山西省忻州市富村中學2021年高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知F1、F2分別是橢圓：的左、右焦點，若橢圓C上存在點A，滿足，則橢圓的離心率取值范圍是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D2.已知i是虛數單位，復數則z的共軛復數是（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D【知識點】復數綜合運算因為

所以，z的共軛復數是

故答案為：D3.定義；平面內兩條相交但不垂直的數軸構成的坐標系(兩條數軸的原點重合且單位長度相同)稱為平面斜坐標系．在平面斜坐標系xOy中，若=xe1+xe2(其中e1、e2分別是斜坐標系x軸y軸正方向上的單位向量x,yR，O為坐標系原點)，則有序數對(x，y)稱為點P的斜坐標．在平面斜坐標系xOy中，若∠xOy=120o，點C的斜坐標為(1，2)，則以點C為圓心，1為半徑的圓在斜坐標系xOy中的方程是(

)

A．x2+y2－xy－3y+2=0

B．x2+y2－2x－4y+4=0

C．x2+y2－xy+3y－2=0ks5u

D．x2+y2－2x+4y－4=0參考答案：A略4.若復數，則z2=（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B5.設，，，則a，b，c的大小關系為（

）A．

B． C．

D．參考答案：A6.中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還。”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第2天走了（

）A.192里

B.96里

C.48里

D.24里參考答案：B7.已知，，則

（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C略8.設集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，則P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}參考答案：B【考點】1D：并集及其運算．【分析】根據集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，則log2a=0，b=0，從而求得P∪Q．【解答】解：∵P∩Q={0}，∴log2a=0∴a=1從而b=0，P∪Q={3，0，1}，故選B．9.如圖給出的是計算的值的一個框圖，其中菱形判斷橫應填入的條件是A.

B.

C.

D.參考答案：A試題分析：由于共10個數，每執行一次加一個數，的值增加1，加10個數之后，的值變為11，此時判斷框的條件成立，退出循環體，判斷框內條件應為，故答案為A.考點：程序框圖的應用.10.某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在極坐標系中,過圓的圓心,且垂直于極軸的直線的極坐標方程為

。參考答案：12.已知數列{an}的前n項和，則數列的前100項的和為

參考答案：505013.對正整數n，設曲線y=xn（1﹣x）在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標為an，則數列的前n項和的公式是

．參考答案：2n+1﹣2考點：利用導數研究曲線上某點切線方程；數列的求和．專題：計算題；壓軸題．分析：欲求數列的前n項和，必須求出在點（1，1）處的切線方程，須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=2處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率即得直線方程進而得到切線與y軸交點的縱坐標．最后利用等比數列的求和公式計算，從而問題解決．解答： 解：y′=nxn﹣1﹣（n+1）xn，曲線y=xn（1﹣x）在x=2處的切線的斜率為k=n2n﹣1﹣（n+1）2n切點為（2，﹣2n），所以切線方程為y+2n=k（x﹣2），令x=0得an=（n+1）2n，令bn=．數列的前n項和為2+22+23+…+2n=2n+1﹣2．故答案為：2n+1﹣2．點評：本題考查應用導數求曲線切線的斜率，數列通項公式以及等比數列的前n項和的公式．解后反思：應用導數求曲線切線的斜率時，要首先判定所經過的點為切點．否則容易出錯．14.已知，，則參考答案：15.已知點是函數的圖像上任意不同兩點，依據圖像可知，線段AB總是位于A、B兩點之間函數圖像的上方，因此有結論成立．運用類比思想方法可知，若點是函數的圖像上的不同兩點，則類似地有

成立．參考答案：略16.已知分別為的三個內角的對邊，，且，則

．參考答案：（或30°）因為，所以由正弦定理的17.集合，，則等于

.參考答案：【測量目標】數學基本知識和基本技能/理解或掌握初等數學中有關方程與代數的基本知識.【知識內容】方程與代數/集合與命題/交集，并集，補集；方程與代數/不等式/一元二次不等式（組）的解法、含有絕對值的不等式的解法.【試題分析】集合，，所以，故答案為.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分14分）如圖，已知平面，∥，是正三角形，且.（1）設是線段的中點，求證：∥平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值.參考答案：（I）證明：取CE中點N,連接MN,BN則MN∥DE∥AB且MN=DE=AB∴四邊形ABNM為平行四邊形∴AM∥BN

………....4分

∴AM∥平面BCE………....6分（Ⅱ）解：取AD中點H,連接BH，

∵是正三角形，

∴CH⊥AD

…....8分

又∵平面

∴CH⊥AB

∴CH⊥平面ABED

....10分

∴∠CBH為直線與平面所成的角………....12分設AB=a,則AC=AD=2a

,

∴BH=a

BC=a

cos∠CBH=

………………....14分略19.參考答案：解析：（Ⅰ）連結AC，交BD于點O，連結PO，則PO⊥面ABCD

（2分）又∵

，∴，（2分）∵，∴

．（2分）

（Ⅱ）∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥面PBD，（1分）過點O作OM⊥PD于點M，連結AM，AM⊥PD，

（1分）

∴∠AMO就是二面角A-PD-O的平面角，（1分）∵，∴AO=，PO=

，（1分）∴

，即二面角的大小為.

