山西省忻州市實驗學校2021年高三數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸都相切，則該圓的標準方程是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B2.空氣質量指數AOI是檢測空氣質量的重要參數，其數值越大說明空氣污染狀況越嚴重，空氣質量越差.某地環保部門統計了該地區某月1日至24日連續24天的空氣質量指數AOI，根據得到的數據繪制出如圖所示的折線圖，則下列說法錯誤的是（

）A.該地區在該月2日空氣質量最好B.該地區在該月24日空氣質量最差C.該地區從該月7日到12日AOI持續增大D.該地區的空氣質量指數AOI與這段日期成負相關參考答案：D【分析】利用折線圖對每一個選項逐一判斷得解.【詳解】對于選項A,由于2日的空氣質量指數AOI最低，所以該地區在該月2日空氣質量最好，所以該選項正確；對于選項B,由于24日的空氣質量指數AOI最高，所以該地區在該月24日空氣質量最差，所以該選項正確；對于選項C,從折線圖上看，該地區從該月7日到12日AOI持續增大，所以該選項正確；對于選項D,從折線圖上看，該地區的空氣質量指數AOI與這段日期成正相關，所以該選項錯誤.故選：D【點睛】本題主要考查折線圖，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.

3.若變量x，y滿足約束條件，則x+2y的最大值是（

）A.

B.0

C.

D.參考答案：C4.已知a是實數，是純虛數，則a＝(

)參考答案：A略5.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C．3 D．參考答案：A【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由幾何體的三視圖得該幾何體是三棱錐S﹣ABC，其中SO⊥底面ABC，O是AC中點，且OA=OC=OB=1，SO=2，OB⊥AC，由此能求出該幾何體的體積．【解答】解：由幾何體的三視圖得該幾何體是三棱錐S﹣ABC，其中SO⊥底面ABC，O是AC中點，且OA=OC=OB=1，SO=2，OB⊥AC，∴該幾何體的體積為：VS﹣ABC===．故選：A．6.若x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分條件，則實數m的取值范圍是（） A．[﹣3，3] B．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．[﹣1，1]參考答案：D【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 【分析】根據充分條件和必要條件的定義結合不等式之間的關系進行求解即可． 【解答】解：x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分條件， ∴（﹣1，4）?（2m2﹣3，+∞）， ∴2m2﹣3≤﹣1， 解得﹣1≤m≤1， 故選：D． 【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的應用，根據不等式的關系是解決本題的關鍵． 7.某單位有840名職工,現采用系統抽樣方法,抽取42人做問卷調查,將840人按1,2,…,840隨機編號,則抽取的42人中,編號落入區間[481,720]的人數為 (A)11 (B)12 (C)13 (D)14參考答案：B略8.已知O是坐標原點，點，若點為平面區域上的一個動點，則|AM|的最小值是A．

B． C． D．參考答案：B9.已知函數，若關于x的不等式f(x)＞f(x+m)的解集為M，且，則實數m的取值范圍是（

）A．[-1,0]

B．

C．

D．參考答案：C10.設某氣象站天氣預報準確率為

，則在3次預報中恰有2次預報準確的概率是(A)0.001

(B)0.729

(C)0.027

(D)0.243參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點A（﹣3，﹣2）和圓C：（x﹣4）2+（y﹣8）2=9，一束光線從點A發出，射到直線l：y=x﹣1后反射（入射點為B），反射光線經過圓周C上一點P，則折線ABP的最短長度是

