山西省忻州市楊芳學校2021年高三數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數的最小值和最大值分別為（

▲

）A.3，1

B.2，2

C.3，

D.2，參考答案：C略2.已知下列四個命題：

①底面積和高均相等的柱體體積是錐體體積的3倍：

②正方體的截面是一個n邊形，則n的是大值是6;

③在棱長為1的正方體中，三棱錐的體積是；

④6條棱均為的四面體的體積是

其中真命題的序號是(A)①②③

(B)①②④

(C)①③④

(D)②③④參考答案：B3.（6）下圖是某公司10個銷售店某月銷售某產品數量（單位：臺）的莖葉圖，則數據落在區間[20,30）內的概率為（A）0.2

（B）0.4（C）0.5

（D）0.6參考答案：B．4.下列函數中，在其定義域中，既是奇函數又是減函數的是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C在定義域上是奇函數，但不單調。為非奇非偶函數。在定義域上是奇函數，但不單調。所以選C.5.已知m、n、s、t∈R*，m+n=4，+=9其中m、n是常數，且s+t的最小值是，滿足條件的點（m，n）是雙曲線﹣=1一弦的中點，則此弦所在直線方程為（）A．x+4y﹣10=0 B．2x﹣y﹣2=0 C．4x+y﹣10=0 D．4x﹣y﹣6=0參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】由題設中所給的條件，求出點（m，n）的坐標，由于此點是其所在弦的中點，故可以用點差法求出此弦所在直線的斜率，再由點斜式寫出直線的方程，整理成一般式即可．【解答】解：由已知得s+t=（s+t）（+）=（m+n++）≥（m+n+2）=（+）2，由于s+t的最小值是，因此（+）2=，即+=2，又m+n=4，所以m=n=2．設以點（m，n）為中點的弦的兩個端點的坐標分別是（x1，y1），（x2，y2），則有x1+x2=y1+y2=4．又該兩點在雙曲線上，代入雙曲線方程，兩式相減得=4，即所求直線的斜率是4，所求直線的方程是y﹣2=4（x﹣2），即4x﹣y﹣6=0．故選：D．【點評】本題考查直線與圓錐曲線的關系，求解本題的關鍵有二，一是利用基本不等式與最值的關系求出參數的值，一是利用點差法與中點的性質求出弦所在直線的斜率，點差法是知道中點的情況下常用的表示直線斜率的方法，其特征是有中點出現，做題時要善于運用．6.斜率為的直線l與橢圓交于不同的兩點，且這兩個交點在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】橢圓的簡單性質；直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】先根據題意表示出兩個焦點的交點坐標，代入橢圓方程，兩邊乘2a2b2，求得關于的方程求得e．【解答】解：兩個交點橫坐標是﹣c，c所以兩個交點分別為（﹣c，﹣c）（c，c）代入橢圓=1兩邊乘2a2b2則c2（2b2+a2）=2a2b2∵b2=a2﹣c2c2（3a2﹣2c2）=2a^4﹣2a2c22a^4﹣5a2c2+2c^4=0（2a2﹣c2）（a2﹣2c2）=0=2，或∵0＜e＜1所以e==故選A【點評】本題主要考查了橢圓的簡單性質．考查了橢圓方程中a，b和c的關系．7.設二次函數f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域為[0，+∞），則的最小值為（）A．3 B． C．5 D．7參考答案：A考點： 基本不等式．

專題： 不等式的解法及應用．分析： 先判斷a、c是正數，且ac=4，把所求的式子變形使用基本不等式求最小值．解答： 解：由題意知，a＞0，△=1﹣4ac=0，∴ac=4，c＞0，則則≥2×=3，當且僅當時取等號，則的最小值是3．故選A．點評： 本題考查函數的值域及基本不等式的應用，求解的關鍵就是拆項，屬于基礎題．8.已知集合A＝{x|x＋1<2}，B＝{x|x2<9}，則A∩B＝A.(1，3)