（2分）20.設a、b、c分別是△ABC三個內角∠A、∠B、∠C的對邊，若向量，且，（1）求tanA?tanB的值；（2）求的最大值．參考答案：【考點】三角函數的化簡求值；平面向量數量積的運算．【專題】三角函數的求值．【分析】（1）由，化簡得4cos（A﹣B）=5cos（A+B），由此求得tanA?tanB的值．（2）利用正弦定理和余弦定理化簡為，而，利用基本不等式求得它的最小值等于，從而得到tanC有最大值，從而求得所求式子的最大值．【解答】解：（1）由，得．…即

，亦即

4cos（A﹣B）=5cos（A+B），即4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB﹣5sinAsinB…所以，9sinAsinB=cosAcosB，求得．…（2）因，…而，所以，tan（A+B）有最小值，…

當且僅當時，取得最小值．又tanC=﹣tan（A+B），則tanC有最大值，故的最大值為．…【點評】本題主要考查兩個向量數量積公式，正弦定理和余弦定理，兩角和的正切公式，以及基本不等式的應用，屬于中檔題．21.已知數列的奇數項是首項為的等差數列，偶數項是首項為的等比數列.數列前項和為，且滿足，.(1)求數列的通項公式;(2)若，求正整數的值；（3）是否存在正整數，使得恰好為數列中的一項？若存在，求出所有滿足條件的值，若不存在，說明理由.參考答案：【知識點】等比數列的性質；等差數列的性質．D2

D3【答案解析】（1）；（2）2；（3）存在正整數m=1，使得恰好為數列{an}中的第三項，存在正整數m=2，使得恰好為數列{an}中的第二項．解析：（1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q，則a1=1，a2=2，a3=1+d，a4=2q，a9=1+4d．∵S5=2a4+a5，∴a1+a2+a3=a4，即4d=2q，又a9=a3+a4．∴1+4d=1+d=2q．解得：d=2，q=3．∴對于k∈N*，有．故；（2）若am=2k，則由amam+1=am+2，得2?3k﹣1（2k+1）=2?3k，解得：k=1，則m=2；若am=2k﹣1，則由（2k﹣1）?2?3k﹣1=2k+1，此時左邊為偶數，右邊為奇數，不成立．故滿足條件的正數為2；（3）對于k∈N*，有．．假設存在正整數m，使得恰好為數列{an}中的一項，又由（1）知，數列中的每一項都為正數，故可設=L（L∈N*），則，變形得到：（3﹣L）3m﹣1=（L﹣1）（m2﹣1）①．∵m≥1，L≥1，3m﹣1＞0，∴L≤3．又L∈N*，故L可能取1，2，3．當L=1時，（3﹣L）3m﹣1＞0，（L﹣1）（m2﹣1）=0，∴①不成立；當L=2時，（3﹣2）3m﹣1=（2﹣1）（m2﹣1），即3m﹣1=m2﹣1．若m=1，3m﹣1≠m2﹣1，令，則=．因此，1=T2＞T3＞…，故只有T2=1，此時m=2，L=2=a2．當L=3時，（3﹣3）3m﹣1=（3﹣1）（m2﹣1）．∴m=1，L=3=a3．綜上，存在正整數m=1，使得恰好為數列{an}中的第三項，存在正整數m=2，使得恰好為數列{an}中的第二項．【思路點撥】（1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q由題意列式求出公差和公比，則等差數列和等比數列的通項公式即可得出；（2）分am=2k和am=2k﹣1，利用amam+1=am+2即可求出滿足該等式的正整數m的值；（3）對于k∈N*，有．．假設存在正整數m，使得恰好為數列{an}中的一項，設=L（L∈N*），則，變形得到（3﹣L）3m﹣1=（L﹣1）（m2﹣1），由此式得到L的可能取值，然后依次分類討論求解．22.一個袋子中裝有6個紅球和4個白球，假設袋子中的每一個球被摸到可能性是相等的。(Ⅰ)從袋子中任意摸出3個球，求摸出的球均為白球的概率；(Ⅱ)一次從袋子中任意摸出3個球，若其中紅球的個數多于白球的個數，則稱“摸球成功”(每次操作完成后將球放回)，某人連續摸了3次，記“摸球成功”的次數為，求的分布列和數學期望。參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）設從袋子中任意摸出