數學科學學院各系2009年級各專 （ 特別說明：答案寫在答題紙上一、選題（32分.8題,每題4分 0設矩陣A 2，則A相似 。 5

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7 2 設A,B為n階矩陣。若|IA||IB|， 。|IA||IB|；B)A,B可同時對角化；C)A與B合同 D)A與B相似設A,B為n階矩陣，則下列敘述中，正確的 。A2AB2BABAB 不是AkIn的充要條件。An1n1C)A1 0

D)A的有理為對角陣設實對稱陣A與B 1合同，則二次型X'AX在R上的規 。 2 y2y2 B)y2y2 C)y2y2y2 D)y2y2y2 B)A,B都合同于對角陣C)A,B的特征值相同 D)A,B的正負慣性指數相同設為n維歐氏空間V上的線性變換，則下列敘述 非為正交變換的充要條件。 B)1*C)將V的一組標準正交基變為標準正交基 D)對任意V,((),())(,)設為n維歐氏空間V上線性變換，且U是子空間。下列命題正確的 個。①若V上正交算子，則U是②若V上正交算子，則U是1③若*為的伴隨算子，則U是*④若V上自伴隨算子，則U是 B C D)4二、題（32分.8題,每題4分。n設為nA的kr((IA。n 0A的特征多項式為(1)3(2)2(3，極小多項式為(1)2(2)(3)A

Jordan 。

設為3維歐氏空間V上的線性變換，且(,,)(,, ，其中,, 3 1 V的一組基， 是屬于特征值1的特征子空間的一組基。1設n階實對稱矩陣A的極小多項式是22，則 ““如果實二次型f(x1,x2,...,xn)僅在x1x2...xn0時為0，則f(x1,x2,...,xn) 設{,...,}V的一組標準正交基，uV(u,)2u)2u 則u 類。n設V是n維歐氏空間，{1,2,..,n}是V的一組基，G是該基的度量矩陣又設V上線性變換在該基下的表示矩陣為A，則為自伴隨算子的充要條件是G,A滿足關系 。AGGA三 2AQdiag3,1,1QQQ2qqI2q201101021010001四 (12分)設A為3階方陣，且|A|18，3AA*15I，其中A*為A的伴隨矩陣。A的Jordan除外）除外）A的極小多項式是256為322五 (10分)設A(aij)nn為實矩陣，定義實二次f(xxx)(axaxax)2 i1i

i2 inA a11aax1x11，Xaaa11xn。（法二（09|A|0A XAAX0，AX0A（XAAX0f00。（）（09崔逸凡陳煒劼劉潤石劉奕成等）ArAArA)f為正定二次型，則f的相伴AA的秩nrAA)rAAAQdiag(Ir,0)PPdiag(Ir,0)QQdiag(P1,P1PP的前rrPPP是正定陣，其所有順序主子式全P1P1r(P1rrAAr(P1r，與r(AA)。六 (6分)設A,B為n階正定陣。證明：方程AB0的所有根全是1的充要條件是ABAB(PT)(TP)BPT)(TPBPT)(PT PT)diag()(PT 上式得1,i1,2,...,n，進而B(P)TITP (P)P A。命題的證。）ABBACBBB正定。因B對稱，所