．參考答案：10考點：圓的標準方程．專題：直線與圓．分析：求出A點關于直線l：y=x﹣1的對稱點D，連接D與圓C的圓心，交圓C于P，則折線ABP的最短長度等于|DC|﹣3．解答： 解：如圖：設A（﹣3，﹣2）關于直線l：y=x﹣1的對稱點為D（x0，y0），由，解得D（﹣1，﹣4），由圓的方程可知圓心為C（4，8），半徑為3．連接DC交圓C于P，則|DC|=．∴折線ABP的最短長度是13﹣3=10．故答案為：10．點評：本題考查了圓的標準方程，考查了直線和圓的位置關系，考查了數形結合的解題思想方法與數學轉化思想方法，是中檔題．12.直線l：x+y=0經過圓C：x2+y2﹣2ax﹣2y+a2=0的圓心，則a=．參考答案：﹣1【考點】直線與圓相交的性質．【分析】根據題意，將圓C的方程變形為標準方程，即可得其圓心的坐標，將圓心坐標代入直線方程即可得a+1=0，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根據題意，圓C的一般方程為x2+y2﹣2ax﹣2y+a2=0，則其標準方程（x﹣a）2+（y﹣1）2=1，其圓心坐標為（a，1），又由直線l：x+y=0經過圓C的圓心，則有a+1=0，解可得a=﹣1；故答案為：﹣113.已知等比數列{an}中，a2＞a3＝1，則使不等式成立的最大自然數n是__________．參考答案：5略14.設是定義在R上的奇函數，且滿足，且，則_______________．參考答案：–2略15.某棉紡廠為了了解一批棉花的質量，從中隨機抽取了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質量的重要指標），所得數據都在區間[5,40]中，其頻率分布直方圖如圖所示.從抽樣的100根棉花纖維中任意抽取一根，則其棉花纖維的長度小于20mm的概率為

.參考答案：16.在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么∠B等于_______.

參考答案：由題意可得，所以.

17.在平面直角坐標系中，定義為兩點,之間的“折線距離”.則坐標原點與直線上一點的“折線距離”的最小值是__▲__；圓上一點與直線上一點的“折線距離”的最小值是__▲

_.

參考答案：，（1），畫圖可知時，取最小值.（2）設圓上點，直線上點，則，畫出此折線，可知在時，取最小值，三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數列是等差數列，滿足數列的前n項和是Tn，且（1）求數列及數列的通項公式；（II）若，試比較與的大小.參考答案：

略19.已知函數f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）﹣log2（a2﹣3a）＞2恒成立，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】函數恒成立問題．【分析】（Ⅰ）通過對自變量x的范圍的討論，去掉絕對值符號，從而可求得不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）不等式f（x）﹣＞2恒成立?+2＜f（x）min恒成立，利用絕對值不等式的性質易求f（x）min=4，從而解不等式＜2即可．【解答】解：（Ⅰ）原不等式等價于或或，解得：＜x≤2或﹣≤x≤或﹣1≤x＜﹣，∴不等式f（x）≤6的解集為{x|﹣1≤x≤2}．

（Ⅱ）不等式f（x）﹣＞2恒成立?+2＜f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|恒成立?+2＜f（x）min恒成立，∵|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，∴f（x）的最小值為4，∴+2＜4，即，解得：﹣1＜a＜0或3＜a＜4．∴實數a的取值范圍為（﹣1，0）∪（3，4）．20.（本小題滿分12分）某中學高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學生參加數學競賽，他們取得的成績（滿分100分）的莖葉圖如圖，其中甲班學生的平均分是85．

（I）計算甲班7位學生成績的方差；

（II）從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，求甲班至少有一名學生的概率．

參考公式：方差，其中．參考答案：

．

………………9分

其中甲班至少有一名學生共有7種情況：．

……………10分記“甲班至少有一名學生”為事件，則，即從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲校至少有一名學生的概率為．…12分考點：統計與概率.21.（本小題滿分14分）

已知兩點F1（-1，0）及F2（1，0），點P在以F1、F2為焦點的橢圓C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|構成等差數列．

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖7，動直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點，點M，N是直線l上的兩點，且F1M⊥l，F2N⊥l．求四邊形F1MNF2面積S的最大值．參考答案：解：（1）依題意，設橢圓的方程為．構成等差數列，，．又，．橢圓的方程為．……………………4分

(2)將直線的方程代入橢圓的方程中，得．

…………5分由直線與橢圓僅有一個公共點知，，化簡得：．

…………7分

設，，

…………9分（法一）當時，設直線的傾斜角為，則，，

，………11分，當時，，，．當時，四邊形是矩形，．

……………13分所以四邊形面積的最大值為．

………………14分略22.在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為（a＞b＞0，φ為參數），且曲線C1上的點M（2，）對應的參數φ=．以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2是圓心在極軸上且經過極點的圓．射線與曲線C2交于點D（，）．（1）求曲線C1的普通方程，曲線C2的極坐標方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲線C1上的兩點，求+的值．參考答案：【考點】參數方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程．【分析】（1）點M（2，）對應的參數φ=代入（a＞b＞0，φ為參數），可得，解得a，b．可得曲線C1的普通方程．設圓C2的半徑為R，則曲線C2的極坐標方程為ρ=2Rcosθ