§1數列1．1數列的概念1．了解數列通項公式的概念．2．能根據通項公式確定數列的某一項．(重點)3．能根據數列的前幾項寫出數列的一個通項公式．(重、難點)[基礎·初探]教材整理1數列的基本概念閱讀教材P3～P4，完成下列問題．1．數列的有關概念數列按一定次序排列的一列數叫做數列項數列中的每一個數叫作這個數列的項首項數列的第1項常稱為首項通項數列中的第n項an叫數列的通項2.數列的表示(1)一般形式：a1，a2，a3，…，an，…；(2)字母表示：上面數列也記為{an}．3．數列的分類分類標準名稱含義舉例按項的個數有窮數列項數有限的數列1,2,3,4，…，n無窮數列項數無限的數列1,4,9，…，n2，…判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)1,2，－2,5，－3可以構成數列．()(2)1,2,3,4,5,6,7是無窮數列．()(3)數列中的項不能相等．()【解析】(1)由數列的概念知該列數可以構成數列．(2)是有窮數列，要表示無窮數列，應把“…”放在“7”(3)由數列的概念知，數列中的項可以相等．【答案】(1)√(2)×(3)×教材整理2通項公式閱讀教材P5“抽象概括”以下至“例1”以上的內容，完成下列問題．1．如果數列{an}的第n項an與n之間的函數關系可以用一個式子表示成an＝f(n)，那么這個式子就叫作這個數列的通項公式，數列的通項公式就是相應函數的解析式．2．數列可以看作是定義域為正整數集N＋(或它的有限子集)的函數，當自變量從小到大依次取值時，該函數對應的一列函數值就是這個數列．(1)數列{an}的通項公式為an＝3n2＋2n＋1，則數列中的第4項為________．(2)若數列的通項公式為an＝2n－1，則an＋1＝________.【解析】(1)當n＝4時，a4＝3×42＋2×4＋1＝57.【答案】57(2)an＋1＝2(n＋1)－1＝2n＋1.【答案】2n＋1[小組合作型]數列的概念下列各式哪些是數列？若是數列，哪些是有窮數列？哪些是無窮數列？(1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3,4；(3)所有無理數；(4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6.【精彩點撥】根據數列的相關概念逐一判斷．【嘗試解答】(1)是集合，不是數列．(3)不能構成數列，因為無法把所有的無理數按一定順序排列起來．(2)(4)(5)是數列，其中(4)是無窮數列，(2)(5)是有窮數列．解決此類問題的方法是根據數列的定義及所含項數的多少與項的變化情況確定．[再練一題]1．下列說法正確的是()A．1,2,3,4，…，n是無窮數列B．數列3,5,7與數列7,5,3是相同數列C．同一個數在數列中不能重復出現D．數列{2n＋1}的第6項是13【解析】A錯誤，數列1,2，…，n，共n項，是有窮數列．B錯誤，數列是有序的．C錯誤，數列中的數可以重復出現．D正確，當n＝6時，2×6＋1＝13.【答案】D根據數列的前n項寫出數列的通項公式寫出下列數列的一個通項公式：(1)eq\r(3)，3，eq\r(15)，eq\r(21)，3eq\r(3)，…；(2),,,9，…；(3)eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(5,8)，eq\f(13,16)，－eq\f(29,32)，…；(4)2，－eq\f(4,5)，eq\f(1,2)，－eq\f(4,11)，….【精彩點撥】分析各數列中項與項之間的關系規律，根據各項的結構特點，歸納出一般性的結論，然后通過驗算，得出正確的答案．【嘗試解答】(1)數列可化為eq\r(3)，eq\r(9)，eq\r(15)，eq\r(21)，eq\r(27)，…，即eq\r(3×1)，eq\r(3×3)，eq\r(3×5)，eq\r(3×7)，eq\r(3×9)，….每個根號里面可分解成兩個數之積，前一個因數為常數3，后一個因數為2n－1，故原數列的一個通項公式為an＝eq\r(32n－1)＝eq\r(6n－3).(2)原數列可變形為1－eq\f(1,10)，1－eq\f(1,102)，1－eq\f(1,103)，1－eq\f(1,104)，…，故所給數列的一個通項公式為an＝1－eq\f(1,10n).(3)這個數列各項的絕對值為eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(5,8)，eq\f(13,16)，eq\f(29,32)，….分別考慮分子、分母，且(－1)n具有轉換符號的作用，所以它的一個通項公式為an＝(－1)n·eq\f(2n－3,2n).(4)使各項分子都為4，變為eq\f(4,2)，－eq\f(4,5)，eq\f(4,8)，－eq\f(4,11)，….再給分母分別加1，又變為eq\f(4,3)，－eq\f(4,6)，eq\f(4,9)，－eq\f(4,12)，….所以數列的一個通項公式為an＝(－1)n＋1·eq\f(4,3n－1).用觀察歸納法寫出一個數列的通項公式，體現了由特殊到一般的思維規律，具體可參考以下幾個思路：(1)先統一項的結構，如都化成分數、根式等．(2)分析這一結構中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規律與對應序號間的關系．