B.(－∞，1)

C.(－3，3)

D.(－3.1)參考答案：D9.在區間和內分別取一個數，記為和，則方程表示離心率小于的雙曲線的概率為（

）A

B

C

D參考答案：B略10.已知△ABC是邊長為2的正三角形,則=（

）A．2 B． C．－2 D．參考答案：C由于△ABC是邊長為2的正三角形，故選C

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

設，則不等式的解集為

參考答案：12.函數的最大值為______________________。參考答案：.【分析】化簡已知得，再求函數的最大值.【詳解】，則的最大值為.故答案為：【點睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數的圖像和性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.13.已知向量，的夾角為，且，，，則_____參考答案：-3由已知可設故可得解得或則或則當時，則當時，，的夾角為，故可得則14.已知點P（1，m）是函數y=ax+圖象上的點，直線x+y=b是該函數圖象在P點處的切線，則a+b﹣m=．參考答案：2考點：利用導數研究曲線上某點切線方程．專題：計算題；導數的概念及應用．分析：求出函數y=ax+的導數，求出切線的斜率，由已知切線，得到a﹣2=﹣1，從而得到m，再由切線過切點，即可得到b，進而得到a+b﹣m．解答：解：點P（1，m）是函數y=ax+圖象上的點，則m=a+2，函數y=ax+的導數y′=a﹣，該函數圖象在P點處的切線斜率為a﹣2，由于直線x+y=b是該函數圖象在P點處的切線，則有a﹣2=﹣1，即a=1，m=3，b=1+m=4，則有a+b﹣m=1+4﹣3=2．故答案為：2．點評：本題考查導數的幾何意義：函數在某點處的導數即為曲線在該點處的切線的斜率，考查運算能力，屬于基礎題．15.已知實數滿足約束條件,則的最小值是

.參考答案：略16.設函數，，若在區間上具有單調性，且，則的最小正周期為________.

參考答案：π17.的展開式中的常數項是

（用數字作答）。參考答案：60三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，.（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）若點是曲線上一動點，求點到直線（為參數，）的最短距離.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）1．19.（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，EA⊥平面ABCD，EF//AB，AB=4，AE=EF=2．（1）若G為BC的中點，求證：FG∥平面BDE；（2）求證：AF⊥平面FBC。參考答案：略20.（本小題滿分12分）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知＝.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若cosB＝，b＝2，求△ABC的面積S.參考答案：（Ⅰ）由正弦定理，設＝＝＝k，則＝＝，所以＝，即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化簡可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C).又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.因此＝2.（Ⅱ）由＝2得c＝2a.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×.解得a＝1，從而c＝2.又因為cosB＝，且0＜B＜π，所以sinB＝，因此S＝acsinB＝×1×2×＝.21.已知⊙C過點P（1，1），且與⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）關于直線x+y+2=0對稱．（Ⅰ）求⊙C的方程；（Ⅱ）設Q為⊙C上的一個動點，求的最小值；（Ⅲ）過點P作兩條相異直線分別與⊙C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由．參考答案：解：（Ⅰ）設圓心C（a，b），則，解得則圓C的方程為x2+y2=r2，將點P的坐標代入得r2=2，故圓C的方程為x2+y2=2（Ⅱ）設Q（x，y），則x2+y2=2，=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，令x=cosθ，y=sinθ，∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+）﹣2，∴（θ+）=2kπ﹣時，2sin（θ+）=﹣1，所以的最小值為﹣2﹣2=﹣4．（Ⅲ）由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數，故可設PA：y﹣1=k（x﹣1），PB：y﹣1=﹣k（x﹣1），由，得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2=0因為點P的橫坐標x=1一定是該方程的解，故可得同理，，所以=kOP

，所以，直線AB和OP一定平行略22.已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分別是PA、PB、BC的中點．（I）求證：EF平面PAD；（II）求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大小；

參考答案：方法1：（I）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，∴平面PAD，

∵E、F為PA、PB的中點，∴