山西省大同市靈丘育才中學2023年高三數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量與不共線，且，，若，，三點共線，則實數，應該滿足的條件是（

）A． B． C． D．參考答案：A試題分析：依題意，，∴，即，求得，故選A.考點：共線向量定理.2.《爸爸去哪兒》的熱播引發了親子節目的熱潮，某節目制作組選取了6戶家庭到4個村莊

體驗農村生活，要求將6戶家庭分成4組，其中2kA各有2戶家庭，另外2組各有1戶家庭，則不同的分配方案的總數是

A.216

B.420

C.720

D.1080參考答案：D略3.已知=

。參考答案：2由得，所以。4.已知向量，，且+=（1，3），則

等于

（A）（B）（C）（D）參考答案：答案：

C5.復數(為虛數單位)的虛部是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D6.（多選題）下列結論正確的是（

）A.， B.若，則C若，則 D.若，，，則參考答案：BD【分析】對每個選項注意檢驗，要么證明其成立，要么舉出反例判定其錯誤.【詳解】當時，為負數，所以A不正確；若，則，考慮函數在R上單調遞增，所以，即，所以B正確；若，則，，所以C不正確；若，，，根據基本不等式有所以D正確.故選：BD【點睛】此題考查命題真假性的判斷，內容豐富，考查的知識面很廣，解題中尤其注意必須對每個選項逐一檢驗，要么證明其成立，要么舉出反例，方可確定選項.7.已知α∈（0，π），且sinα+cosα=，則tanα=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】同角三角函數間的基本關系；三角函數的化簡求值．【分析】將已知等式兩邊平方，利用完全平方公式及同角三角函數間基本關系化簡，求出sinαcosα的值，再利用完全平方公式及同角三角函數間基本關系求出sinα﹣cosα的值，聯立求出sinα與cosα的值，即可求出tanα的值．【解答】解：將sinα+cosα=①兩邊平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=﹣＜0，∵0＜α＜π，∴＜α＜π，∴sinα﹣cosα＞0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，即sinα﹣cosα=②，聯立①②解得：sinα=，cosα=﹣，則tanα=﹣．故選：D．8.函數的圖象大致為參考答案：A，即，選A.9.函數的零點所在的區間為A. B. C. D.參考答案：B略10.△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，則△ABC的面積等于(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點】解三角形．【專題】計算題．【分析】由AB，AC及cosB的值，利用余弦定理即可列出關于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的長，然后利用三角形的面積公式，由AB，BC以及sinB的值即可求出△ABC的面積．【解答】解：由AB=，AC=1，cosB=cos30°=，根據余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosB，即1=3+BC2﹣3BC，即（BC﹣1）（BC﹣2）=0，解得：BC=1或BC=2，當BC=1時，△ABC的面積S=AB?BCsinB=××1×=；當BC=2時，△ABC的面積S=AB?BCsinB=××2×=，所以△ABC的面積等于或．故選D【點評】此題考查學生靈活運用余弦定理及三角形的面積公式化簡求值，是一道中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.求值=．參考答案：

考點： 三角函數的化簡求值．專題： 計算題．分析： 利用二倍角公式化簡分母，降次升角，利用誘導公式化簡分子，約分即可．解答： 解：===（﹣2）×=﹣2．故答案為：﹣2．點評： 本題是基礎題，解題的關鍵所在：分母應用二倍角公式：降次升角，考查計算能力．12.袋中有相同的小球15只，其中9只涂白色，其余6個涂紅色，從袋內任取2只球，則取出的2球恰好是一白一紅的概率是

。參考答案：13.已知關于變量x,y的線性約束條件為，則目標函數的最小值為

．

參考答案：-5略14.定義在R上的函數滿足，則=__

__．參考答案：6略15.已知向量=(1，)，=（1，），若與垂直，則的值為

．參考答案：216.運行如圖所示的程序后，輸出的結果為

▲

.參考答案：42。此題的答案容易錯為22。17.曲線在點處的切線方程為

．參考答案：

考點：利用導數求函數的切線.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

幾何體EFG—ABCD的面ABCD，ADGE，DCFG均為矩形，AD=DC=l，AE=。

（I）求證：EF⊥平面GDB； （Ⅱ）線段DG上是否存在點M使直線BM與平面BEF所成的角為45°，若存在求等￥的值；若不存在，說明理由．

參考答案：（1）由已知有面,面，連結，在正方形中，,面，面,且,為平行四邊行，,………4’,面……..6’另解：空間向量略(2)分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，令,,令為平面的一個法向量，，令，……8’，，，或，…….10’存在此時……..12’略19.本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點的收費標準是每車每次租車時間不超過兩小時免費，超過兩小時的部分每小時收費2元（不足1小時的部分按1小時計算）．有甲、乙兩人相互獨立來該租車點租車騎游（各租一車一次）．設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為，；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為，；兩人租車時間都不會超過四小時．（Ⅰ）求甲乙兩人所付的租車費用相同的概率．（Ⅱ）設甲乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列及數學期望Eξ．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；互斥事件的概率加法公式．【分析】（Ⅰ）首先求出兩個人租車時間超過三小時的概率，甲乙兩人所付的租車費用相同即租車時間相同：都不超過兩小時、都在兩小時以上且不超過三小時和都超過三小時三類求解即可．（Ⅱ）隨機變量ξ的所有取值為0，2，4，6，8，由獨立事件的概率分別求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．【解答】解：（Ⅰ）甲乙兩人租車時間超過三小時的概率分別為：，甲乙兩人所付的租車費用相同的概率p=（Ⅱ）隨機變量ξ的所有取值為0，2，4，6，8P（ξ=0）==P（ξ=2）==P（ξ=4）==P（ξ=6）==P（ξ=8）==數學期望Eξ==20.長沙市“兩會”召開前，某政協委員針對自己提出的“環保提案”對某處的環境狀況進行了實地調研.據測定，該處的污染指數與附近污染源的強度成正比，與到污染源的距離成反比，比例常數為k(k＞0).現已知相距36km的A，B兩家化工廠(污染源)的污染強度分別為正數a,b，它們連線上任意一點C處的污染指數y等于兩化工廠對該處的污染指數之和.設AC=x(km).

(Ⅰ)試將y表示為x的函數；

(Ⅱ)若a=1時，y在x=6處取得最小值，試求b的值.

參考答案：解：（Ⅰ）設點C受A污染源污染指數為，點C受B污染源污染指數為，其中k為比例系數，且k＞0.………………2分從而點C處污染指數………4分（Ⅱ）因為a=1，所以，，………5分y′=，…………………7分令y′=0，得，……………………9分當x∈時，函數單調遞減；當x∈時，函數單調遞增.∴當時，函數取得最小值……11分又此時x=6，解得b=25，經驗證符合題意.所以，污染源B的污染強度b的值為25…………………12分

21.

某學校為鼓勵家校互動，與某手機通訊商合作，為教師伴侶流量套餐，為了解該校教師手機流量使用情況，通過抽樣，得到100位教師近2年每人手機月平均使用流量（單位：）的數據，其頻率分布直方圖如下：若將每位教師的手機月平均使用流量分布視為其手機月使用流量，并將頻率為概率，回答以下問題。（1）從該校教師中隨機抽取3人，求這3人中至多有1人月使用流量不超過300的概率；（2）現該通訊商推出三款流量套餐，詳情如下：

這三款套餐都有如下附加條款：套餐費月初一次性收取，手機使用一旦超出套餐流量，系統就自動幫用戶充值200流量，資費20元；如果又超出充值流量，系統就