(3)對于符號交替出現的情況，可先觀察其絕對值，再以(－1)k處理符號．(4)對于周期出現的數列，可考慮拆成幾個簡單數列和的形式，或者利用周期函數，如三角函數等．[再練一題]2．寫出下列數列的一個通項公式：【導學號：47172000】(1)1，－3,5，－7,9，…；(2)eq\f(22－1,2)，eq\f(32－1,3)，eq\f(42－1,4)，eq\f(52－1,5)；(3)eq\f(3,2)，1，eq\f(7,10)，eq\f(9,17)，….【解】(1)數列各項的絕對值為1,3,5,7,9，…是連續的正奇數，且數列的奇數項為正，偶數項為負，考慮(－1)n＋1具有轉換符號的作用，所以數列的一個通項公式為an＝(－1)n＋1·(2n－1)．(2)這個數列的前4項的分母都是序號加上1，分子都是分母的平方減去1，所以它的一個通項公式是an＝eq\f(n＋12－1,n＋1)＝eq\f(n2＋2n,n＋1).(3)將數列統一為eq\f(3,2)，eq\f(5,5)，eq\f(7,10)，eq\f(9,17)，…對于分子3,5,7,9，…，是序號的2倍加1，可得分子的通項公式為bn＝2n＋1；對于分母2,5,10,17，…聯想到數列1,4,9,16，…即數列{n2}，可得分母的通項公式為cn＝n2＋1，所以它的通項公式是an＝eq\f(2n＋1,n2＋1).[探究共研型]通項公式的應用探究1觀察數列1，eq\f(1,3)，eq\f(1,5)，eq\f(1,7)，…中的每一項與這一項的序號存在怎樣的關系？eq\f(1,24)是該數列中的項嗎？【提示】an＝eq\f(1,2n－1)，令eq\f(1,2n－1)＝eq\f(1,24)，解得n＝eq\f(25,2)不是整數，故eq\f(1,24)不是該數列中的項．探究2已知數列{an}的通項公式為an＝(－1)n－1·(2n＋1)，你能求出a7的值嗎？a7與an有什么關系？a7的值是多少？【提示】可以求出a7的值，a7是an中n取7時對應的項．a7＝(－1)7－1·(2×7＋1)＝15.已知數列{an}的通項公式為an＝eq\f(4,n2＋3n).(1)寫出數列第四項及第六項；(2)判斷eq\f(1,10)和eq\f(16,27)是不是它的項？如果是，是第幾項？【精彩點撥】(1)將n＝4,6代入an即可．(2)若某個數是數列中的項，則通項公式中存在正整數n使等式成立，否則不成立．【嘗試解答】(1)∵an＝eq\f(4,n2＋3n)，∴a4＝eq\f(4,42＋3×4)＝eq\f(1,7)，a6＝eq\f(4,62＋3×6)＝eq\f(2,27).(2)令eq\f(4,n2＋3n)＝eq\f(1,10)，則n2＋3n－40＝0.解得n＝5或n＝－8，因為n∈N＋，故將n＝－8舍去．所以eq\f(1,10)是該數列的第五項．令eq\f(4,n2＋3n)＝eq\f(16,27)，則4n2＋12n－27＝0，解得n＝eq\f(3,2)或n＝－eq\f(9,2)，又n∈N＋，所以eq\f(16,27)不是此數列中的項．通項公式的簡單應用主要包括以下兩個方面：(1)由通項公式寫出數列的第幾項．就是把n的值代入通項公式進行計算，相當于函數中，已知函數解析式和自變量求函數值．(2)判斷一個數是否為該數列中的項．其方法是由an等于這個數解出n，根據n是否為正整數便可確定這個數是否為數列中的項．[再練一題]3．已知數列{an}的通項公式為an＝3n2－28n.(1)寫出數列的第4項和第6項；(2)問－49是否是該數列的項？如果是，應是哪一項？68是否是該數列的項呢？【解】(1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n2－28n＝－49解得n＝7或n＝eq\f(7,3)(舍)，所以－49是該數列的第7項；由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝eq\f(34,3)，均不合題意，所以68不是該數列的項.1．下列敘述正確的是()A．數列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}B．數列1,0，－1，－2與數列－2，－1,0,1是相同的數列C．數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)))的第k項是1＋eq\f(1,k)D．數列0,2,4,6,8，…，可表示為an＝2n(n∈N＋)【解析】A中{1,3,5,7}為集合不是數列，B中兩個數列相同的條件為：①兩個數列各項相同，②各項的排列次序相同，故B中兩個數列為不同的數列，D中an＝2n(n∈N＋)的首項為2不是0.【答案】C2．數列－1，eq\f(8,5)，－eq\f(15,7)，eq\f(24,9)，…的一個通項公式是()A．an＝(－1)n·eq\f(n2＋n,2n＋1)B．an＝(－1)n·eq\f(n2＋3,2n－1)C．an＝(－1)n·eq\f(n＋12－1,2n－1)D．an＝(－1)n·eq\f(nn＋2,2n＋1)【解析】原數列可變形為－eq\f(3,3)，eq\f(8,5)，－eq\f(15,7)，eq\f(24,9)，…，∴分母應為2n＋1，排除B，C，驗證知選D.【答案】D3．已知數列{n(n－2)}，那么下列各數中是該數列項的是()【導學號：47172023】A．1 B．36C．－48 D．－1【解析】分別令n(n－2)＝1,36，－48，－1驗證．當n(n－2)＝－1時，n＝1