山西省忻州市南西力學校2021年高三數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設函數f(x)＝|sinx|·cosx，則下列結論正確的是A.f(x)的最小正周期為2π

B.f(x)在單調遞減C.y＝f(x)圖像的對稱軸方程為x＝kπ(k∈Z)

D.f(x)在有且僅有2個極小值點參考答案：B2.設0<b<a<1，則下列不等式成立的是()A．ab<b2<1

B．<()a<()bC．a2<ab<1

D．logb<loga<0參考答案：B3.已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其圖象與直線y=﹣1相鄰兩個交點的距離為π．若f（x）＞1對任意x∈（﹣，）恒成立，則φ的取值范圍是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．（，]參考答案：B【考點】正弦函數的圖象．【分析】由題意求得sin（ωx+φ）=﹣1，函數y=sin（ωx+φ）的圖象和直線y=﹣1鄰兩個交點的距離為π，根據周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式．再根據當x∈（﹣，）時，f（x）＞1，可得sin（2x+φ）＞0，故有﹣+φ≥2kπ，且+φ≤2kπ+π，由此求得φ的取值范圍．【解答】解：函數f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤）的圖象與直線y=﹣1相鄰兩個交點的距離為π，令2sin（ωx+φ）+1=﹣1，即sin（ωx+φ）=﹣1，即函數y=sin（ωx+φ）的圖象和直線y=﹣1鄰兩個交點的距離為π，故T==π，求得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）+1．由題意可得，當x∈（﹣，）時，f（x）＞1，即sin（2x+φ）＞0，故有﹣+φ≥2kπ，且+φ≤2kπ+π，求得φ≥2kπ+，且φ≤2kπ+，k∈Z，故φ的取值范圍是[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，結合所給的選項，故選：B．4.下圖是計算的值的一個流程圖，其中判斷框內應填入的條件是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B5.（5分）（2015秋?太原期末）已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的圖象如圖所示，若f（α）=3，α∈（，），則sinα的值為（）A．B．C．D．參考答案：A【分析】根據函數的最值得到A，再由圖象可得函數的周期，結合周期公式得到ω的值，再根據函數的最大值對應的x值，代入并解之得φ，從而得到函數的表達式，最后求得cos（α+）的值，利用兩角差的正弦函數公式即可得解．【解答】解：∵函數f（x）的最大值為5，最小值為﹣5，∴A=5，又∵函數的周期T=2（）=2π，∴ω===1，∴函數圖象經過點（，5），即：5sin（+φ）=5，∴解得：+φ=+2kπ，k∈Z，可得：φ=+2kπ，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴取k=0，得φ=．∴函數的表達式為：f（x）=5sin（x+），∵f（α）=5sin（α+）=3，解得：sin（α+）=，又∵α∈（，），可得：α+∈（，π），∴cos（α+）=﹣=﹣，∴sinα=sin（α+﹣）=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣（﹣）×=．故選：A．【點評】本題給出函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象，要我們確定其解析式并根據解析式求特殊的函數值，著重考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質的知識，屬于中檔題．6.函數)的部分圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需將f(x)的圖象

A.向右平移個單位

B．向右平移個單位

C．向左平移個單位

D．向左平移個單位

參考答案：B7.歐拉公式（為虛數單位）是由瑞士著名數學家歐拉發現的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數理論里非常重要，被譽為“數學中的天橋”，根據歐拉公式可知，表示的復數在復平面中位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：B8.已知函數的圖象與軸交點的橫坐標構成一個公差為的等差數列，把函數的圖象沿軸向左平移個單位，得到函數的圖象.關于函數，下列說法正確的是A.在上是增函數

B.其圖象關于直線對稱C.函數是奇函數

D.當時，函數的值域是參考答案：D9.設變量x，y滿足約束條件.目標函數處取得最小值，則a的取值范圍為

(A)(-1,2)

(B)(-2,4)

(C)(-4,0]

(D)(-4,2)參考答案：D略10.集合，，則A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設集合A＝{x||4x－1|9,xR},B＝{x|0，xR},則AB＝_____________參考答案：(－，－3)∪[，＋)略12.閱讀下面的流程圖，若輸入，，則輸出的結果是

