山西省忻州市曹張聯合學校高三數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設是虛數單位，則“x=－3”是“復數z=（x2+2x－3）+（x－1）i為純數”的 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C若復數z=（x2+2x－3）+（x－1）i為純虛數，則，所以“x=－3”是“復數z=（x2+2x－3）+（x－1）i為純虛數”的充要條件。2.已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x2﹣2x，則函數g（x）=f（x）+1的零點的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】函數奇偶性的性質；函數零點的判定定理．【分析】根據函數奇偶性的性質求出函數f（x）的解析式，利用函數零點的定義進行求解即可．【解答】解：若x＜0，﹣x＞0，則f（﹣x）=x2+2x，∵f（x）是定義在R上的奇函數，∴f（﹣x）=x2+2x=﹣f（x），即f（x）=﹣x2﹣2x，x＜0，當x≥0時，由g（x）=f（x）+1=0得x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0，得x=1，當x＜0時，由g（x）=f（x）+1=0得﹣x2﹣2x+1=0，即（x2+2x﹣1=0．即（x﹣1）2=2，得x=1+（舍）或x=1﹣，故函數g（x）=f（x）+1的零點個數是2個，故選：B．【點評】本題主要考查函數零點個數的判斷，根據函數奇偶性的性質求出函數的解析式是解決本題的關鍵．3.一個體積為12的正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個三棱柱的側視圖的面積為（）A．6 B．8 C．8 D．12參考答案：A【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】此幾何體是一個正三棱柱，正視圖即內側面，底面正三角形的高是，由正三角形的性質可以求出其邊長，由于本題中體積已知，故可設出棱柱的高，利用體積公式建立起關于高的方程求高，再由正方形的面積公式求側視圖的面積即可．【解答】解：設棱柱的高為h，由左視圖知，底面正三角形的高是，由正三角形的性質知，其邊長是4，故底面三角形的面積是=4由于其體積為，故有h×=，得h=3由三視圖的定義知，側視圖的寬即此三棱柱的高，故側視圖的寬是3，其面積為3×=故選A4.平行四邊形中，=（1，0），=（2，2），則等于（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略5.已知，，，則實數m的取值范圍是（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】利用奇偶性的定義可知在為R上的偶函數，再利用導數可知在區間單調遞增，于是，，即為，由函數的性質可得，，從而等價轉化為，恒成立，不等號兩側分別構造函數，求得構造的左側函數的最大值及右側函數的最小值，即可求得實數m的取值范圍．【詳解】解：函數的定義域為，為R上的偶函數，又，，在R上單調遞增，又，∴當時，，在區間單調遞增．不等式，由偶函數性質可得：，即，由函數的單調性可得：，，，恒成立，令，則，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，；令，，，，故在區間單調遞減，，，故選：B【點睛】本題考查了不等式恒成立問題，恒成立問題常見方法是通過分類討論、分離變量等方法轉化為函數最值的問題，解題時應注意轉化過程中的等價性.6.設是定義在上的奇函數，當時，，則（

）

A．

B.

Ｃ.１Ｄ.３參考答案：A略7.在某次測量中得到的A樣本數據如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B樣本數據恰好是A樣本數據都加6后所得數據，則A，B兩樣本的下列數字特征對應相同的是A.眾數

B..平均數

C.中位數

D.標準差參考答案：D8.將函數的圖象按向量平移后，得到的圖象，則

（

）

A．=（1，2）

B．=（1，－2）

C．=（－1，2）

D．=（－1，－2）參考答案：D9.若為奇函數，則的解集為A.

B.

C.

D.參考答案：D【考點】函數奇偶性和單調性的綜合運用根據奇函數特性得即a=1得到，因此這是單調遞減函數，故即x>0【點評】：嚴格按照定義挖掘已知條件，注意觀察函數特殊值；本題屬于中檔題10.設向量，，定義一種向量積：．已知向量，，點P在的圖象上運動，點Q在的圖象上運動，且滿足（其中O為坐標原點），則在區間上的最大值是A．4

B．2

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某大學對1000名學生的自主招生水平測試成績進行統計，得到樣本頻率分布直方圖如下圖所示，現規定不低于70分為合格，則合格人數是

參考答案：60012.如圖，四邊形是邊長為1的正方形，，點為內（含邊界）的動點，設，則的最大值等于

參考答案：13.已知經過拋物線的焦點F的直線與該拋物線相交于A，B兩點，且，若直線AB被圓所截得的弦長為4，則p=______.參考答案：或6拋物線的焦點，設直線方程為，代入有，設，從而①，，②由可得③，聯立①②③可得，于是直線方程為，即，從而圓心到直線的距離為，又圓的半徑為，弦長為4，從而有，解得或6。14.若在區間[0，1]上存在實數x使2x（3x+a）＜1成立，則a的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，1）考點：函數恒成立問題．專題：計算題；函數的性質及應用；不等式的解法及應用．分析：2x（3x+a）＜1可化為a＜2﹣x﹣3x，則在區間[0，1]上存在實數x使2x（3x+a）＜1成立，等價于a＜（2﹣x﹣3x）max，利用函數的單調性可求最值．解答： 解：2x（3x+a）＜1可化為a＜2﹣x﹣3x，則在區間[0，1]上存在實數x使2x（3x+a）＜1成立，等價于a＜（2﹣x﹣3x）max，而2﹣x﹣3x在[0，1]上單調遞減，∴2﹣x﹣3x的最大值為20﹣0=1，∴a＜1，故a的取值范圍是（﹣∞，1），故答案為：（﹣∞，1）．點評：該題考查函數恒成立問題，考查轉化思想，注意“存在”與“恒成立”問題的區別與聯系是解題關鍵．15.在數列中，，，則參考答案：16.已知n=（2x+1）dx，數列{}的前n項和為Sn，數列{bn}的通項公式為bn=n﹣35，n∈N*，則bnSn的最小值為．參考答案：﹣25【考點】定積分；數列的求和．【分析】由題意，先由微積分基本定理求出an再根據通項的結構求出數列{}的前n項和為Sn，然后代入求bnSn的最小值即可得到答案【解答】解：an=（2x+1）dx=（x2+x）=n2+n∴==﹣∴數列{}的前n項和為Sn=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，bn=n﹣35，n∈N*，則bnSn=×（n﹣35）=n+1+﹣37≥2×6﹣37=﹣25，等號當且僅當n+1=，即n=5時成立，故bnSn的最小值為﹣25．故答案為：﹣2517.如圖邊長為1的正方形的頂點分別在軸，軸正半軸上移動，則的最大值是

