山西省忻州市深溝聯校2023年高二數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.復數=（

）A

2

B

-2

C

D參考答案：A2..如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為()A.

B.

C.

D.

參考答案：C略3.某校從高一學年中隨機抽取部分學生，將他們的模塊測試成績分成6組：

加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知高一學年共有學生600名，據此統計，該模塊測試成績不少于60分的學生人數為A.588

B.480

C.450

D.120參考答案：B4.雙曲線C:的離心率為，則C的漸近線方程為(

)A、y=±x

（B）y=±x （C）y=±x （D）y=±x參考答案：C5.當時，下面的程序段輸出的結果是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D6.設，則是成立的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分又不必要條件參考答案：C7.將標號分別為1，2，3，4，5的5個小球放入3個不同的盒子中，每個盒子至少放一球，則不同的方法種數為（

）A．150

B．180

C.240

D．540參考答案：A分析：先將5個小球分為1,1,3和1,2,2兩類，然后再進行分配可得結果．詳解：①若5個小球分為1,1,3三部分后再放在3個不同的盒子內，則不同的方法為種；②若5個小球分為1,2,2三部分后再放在3個不同的盒子內，則不同的方法為種．所以由分類加法計數原理可得不同的分法有60+90=150種．故選A．

8.已知函數：，，設函數F（x）=f（x+3）?g（x﹣5），且函數F（x）的零點均在區間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內，則b﹣a的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．11參考答案：C【考點】52：函數零點的判定定理．【分析】利用導數分別求出函數f（x）、g（x）的零點所在的區間，然后再求F（x）=f（x+3）?g（x﹣4）的零點所在區間，即求f（x+3）的零點和g（x﹣4）的零點所在區間，根據圖象平移即可求得結果．【解答】解：∵f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣+﹣…+＜0，∴函數f（x）在區間（﹣1，0）內有零點；當x∈（﹣1，0）時，f′（x）=＞0，∴函數f（x）在區間（﹣1，0）上單調遞增，故函數f（x）有唯一零點x∈（﹣1，0）；∵g（1）=1﹣1+﹣+…﹣＞0，g（2）=1﹣2+﹣+…+﹣＜0．當x∈（1，2）時，g′（x）=﹣1+x﹣x2+x3﹣…+x2013﹣x2014=＞0，∴函數g（x）在區間（1，2）上單調遞增，故函數g（x）有唯一零點x∈（1，2）；∵F（x）=f（x+3）?g（x﹣4），且函數F（x）的零點均在區間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內，∴f（x+3）的零點在（﹣4，﹣3）內，g（x﹣4）的零點在（5，6）內，因此F（x）=f（x+3）?g（x﹣3）的零點均在區間[﹣4，6]內，∴b﹣a的最小值為10．故選：C．9.已知點，若直線過點與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C10.下列命題錯誤的是

（

）A.對于命題p：若xy＝0，則x，y中至少有一個為零，則是：若xy≠0，則x，y都不為零B.對于命題p：x∈R，使得x2＋x＋1<0，則是：x∈R，均有x2＋x＋1≥0C.命題“若m>0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題為“若方程x2＋x－m＝0無實根，則m≤0”D.“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要條件參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對某同學的7次數學測試成績（滿分100分）進行統計，作出的莖葉圖如圖所示，給出關于該同學數學成績的以下說法：①中位數為84；②眾數為83；③平均數為85；④極差為16；其中，正確說法的序號是

．

參考答案：②④將各數據按從小到大排列為：76，78，83，83，85，91，92．可見：中位數是83，∴①是錯誤的；眾數是83，②是正確的；=84，∴③是不正確的．極差是92﹣76=16，④正確的．故答案為：②④．

12.在正四面體中，點為棱的中點，則異面直線與所成角的大小為

參考答案：13.參考答案：14.除以9的余數為______．參考答案：7試題分析：因為，所以除以9的余數為考點：二項式定理應用15.觀察下列三個三角恒等式：；；.一般地，若都有意義，你從這三個恒等式中猜想得到的一個結論為____________

參考答案：,其中略16.已知三點不共線，對平面外一點，給出下列表達式：其中是實數，若點四點共面，則_____________參考答案：17.同時擲四枚均勻的硬幣，有三枚“正面向上”的概率是____________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某校在本校任選了一個班級，對全班50名學生進行了作業量的調查，根據調查結果統計后，得到如下的2×2列聯表，已知在這50人中隨機抽取1人，認為作業量大的概率為.

認為作業量大認為作業量不大合計男生18

女生

17

合計

50（Ⅰ）請完成上面的列聯表；（Ⅱ）根據列聯表的數據，能否有99%的把握認為“認為作業量大”與“性別”有關？附表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828附：參考答案：解：（Ⅰ）設認為作業量大的共有個人，則，解得；

認為作業量大認為作業量不大合計男生18826女生71724合計252550（Ⅱ）根據列聯表中的數據，得.因此有的把握認為“認為作業量大”與“性別”有關.

19.設拋物線，點，過點A的直線l與C交于M，N(M在x軸上方)兩點.(Ⅰ)當時，求直線l的方程；(Ⅱ)在x軸上是否存在點B，使得,若存在，求B點出坐標，若不存在，說明理由．參考答案：（1）（或）

（2）

設,

直線，...........................................2分.∵∴............................................5分.∴直線的方程為（或.........................................................6分.（2）若存在，.........................................................8分.

∴.............................................10分.∴存在坐標為...............................................12分20.已知橢圓C1：的離心率為，焦距為，拋物線C2：x2=2py（p＞0）的焦點F是橢圓C1的頂點．（Ⅰ）求C1與C2的標準方程；（Ⅱ）C1上不同于F的兩點P，Q滿足，且直線PQ與C2相切，求△FPQ的面積．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（I）設橢圓C1的焦距為2c，依題意有，，由此能求出橢圓C1的標準方程；又拋物線C2：x2=2py（p＞0）開口向上，故F是橢圓C1的上頂點，由此能求出拋物線C2的標準方程．（II）設直線PQ的方程為y=kx+m，設P（x1，y1），Q（x2，y2），則，，聯立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式，結合已知條件能求出△FPQ的面積．【解答】解：（I）設橢圓C1的焦距為2c，依題意有，，解得，b=2，故橢圓C1的標準方程為．…（3分）又拋物線C2：x2=2py（p＞0）開口向上，故F是橢圓C1的上頂點，∴F（0，2），∴p=4，故拋物線C2的標準方程為x2=8y．…（II）由題意得直線PQ的斜率存在．設直線PQ的方程為y=kx+m，設P（x1，y1），Q（x2，y2），則，，∴，…（6分）即（*）聯立，消去y整理得，（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0（**）．依題意，x1，x2是方程（**）的兩根，△=144k2﹣12m2+48＞0，∴，，…（7分）將x1+x2和x1?x2代入（*）得m2﹣m﹣2=0，解得m=﹣1，（m=2不合題意，應舍去）．…（8分）聯立，消去y整理得，x2﹣8kx+8=0，令△'=64k2﹣32=0，解得．…（10分）經檢驗，，m=﹣1符合要求．此時，，∴．…（12分）【點評】本題考查橢圓標準方程的求法，考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、弦長公式、橢圓性質的合理運用．21.已知等差數列的前項和為，公差成等比數列．（1）求數列的通項公式；（2）設是首項為1，公比為3的等比數列，求數列的前項和.

參考答案：（1）依題意得

解得，

．（2），

Ks5u

∴

22.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知側面，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=.

(1)求證：C1B⊥平面ABC；

（2）設=l(0≤l≤1)，且平面AB1E與BB1E所成的銳二面角

的大小為30°，試