▲

．參考答案：213.執行如下程序框圖，輸出的i=

．參考答案：6考點：程序框圖．專題：圖表型；算法和程序框圖．分析：模擬執行程序框圖，依次寫出每次循環得到的s，i的值，當s=57時，不滿足條件s＜30，退出循環，輸出i的值為6．解答： 解：模擬執行程序框圖，可得s=0，i=1，s=1，i=2滿足條件s＜30，s=4，i=3滿足條件s＜30，s=11，i=4滿足條件s＜30，s=26，i=5滿足條件s＜30，s=57，i=6不滿足條件s＜30，退出循環，輸出i的值為6．故答案為：6．點評：本題主要考查了循環結構的程序框圖，正確寫出每次循環得到的s，i的值是解題的關鍵，屬于基礎題．14.若直線x+y﹣2=0與圓x2+y2=4相交于A，B兩點，則弦AB的長度等于．參考答案：2【考點】直線與圓相交的性質．【分析】易得圓的圓心和半徑，由距離公式可得圓心到直線的距離d，由勾股定理可得|AB|．【解答】解：∵圓x2+y2=4的圓心為（0，0），半徑r=2，∴圓心到直線x+y﹣2=0的距離d==1，∴弦長|AB|=2=2．故答案為：2．15.若復數z滿足z（1﹣i）=2i（i是虛數單位），是z的共軛復數，則=

．參考答案：﹣1﹣i

【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】把已知等式變形，再由復數代數形式的乘除運算化簡求得z，進一步求得．【解答】解：∵z（1﹣i）=2i，∴，∴．故答案為：﹣1﹣i．16.在中，分別為角的對邊，則

．參考答案：17.若，則的最小值為_____________參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，其中∠ACB=（Ⅰ）求ω與φ的值；（Ⅱ）不畫圖，說明函數y=f（x）的圖象經過怎樣的變化可得到y=sinx的圖象．參考答案：解答： 解：（1）設函數f（x）=sin（ωx+φ）的周期為T，則A（），C（+，﹣），H（+T，0），∵∠ACB=，∴AC2+CH2=AH2，即T2+3++3=T2，解得：T=4，∴ω==．又ω+φ=2kπ（k∈Z），∴φ=2kπ﹣（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=﹣．（2）由（1）知，f（x）=sin（x﹣），將f（x）=sin（x﹣）的圖象向左平移個單位，得到y=sinx的圖象，再將得到的圖象的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），得到y=sinx的圖象，最后將y=sinx的圖象的縱坐標變為原來的（橫坐標不變），得到y=sinx的圖象．

略19.（13分）已知數列滿足，，．（Ⅰ）證明數列為等比數列，求出的通項公式；（Ⅱ）設,數列的前項和為,求證:對任意，.參考答案：解析：（I）由有數列是首項為，公比為的等比數列.

(６分)（Ⅱ）

(7分)

(9分)

(13分)20.（本小題滿分13分）

在中，角、、所對的邊分別為，．（I）求角的大小；（Ⅱ）若，求函數的最小正周期和單增區間．參考答案：解：（Ⅰ）

……2分由

得

,

………………5分（Ⅱ）

………………6分=

………………10分所以，所求函數的最小正周期為由

得所以所求函數的單增區間為

………………13分略21.已知f(x)是定義在R上的偶函數，且x≤0時，f(x)＝－x＋1(1)求f(0)，f(2)；(2)求函數f(x)的解析式；(3)若f(a－1)<3，求實數a的取值范圍．參考答案：：(1)因為當x≤0時，f(x)＝－x＋1所以f(0)＝1.又函數f(x)是定義在R上的偶函數，所以f(2)＝f(－2)＝—(－2)＋1＝3，即f(2)＝3-----------------------------4分(2)令x>0，則－x<0，從而f(－x)＝x＋1＝f(x)，∴x>0時，f(x)＝x＋1∴函數f(x)的解析式為-------------------------------------------------------8分(3)由函數圖像可得∴f(x)＝－x＋1在(－∞，0]上為減函數．又f(x)是定義在R上的偶函數，∴f(x)在(0，＋∞)上為增函數．∵f(a－1)<3＝f(2)，∴|a－1