山西省太原市煤炭氣化集團有限責任公司第一中學2021年高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，則的子集共有（A）2個

（B）4個

（C）6個

（D）8個參考答案：B本題主要考查了集合間的運算關系及對子集的理解,難度較小.因為集合P=={1,3},則P的子集有、{1}、{3}、{1,3}，故選B.2.已知等差數列的公差為不為0，等比數列的公比是小于1的正有理數，若，且是正整數，則的值可以是

A.

B.-

C.

D.參考答案：C由題意知，，所以，因為是正整數，所以令，為正整數。所以，即，解得，因為為正整數，所以當時，。符合題意，選C.3.已知:命題：“是的充分必要條件”；命題：“”．則下列命題正確的是 A．命題“∧”是真命題

B．命題“（┐）∧”是真命題 C．命題“∧（┐）”是真命題

D．命題“（┐）∧（┐）”是真命題參考答案：B略4.將函數的圖象按向量平移后所得的圖象關于對稱，則向量的坐標可能為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B略5.給出定義：若（其中m為整數），則m叫做離實數x最近的整數，記作{x}=m。在此基礎上給出下列關于函數的四個命題：

（

）

①函數的定義域為R，值域為[o，]；

②函數的圖象關于直線對稱；

③函數是周期函數，最小正周期為1；

④函數在[]上是增函數．

則所有正確的命題的編號是

A．①③

B．①②③

C．②④

D．③④參考答案：B6.定義集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，則A∩?RB=（）A．（1，+∞） B．[0，1] C．[0，1） D．[0，2）參考答案：B【考點】交、并、補集的混合運算．【分析】求出A中x的范圍確定出A，求出B中y的范圍確定出B，找出A與B補集的交集即可．【解答】解：由A中f（x）=，得到2x﹣1≥0，即2x≥1=20，解得：x≥0，即A=[0，+∞），由2x+2＞2，得到y=log2（2x+2）＞1，即B=（1，+∞），∵全集為R，∴?RB=（﹣∞，1]，則A∩?RB=[0，1]．故選：B．7.已知函數，若，且，則的最小值為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D略8.已知M為△ABC的邊AB的中點，△ABC所在平面內有一個點P，滿足，若，則λ的值為（）A．2 B．1 C． D．4參考答案：A【考點】向量的線性運算性質及幾何意義；向量的加法及其幾何意義．【分析】由題意滿足，可得：四邊形PACB是平行四邊形，又M為△ABC的邊AB的中點，可得PC=2PM，即可得出．【解答】解：由題意滿足，可得：四邊形PACB是平行四邊形，又M為△ABC的邊AB的中點，∴PC=2PM，，∴λ=2．故選：A．9.若函數f（x）的圖象與函數y=（x﹣2）e2﹣x的圖象關于點（1，0）對稱，且方程f（x）=mx2只有一個實根，則實數m的取值范圍為（）A．[0，e） B．（﹣∞，e）） C．{e} D．（﹣∞，0）∪{e}參考答案：A【考點】3O：函數的圖象．【分析】求出f（x）的解析式，作出f（x）的函數圖象，根據f（x）與y=mx2的交點個數判斷．【解答】解：∵f（x）的圖象與函數y=（x﹣2）e2﹣x的圖象關于點（1，0）對稱，∴f（x）=﹣[（2﹣x）﹣2]e2﹣（2﹣x）=xex，f′（x）=ex（x+1），∴當x＜﹣1時，f′（x）＜0，當x＞﹣1時，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上單調遞減，在（﹣1，+∞）上單調遞增，作出f（x）的函數圖象如圖所示：顯然，當m=0時，f（x）與y=mx2有1個交點，符合題意；排除C，D；當m＜0時，拋物線y=mx2與f（x）的圖象有2個交點，即f（x）=mx2有2個根，不符合題意，排除B，故選：A．10.在一個樣本的頻率分布直方圖中，總共有9個小長方形，若中間一個小長方形面積等于其它8個小長方形的面積和的，且樣本容量為90，則中間一組的頻數為A.18 B.15 C.12 D.10參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積等于________.參考答案：12.已知冪函數的圖像過點，則此冪函數的解析式是_____________.參考答案：設冪函數為，則由得，即，所以，，所以。13.已知函數的值域是，則實數的取值范圍是________________。參考答案：略14.設向量=（﹣2，1），=（1，3），若向量+λ與向量=（﹣3，﹣2）共線，則λ=

