界，且全部位于區域V內的曲面S，即任一閉路都可以收縮為一點。否則，為線復連通域。

2.面單連通域V內任一簡單閉合曲面S所包圍的全部點都在V內，即V內沒有“洞”。否則，為面復連通域。

空心球體環面體一、有勢場定義1設有矢量場A(M)，若存在單值函數u(M)滿足

則此矢量場為有勢場。令v＝－u，并稱v為這個場的勢函數。說明：1.有勢場是一個梯度場。2.有勢場的勢函數有無窮多個，它們之間只相差一個常數。是否任何矢量場都為有勢場呢？有下面的定理。定理1在線單連通域內矢量場為有勢場的充要條件是為無旋場。證明：(2)沿G內任意簡單閉曲線L的環量(1)是無旋場，即與路徑無關；(3)

是一保守場，即在G內線積分定理2設G是單連域，在G內存在，則以下四個命題等價。(4)是一有勢場，即在G內存在u，使

定理2的重要性：(1)給出場論中的一個具有實際意義及數學意義的重要結論，即：無旋場有勢場保守場(2)給出了數學上判定保守場的多種方法；(3)特別還給出了求勢函數的方法：相當于求某些二元函數的原函數的方法，同時為求解全微分方程提供了一種有效的方法。例1驗證向量場是有勢場，并求其勢函數.解：所以，為有勢場。

以下介紹兩種求勢函數方法。在積分與路徑無關條件下，選擇特殊路徑，用全微分求勢函數法。方法1用偏積分求勢函數.方法2要求函數此例選積分路徑由yxo即：是的一個原函數。勢函數一般表達式為：方法1要求函數即亦