山西省大同市煤礦集團公司煤峪口礦第五中學2023年高三數學文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球體積為（

）A．

B．

C.

D．12π參考答案：C如圖所示，在長寬高分別為的長方體中，為其所在棱的中點，三視圖對應的幾何體為圖中的三棱錐，將其補形為三棱柱，取的中點，取的中點，由題意可知，為外接球球心，且：，外接球的體積：.本題選擇C選項.

2.定義域為R的函數，若關于的函數有5個不同的零點，則等于

（

）A．

B．16

C．

5

D．15參考答案：D3.的三內角的對邊分別為，且滿足，則的形狀是（

）A、正三角形

B、等腰三角形

C、等腰直角三角形

D、等腰三角形或直角三角形參考答案：D略4.已知函數，則（

）A.f(x)的圖象關對稱 B.f(x)的圖象關于(2,0)對稱C.f(x)在(1,3)上單調遞增 D.f(x)在(1,3)上單調遞減參考答案：A【分析】研究函數的單調性，對稱性即可得出結論．【詳解】解：因為函數所以解得函數的定義域為，，令，可知在上單調遞增，上單調遞減，且在定義域上單調遞增，由復合函數單調性判斷方法：同増異減，可知的增區間為，減區間為，故，均錯誤；因為是偶函數，所以關于軸對稱；故選：．【點睛】本題考查了復合函數的單調性、對稱性的應用，屬于中檔題．5.實數x，y滿足，則最大值為

A.3

B.5

C.

D.參考答案：B畫出表示的可行域，如圖，化簡，表示可行域內與原點連接的斜率，由，得，最大值為，的最大值為，即最大值為，故選B.

6.已知命題q：?x∈R，x2+1＞0，則?q為（）A．?x∈R，x2+1≤0 B．?x∈R，x2+1＜0 C．?x∈R，x2+1≤0 D．?x∈R，x2+1＞0參考答案：C【考點】命題的否定；全稱命題．【分析】本題中的命題是一個全稱命題，其否定是特稱命題，依據全稱命題的否定書寫形式寫出命題的否定即可【解答】解：∵命題q：?x∈R，x2+1＞0，∴命題q的否定是“?x∈R，x2+1≤0”故選C．【點評】本題考查命題的否定，解題的關鍵是掌握并理解命題否定的書寫方法規則，全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，書寫時注意量詞的變化．7.若不等式的解集是區間的子集，則實數的取值范圍是（

）A．

B．C．

D．參考答案：D略8.已知點A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），則向量=(

)A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）參考答案：A【考點】平面向量的坐標運算．【專題】平面向量及應用．【分析】順序求出有向線段，然后由=求之．【解答】解：由已知點A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），則向量==（﹣7，﹣4）；故答案為：A．【點評】本題考查了有向線段的坐標表示以及向量的三角形法則的運用；注意有向線段的坐標與兩個端點的關系，順序不可顛倒．9.已知正項等比數列{an}滿足，若存在兩項，，使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．參考答案：B設正項等比數列的公比為，且，由，得，化簡得，解得或（舍去），因為，所以，則，解得，所以，當且僅當時取等號，此時，解得，因為，取整數，所以均值不等式等號條件取不到，則，驗證可得，當，時，取最小值為，故選B．10.函數的圖象大致是參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設，若函數g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4不同的零點，則a的取值范圍為．參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；根的存在性及根的個數判斷．【分析】利用分段函數判斷x≥1時，y=ax+1與y=f（x）交點的個數，利用導函數的幾何意義求解即可．【解答】解：，若函數g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4不同的零點，就是方程f（x）=ax+1有4不同的根，就是函數y=f（x）與y=ax+1有4個交點，因為y=ax+1恒過（0，1），而y=f（x）在x＜1時，x=0時最大值為1，所以y=ax+1在x≥1時，與y=lnx有兩個交點，才滿足題意．又y′=，設切點坐標（m，n），可得=，解得n=2，即lnm=2，解得m=e2，此時y=ax+1在x≥1時，與y=lnx有1個交點，所以0＜a．故答案為：．【點評】本題考查函數與方程的應用，切線方程以及函數的零點個數的求法，考查分析問題解決問題的能力．12.如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于點H，若，則_________.參考答案：.【分析】由題意可得，從而由，解得λ+μ．【詳解】∵AB＝2，∠ABC＝60°，∴BH＝1，∴，∴λμ，，故λ，μ，故λ+μ；故答案為：．【點睛】本題考查了平面向量的線性運算的應用及平面向量基本定理的應用．13.若集合，且，則實數的值為___________.參考答案：4略14.如果一個實數數列滿足條件：（為常數，），則稱這一數列為“方等差數列”，稱為“方公差”。給出下列關于某個方等差數列的結論：①對于任意的首項，若<0,則這一數列必為有窮數列；②當>0,>0時，這一數列必為單調遞增數列；③這一數列可以是一個周期數列；④若這一數列的首項為1，方公差為3，可以是這一數列中的一項；⑤若這一數列的首項為0，第三項為1，則這一數列的的第二項必為。其中正確結論的序號是--__________.（寫出所有正確結論的序號）參考答案：①③①由可知單調遞減，又故必只能運算有限次，故①正確；②故可為負值，故②錯誤；③當的常數列滿足條件，故③正確；

