山西省太原市西山煤電集團公司高級中學2023年高三數學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設（i是虛數單位），則=（

）

A．1+i

B．-1+i

C．1-i

D．-1-i參考答案：C略2.設實數b，c，d成等差數列，且它們的和為9，如果實數a，b，c構成公比不等于－1的等比數列，則a+b+c的取值范圍為（

）A.(,+∞)

B.(－∞,)

C.[,3)∪(3,+∞)

D.(－∞,－3)∪(－3,)參考答案：C設這4個數為，且，于是，整理得，由題意上述方程有實數解且．如，則，而當時，或6，當時，，，，此時，其公比，不滿足條件，所以，

又，綜上得且．3.已知函數f（x）的圖象如圖所示，則f（x）的解析式可能是(

)A．f（x）=﹣x3 B．f（x）=+x3 C．f（x）=﹣x3 D．f（x）=﹣﹣x3參考答案：A【考點】函數的圖象．【專題】函數的性質及應用．【分析】本題是選擇題，可采用排除法，根據函數的定義域可排除選項C再根據特殊值排除B，D，即可得到所求【解答】解：由圖象可知，函數的定義域為x≠a，a＞0，故排除C，當x→+∞時，y→0，故排除B，當x→﹣∞時，y→+∞，故排除B，當x=1時，對于選項A．f（1）=0，對于選項D，f（1）=﹣2，故排除D．故選：A．【點評】本題主要考查了識圖能力，數形結合的思想，屬于基礎題4.設計一個計算的算法，圖1給出了程序的一部分.在下列選項中，在橫線①上不能填入的數是

A．

B．

C．

D．

參考答案：A略5.已知偶函數在R上的任一取值都有導數，且則曲線在處的切線的斜率為

()

A.2

B.-2

C.1

D.-1參考答案：D略6.（3分）用數學歸納法證明等式1+3+5+…+（2n﹣1）=n2（n∈N*）的過程中，第二步假設n=k時等式成立，則當n=k+1時應得到（）A．1+3+5+…+（2k+1）=k2B．1+3+5+…+（2k+1）=（k+1）2C．1+3+5+…+（2k+1）=（k+2）2D．1+3+5+…+（2k+1）=（k+3）2參考答案：考點：數學歸納法．專題：閱讀型．分析：首先由題目假設n=k時等式成立，代入得到等式1+3+5+…+（2k﹣1）=k2．當n=k+1時等式左邊=1+3+5++（2k﹣1）+（2k+1）由已知化簡即可得到結果．解答：因為假設n=k時等式成立，即1+3+5+…+（2k﹣1）=k2當n=k+1時，等式左邊=1+3+5+…+（2k﹣1）+（2k+1）=k2+（2k+1）=（k+1）2．故選B．點評：此題主要考查數學歸納法的概念問題，涵蓋知識點少，屬于基礎性題目．需要同學們對概念理解記憶．7.設i是虛數單位，復數(

)A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i參考答案：A【考點】復數代數形式的乘除運算．【專題】數系的擴充和復數．【分析】利用復數的運算法則即可得出．【解答】解：復數===3﹣2i，故選：A．【點評】本題考查了復數的運算法則，屬于基礎題．8.（5分）（2015?楊浦區二模）如圖，設點A是單位圓上的一定點，動點P從A出發在圓上按逆時針方向轉一周，點P所旋轉過的弧的長為l，弦AP的長為d，則函數d=f（l）的圖象大致為（）A．B．C．D．參考答案：C【考點】：正弦函數的圖象．【專題】：壓軸題；數形結合．【分析】：根據題意和圖形取AP的中點為D，設∠DOA=θ，在直角三角形求出d的表達式，根據弧長公式求出l的表達式，再用l表示d，根據解析式選出答案．解：如圖：取AP的中點為D，設∠DOA=θ，則d=2|OA|sinθ=2sinθ，l=2θ|OA|=2θ，∴d=2sin，根據正弦函數的圖象知，C中的圖象符合解析式．故選：C．【點評】：本題考查了正弦函數的圖象，需要根據題意和弧長公式，表示出弦長d和弧長l的解析式，考查了分析問題和解決問題以及讀圖能力．9.函數f(x)=log5(x2+1),

x∈[2,+∞的反函數是

（

）

A．g(x)=(x≥0)

B．g(x)=(x≥1)

C．g(x)=(x≥0)

D．g(x)=(x≥1)

參考答案：答案：D10.已知定義在R上的奇函數f（x）和偶函數g（x）滿足f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2，若g（2）=a，則f（2）=（）A．2 B． C． D．a2參考答案：B【考點】函數奇偶性的性質．【分析】利用函數f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，由條件f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2，構建方程組，然后求解即可．【解答】解：∵f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2，g（2）=a，∴f（2）+g（2）=a2﹣a﹣2+2．①，∵f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，∴當x=﹣2時，f（﹣2）+g（﹣2）=a﹣2﹣a2+2

②即﹣f（2）+g（2）=a﹣2﹣a2+2，③①+③得：2g（2）=4，即g（2）=2，又g（2）=a，∴a=2．代入①得：f（2）+2=22﹣2﹣2+2，∴f（2）=22﹣2﹣2=4﹣=．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知集合，則