．參考答案：﹣1【考點】平面向量共線（平行）的坐標表示．【分析】由平面向量坐標運算法則先求出，再由向量向量與向量=（﹣3，﹣2）共線，能求出λ．【解答】解：∵向量=（﹣2，1），=（1，3），∴=（﹣2，1）+λ（1，3）=（﹣2+λ，1+3λ），∵向量與向量=（﹣3，﹣2）共線，∴﹣3（1+3λ）=﹣2（﹣2+λ），解得λ=﹣1，故答案為：﹣115.若實數滿足不等式組，則的最大值為

．參考答案：略16.已知函數，若且，則的取值范圍是

參考答案：17.設tR，若x＞0時均有，則t＝______________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知函數f（x）=Asin（ωx+）（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的最大值為2，最小正周期為8．（Ⅰ）求函數f（x）的解析式及函數的增區間；（Ⅱ）若函數f（x）圖象上的兩點P，Q的橫坐標依次為2，4，O為坐標原點，求△POQ的面積．參考答案：【考點】：正弦函數的圖象．【專題】：三角函數的圖像與性質；解三角形．【分析】：（Ⅰ）由已知得A=2．由周期公式可求得ω，即可確定解析式，由2k≤x+≤2k，k∈Z即可解得函數的增區間．（Ⅱ）先由已知可求得：P，Q坐標，即可求得|OP|，|OQ|，|PQ|的值，由余弦定理可得cos∠POQ，可得sin∠POQ=，從而由面積公式即可求值．解：（Ⅰ）由已知得A=2．由周期公式可求得：．∴f（x）=2sin（x+）．∴由2k≤x+≤2k，k∈Z即可解得：x∈[8k﹣3，8k+1]，k∈Z，∴函數的增區間是[8k﹣3，8k+1]．，k∈Z，（Ⅱ）∵函數f（x）圖象上的兩點P，Q的橫坐標依次為2，4，∴可求得：P（2，），Q（4，﹣）．∴可求得：|OP|=，|OQ|=3，|PQ|=2∴由余弦定理可得：cos∠POQ==，sin∠POQ=，∴△POQ的面積為s=×OP×OQ×sin∠POQ=3．【點評】：本題主要考查了正弦函數的圖象和性質，余弦定理的應用，兩點距離公式的應用，屬于中檔題．19.已知中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為的橢圓過點（，）．（1）求橢圓的方程；（2）設不過原點O的直線l與該橢圓交于P，Q兩點，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數列，求△OPQ面積的取值范圍．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】計算題．【分析】（1）設出橢圓的方程，將已知點代入橢圓的方程及利用橢圓的離心率公式得到關于橢圓的三個參數的等式，解方程組求出a，b，c的值，代入橢圓方程即可．（2）設出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯立，消去x得到關于y的二次方程，利用韋達定理得到關于兩個交點的坐標的關系，將直線OP，PQ，OQ的斜率用坐標表示，據已知三個斜率成等比數列，列出方程，將韋達定理得到的等式代入，求出k的值，利用判別式大于0得到m的范圍，將△OPQ面積用m表示，求出面積的范圍．【解答】解：（1）由題意可設橢圓方程為（a＞b＞0），則則故所以，橢圓方程為．（2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，故可設直線l的方程為y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，則△=64k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，且，．故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．因為直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數列，所以=k2，即+m2=0，又m≠0，所以k2=，即k=．由于直線OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2且m2≠1．設d為點O到直線l的距離，則S△OPQ=d|PQ|=|x1﹣x2||m|=，所以S△OPQ的取值范圍為（0，1）．【點評】求圓錐曲線的方程，一般利用待定系數法；解決直線與圓錐曲線的位置關系問題，一般設出直線方程，將直線方程與圓錐曲線方程聯立，消去一個未知數，得到關于一個未知數的二次方程，利用韋達定理，找突破口．注意設直線方程時，一定要討論直線的斜率是否存在．20.（本小題滿分13分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，側面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD為正方形，E、F分別為AB、PC的中點。

（I）求證：平面PCD；

（II）求二面角A—PC—D的余弦值。參考答案：略21.（本小題滿分14分）已知，且．（1）求證：；（2）若，求的值．參考答案：（1）證明：， ， ， ，① ，

若，則由①與矛盾，， ①兩邊同除以得：；（2）解：由（1）得，，

，，

，，從而．22.如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，∠，，⊥底面。（Ⅰ）證明：⊥；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值。參考答案：（Ⅰ）證明：設，則，在△中，∠，根據余弦定理，得，∴，∴⊥。又⊥底面，底面，∴⊥。而平面，平面，，∴⊥平面，