通過運算可知④⑤錯誤；故填①③.15.在直角坐標平面中，的兩個頂點A、B的坐標分別為A，B（1，0）平面內兩點、同時滿足下列條件:①

②

③

則的頂點的軌跡為，都在曲線上，定點的坐標為，已知∥

,

∥且·=0，則四邊形PRQN面積S的最大值為

____________.參考答案：．216.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則c=________.參考答案：3由余弦定理，因為，，有，解得.試題立意：本小題考查正余弦定理，解三角形等基礎知識；考查運算求解能力，化歸與轉化思想.17.在中，已知分別為，，所對的邊，為的面積．若向量滿足，則=

．參考答案：無略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=﹣alnx+（a+1）x﹣x2（a＞0）．（1）討論f（x）的單調性；（2）若f（x）≥﹣x2+ax+b恒成立，求實數ab的最大值．參考答案：【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）求出f（x）的導數，通過a=1，0＜a＜1，a＞1的討論，從而求出函數的單調區間；（2）由題意可得alnx﹣x+b≤0恒成立，令g（x）=alnx﹣x+b，求出導數，確定函數的單調性，可得函數的最值，即可得到結論．【解答】解：（1）f′（x）=﹣+a+1﹣x=﹣，（a＞0，x＞0），①a=1時，f′（x）=﹣≤0，∴f（x）在（0，+∞）遞減；②0＜a＜1時，由f′（x）＞0，解得：a＜x＜1，∴f（x）在（a，1）遞增，在（0，a），（1，+∞）遞減；③a＞1時，同理f（x）在（1，a）遞增，在（0，1），（a，+∞）遞減；（2）∵f（x）≥﹣x2+ax+b恒成立，∴alnx﹣x+b≤0恒成立，令g（x）=alnx﹣x+b，則g′（x）=，∴g（x）在（0，a）上單調遞增，在（a，+∞）上單調遞減．∴g（x）max=g（a）=alna﹣a+b≤0，∴b≤a﹣alna，∴ab≤a2﹣a2lna，令h（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），則h′（x）=x（1﹣2lnx）∴h（x）在（0，）上單調遞增，在（，+∞）上單調遞減，∴h（x）max=h（）=e﹣eln=，∴ab≤．即ab的最大值為．19.私家車的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一，因此在生活中我們應該提倡低碳生活，少開私家車，盡量選擇綠色出行方式，為預防霧霾出一份力．為此，很多城市實施了機動車車尾號限行，我市某報社為了解市區公眾對“車輛限行”的態度，隨機抽查了50人，將調查情況進行整理后制成下表：年齡（歲）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]頻數510151055贊成人數469634（Ⅰ）完成被調查人員的頻率分布直方圖；（Ⅱ）若從年齡在[15，25），[25，35）的被調查者中各隨機選取2人進行追蹤調查，求恰有2人不贊成的概率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，再記選中的4人中不贊成“車輛限行”的人數為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望．參考答案：【分析】（Ⅰ）由已知求出各組的頻率和縱坐標，由此能作出被調查人員的頻率分布直方圖．（Ⅱ）由表知年齡在[15，25）內的有5人，不贊成的有1人，年齡在[25，35）內的有10人，不贊成的有4人，由此利用互斥事件概率計算公式能求出恰有2人不贊成的概率．（Ⅲ）ξ的所有可能取值為：0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量ξ的分布列和數學期望．【解答】解：（Ⅰ）由已知得各組的頻率分別是：0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，∴圖中各組的縱坐標分別是：0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，由此能作出被調查人員的頻率分布直方圖，如右圖：（Ⅱ）由表知年齡在[15，25）內的有5人，不贊成的有1人，年齡在[25，35）內的有10人，不贊成的有4人，∴恰有2人不贊成的概率為：P（ξ=2）=+=．…（7分）（Ⅲ）ξ的所有可能取值為：0，1，2，3，…（6分）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=3）==，所以ξ的分布列是：…（10分）ξ0123P所以ξ的數學期望Eξ=．…（12分）【點評】本題考查頻率分布直方圖的作法，考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．20.已知命題方程在上有解；命題只有一個實數滿足不等式，若命題“”是假命題，求的取值范圍．參考答案：解：由題意知．若正確，的解為或．

若方程在上有解，只需滿足或．即．

若正確，即只有一個實數滿足，則有即．

若是假命題，則都是假命題，

有所以的取值范圍是．略21.（本題滿分12分）

已知數列的前項和為，向量,,滿足條件,且.（I）求數列的通項公式；（II）設函數，數列滿足條件，(i)求數列的通項公式；(ii)設，求數列的前和.參考答案：【知識點】數列的求和．D4（I）;（II）;

解析：（Ⅰ）因為所以.

當時，

.................（2分）

當時，，滿足上式

所以

........................（4分）（Ⅱ）（ⅰ）

，又

是以2為首項3為公差的等差數列

......................................（8分）

（ⅱ）

?

?

?-?得