參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f(x)＝ax＋＋c(a、b、c是常數)是奇函數，且滿足f(1)＝，f(2)＝．(1)求a、b、c的值；(2)試判斷函數f(x)在(0，)上的單調性并說明理由；(3)試求函數f(x)在(0，＋∞)上的最小值．參考答案：(1)∵函數f(x)是奇函數，∴f(－x)＋f(x)＝0.即－ax－＋c＋ax＋＋c＝0，∴c＝0.由f(1)＝，f(2)＝，得a＋b＝，2a＋＝，解得a＝2，b＝．∴a＝2，b＝，c＝0.(2)由(1)知，f(x)＝2x＋，∴f′(x)＝2－．當x∈(0，)時，0<2x2<，則>2.∴f′(x)<0.∴函數f(x)在(0，)上為減函數．(3)由f′(x)＝2－＝0，x>0，得x＝．∵當x>時，<2，∴f′(x)>0，即函數f(x)在(，＋∞)上為增函數．又由(2)知x＝處是函數的最小值點，即函數f(x)在(0，＋∞)上的最小值為f()＝2.19.如圖1，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，面ABCD為正方形，E為側棱PD上一點，F為AB上一點．該四棱錐的正（主）視圖和側（左）視圖如圖2所示．（Ⅰ）求四面體PBFC的體積；（Ⅱ）證明：AE∥平面PFC；（Ⅲ）證明：平面PFC⊥平面PCD．參考答案：【考點】平面與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．【專題】空間位置關系與距離．【分析】（I）利用左視圖可得F為AB的中點，即可得到三角形BFC的面積，由PA⊥平面ABCD，可知PA是四面體PBFC的底面BFC上的高，利用三棱錐的體積計算公式即可得到；（II）利用三角形的中位線定理即可得到EQ∥CD，．再利用底面正方形的性質可得AF∥CD，，利用平行四邊形的判定和性質定理即可得到AE∥FQ，利用線面平行的判定定理即可證明結論；（III）利用線面垂直的性質定理和判定定理即可得到CD⊥平面PAD，從而得到CD⊥AE，由等腰三角形的性質可得AE⊥PD，利用線面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面PCD，而FQ∥AE，可得FQ⊥平面PCD，利用面面垂直的判定定理即可證明結論．【解答】（Ⅰ）解：由左視圖可得F為AB的中點，∴△BFC的面積為．∵PA⊥平面ABCD，∴四面體PBFC的體積為=．（Ⅱ）證明：取PC中點Q，連接EQ，FQ．由正（主）視圖可得E為PD的中點，∴EQ∥CD，．又∵AF∥CD，，∴AF∥EQ，AF=EQ．∴四邊形AFQE為平行四邊形，∴AE∥FQ．∵AE?平面PFC，FQ?平面PFC，∴直線AE∥平面PFC．（Ⅲ）證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵平面ABCD為正方形，∴AD⊥CD．∴CD⊥平面PAD．∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE．∵PA=AD，E為PD中點，∴AE⊥PD．∴AE⊥平面PCD．∵AE∥FQ，∴FQ⊥平面PCD．∵FQ?平面PFC，∴平面PFC⊥平面PCD．【點評】正確理解三視圖，熟練掌握三角形BFC的面積、三棱錐的體積計算公式、三角形的中位線定理、正方形的性質、平行四邊形的判定和性質定理、線面平行的判定定理、線面垂直的性質定理和判定定理、等腰三角形的性質、面面垂直的判定定理是解題的關鍵．20.（12分）某商場為刺激消費，擬按以下方案進行促銷：顧客每消費500元便得到抽獎券一張，每張抽獎券的中獎概率為，若中獎，商場返回顧客現金100元．某顧客現購買價格為2300的臺式電腦一臺，得到獎券4張.(Ⅰ)設該顧客抽獎后中獎的抽獎券張數為，求的分布列；(Ⅱ)設該顧客購買臺式電腦的實際支出為（元），用表示，并求的數學期望.參考答案：解析：(Ⅰ)的所有可能值為0，1，2，3，4.…………1分，，，.

……4分其分布列為：01234…………6分

(Ⅱ)，

.

…………8分由題意可知，

…………10分元.

…………12分21.已知函數（）的最小正周期為．（Ⅰ）求函數的單調增區間；（Ⅱ）將函數的圖象向左平移個單位，再向上平移個單位，得到函數的圖象．若在上至少含有個零點，求的最小值．參考答案：解：（Ⅰ）由題意得

由周期為，得.