．參考答案：{－1,2,3}12.設且

則對任意，

.參考答案：解析：，

所以，13.已知，且，則xy的最小值為______________.參考答案：64【分析】根據基本不等式解得取值范圍，再結合等號確定最值取法.【詳解】，當且僅當時取等號，所以最小值為【點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意等號取得的條件，否則會出現錯誤.14.圓x2＋y2＝1上任意一點P，過點P作兩直線分別交圓于A，B兩點，且∠APB＝60°，則｜PA｜2＋｜PB｜2的取值范圍為__

__．參考答案：（5，6]過點P做直徑PQ，如圖，根據題意可得：｜PQ｜＝2.因此，｜PA｜2＋｜PB｜2的取值范圍為（5，6]．15.已知函數,且)有兩個零點，則的取值范圍是

.參考答案：略16.（文）橢圓的左焦點為，直線與橢圓相交于點、，當的周長最大時，的面積是____________．參考答案：設橢圓的右焦點為E．如圖：由橢圓的定義得：△FAB的周長：因為,所以，當過時取等號，所以，即直線過橢圓的右焦點E時的周長最大，由題意可知，右焦點為，所以當時，的周長最大，當時，，所以的面積是.17.已知函數則

▲

；若，則

▲

．參考答案：;或

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的離心率為，點在橢圓C上.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若不過原點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，與直線OM交于點N，并且點N是線段AB的中點，求△OAB面積的最大值.參考答案：（1）因為，所以，……①

…1分將點坐標代入橢圓標準方程，得到……②

………………2分聯立①②，解得……………………3分所以橢圓的標準方程為.………………4分（2）由題意可知，直線的斜率存在，設直線的方程為，并設，，線段中點在直線上，所以……………5分因為，兩式相減得到因為所以………………6分由，消去得到關于的一元二次方程并化簡得，解得………………7分……………8分原點到直線的距離…………………9分…………10分……………………11分當且僅當時取等號…………12分綜上，當時，面積最大值為，此時直線方程為.（沒有總結語，扣1分）19.（本題滿分12分）某校從參加高三年級期末統考測試的學生中抽出80名學生，其數學成績（均為整數）的頻率分布直方圖如圖所示．（Ⅰ）估計這次測試數學成績的平均分和眾數；（Ⅱ）假設在[90，100]段的學生的數學成績都不相同，且都超過94分．若將頻率視為概率，現用簡單隨機抽樣的方法，從95，96，97，98，99，100這6個數中任意抽取2個數，有放回地抽取了3次，記這3次抽取中，恰好是兩個學生的數學成績的次數為，求的分布列及數學期望．參考答案：（I）利用中值估算抽樣學生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72.

……………（3分）眾數的估計值為75分

……………（5分）所以，估計這次考試的平均分是72分．

……………（6分）（注：這里的眾數、平均值為估計量，若遺漏估計或大約等詞語扣一分）（II）從95，96，97，98，99，100中抽2個數的全部可能的基本結果數是，有15種結果，學生的成績在[90，100]段的人數是0.005×10×80=4（人），這兩個數恰好是兩個學生的數學成績的基本結果數是，兩個數恰好是兩個學生的數學成績的概率

……………（8分）隨機變量的可能取值為0、1、2、3，則有．∴∴變量的分布列為：0123P

…………（10分）

…………（12分）

解法二.隨機變量滿足獨立重復試驗,所以為二項分布,即………（10分）

…………（12分）20.已知函數f（x）=lnx﹣+（a﹣1）x（a＞0）．（1）求f（x）的單調區間；（2）試問在函數f（x）的圖象上是否存在A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），使得f（x）在x0=處的切線l平行于AB，若存在，求出A，B點的坐標，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）求導f′（x）=﹣，從而確定導數的正負，從而確定函數的單調區間；（2）求導f′（x0）=﹣a+a﹣1，求直線AB的斜率kAB=﹣+a﹣1，從而可得=，再設=t，（t＞1），從而可得2=lnt，令g（t）=lnt﹣2=lnt+﹣2，從而解得．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣+（a﹣1）x，∴f′（x）=﹣，又∵a＞0，∴當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0；故f（x）的單調增區間為（0，1），單調減區間為（1，+∞）；（2）∵f′（x0）=f′（）=﹣a+a﹣1，kAB==﹣+a﹣1，由題意可得，﹣a+a﹣1=﹣+a﹣1；故=，故=，即設=t，（t＞1），則上式可化為=lnt，即2=lnt，令g（t）=lnt﹣2=lnt+﹣2，g′（t）=﹣==≥0，故g（t）=lnt﹣2在（0，+∞）上是增函數，而g（1）=0，故與x1＜x2相矛盾，故不存在．【點評】本題考查了導數的綜合應用及導數的幾何意義的應用．21.直三棱柱，棱上有一個動點滿足.（1）求的值，使得三棱錐的體積是三棱柱

體積的；

（2）在滿足（1）的情況下，若，，確定上一點，使得，求出此時的值.參考答案：解：（1）根據條件，有，，即點到底面的距離是點到底面距離的，所以；（2）根據條件，易得，則當時，即有

，即時，有，所以

略22.在數列中，，．（1）設，求數列的通項公式